4-चक्र मुक्त ग्राफ

Question

चक्र समस्या इस प्रकार है:$k$

उदाहरण: अप्रत्यक्ष ग्राफ़ , कोने के साथ और n \ n 2 किनारों तक।$G$$n$$n \choose 2$

प्रश्न: क्या जी में एक (उचित) $k$ चक्र मौजूद है ?$G$

पृष्ठभूमि: किसी भी निश्चित $k$ , हम $2k$ -cycle को $O(n^2)$ समय में हल कर सकते हैं ।

राफेल यस्टर, उरी ज़्विक: फाइंडिंग इवन साइकल इवन फास्टर। सियाम जे।
डिस्क्रीट मैथ। 10 (2): 209-222 (1997)

हालांकि, यह ज्ञात नहीं है कि हम 3-चक्र (यानी 3-क्लिक) को मैट्रिक्स गुणा समय से कम में हल कर सकते हैं।

मेरा प्रश्न: मान लें कि $G$ में कोई 4-चक्र नहीं हैं, तो क्या हम $O(n^2)$ समय में 3-चक्र की समस्या को हल कर सकते हैं ?

डेविड ने 3-चक्र समस्या के इस प्रकार को $O(n^{2.111})$ समय में हल करने के लिए एक दृष्टिकोण का सुझाव दिया ।

Comments

ऐसा लगता है कि यदि एक ग्राफ के सबसे छोटे चक्र की लंबाई कम से कम 5 है, तो इसमें अधिकांश किनारे हैं। लिंक: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638$G$$O(n^{\frac{3}{2}})$

— माइकल वीहर

अतिरिक्त जानकारी इस पत्र में पाई जा सकती है: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— माइकल वीहर

मुझे लगता है कि आप Eisenbrand, Friedrich, और Fabrizio Grandoni में भी रुचि रख सकते हैं। "तय पैरामीटर क्लिक् और डोमिनेटिंग सेट की जटिलता पर।" सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 326.1 (2004): 57-67। (मामले में आप पहले से ही इसके बारे में पता नहीं थे)।

— जुहो

Answer 1

हाँ, यह ज्ञात है। यह त्रिभुज खोज पर आवश्यक संदर्भों में से एक में प्रकट होता है ...

अर्थात्, इटाई और रोडे एसआईसीओएमपी 1978 में दिखाते हैं कि समय में कैसे पता लगाया जाए, एक ग्राफ में एक चक्र जिसमें न्यूनतम लंबाई चक्र की तुलना में सबसे अधिक किनारे होता है। (यहाँ सार के पहले तीन वाक्य देखें: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Al एल्गोरिदम /min-circuit.pdf ) यह एक सरल प्रक्रिया है, जो पहले ब्रेड के गुणों पर आधारित है। खोज।$O(n^2)$

इसलिए, यदि आपका ग्राफ 4-चक्र मुक्त है और एक त्रिकोण है, तो उनके एल्गोरिथ्म को इसे आउटपुट करना होगा, क्योंकि यह 5-चक्र या बड़ा आउटपुट नहीं कर सकता है।

Answer 2

यह द्विघात नहीं है, लेकिन एलन Yuster और ज़्विक ( "ढूँढना और गिनती दिया लंबाई चक्र", Algorithmica 1997) के समय में त्रिकोण को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म देना , जहां ω तेजी के लिए प्रतिपादक है मैट्रिक्स गुणन। 4-चक्र से मुक्त रेखांकन के लिए, plugging में ω < 2.373 और मीटर = हे ( एन 3 / 2 ) (किसी और वहाँ एक है 4 चक्र के अस्तित्व की परवाह किए बिना 3 -cycles) देता है समय हे $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$$\omega$$\omega<2.373$$m=O(n^{3/2})$$4$$3$ ।$O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

Comments

यह भी खूब रही! मैं वास्तव में इसकी प्रशंसा करता हूँ। :)

— माइकल वीहर

हां, यदि किसी ग्राफ में कोई 4-चक्र नहीं है, तो इसमें सबसे अधिक किनारों। लिंक:books.google.com/…$O(n^{\frac{3}{2}})$

— माइकल वीहर

अगर मैं गलत हूं तो मुझे सुधारने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। ऐसा लगता है कि एर्दोस द्वारा "द इवन सर्किट थ्योरम" में कहा गया है कि यदि कोई ग्राफ़ cycle free है, तो इसमें अधिकांश O ( n 1 + $2k$किनारों। लिंक:sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— माइकल Wehar

नतीजतन, अगर एक ग्राफ में कोई 6 चक्र नहीं है, तो इसका अधिकांश किनारों। इसलिए, हम यह निर्धारित कर सकते हैंकि डेविड द्वारा सुझाई गई विधि का उपयोग करकेओ(एन1.876)समयमें यह 3-चक्र है। :)$O(n^{\frac{4}{3}})$$O(n^{1.876})$

— माइकल वीहर

$k > 2$$G$$2k$$G$$G$$k = 2$$O(n^{2.111})$