एक साधारण अप्रत्यक्ष ग्राफ में रैंडम वॉक और मतलब हिटिंग टाइम

Question

बता दें n कोने और m किनारों $G=(V,E)$पर एक सरल अप्रत्यक्ष ग्राफ है ।$n$$m$

मैं विल्सन के एल्गोरिथ्म के एक यादृच्छिक फैले हुए पेड़ को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षित समय निर्धारित करने की कोशिश कर रहा हूं । वहाँ, यह होना दिखाया गया है हे ( τ ) जहां, τ है मतलब हिटिंग समय : τ = Σ वी ∈ वी π ( v ) ⋅ एच ( यू , वी ) , जहां:$G$$O(\tau)$$\tau$

$$\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v),$$

• हैस्थिर वितरण π ( v ) = घ ( v $\pi$ ,$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• एक मनमाना शीर्ष है, और$u$
• हैहिटिंग समय(उर्फउपयोग समय), यानी, शिखर से पहले कदम की अपेक्षित संख्या वी का दौरा किया है, शिखर से शुरू।$H(u,v)$$v$$u$

सामान्य हाईट का अर्थ क्या होता है? और सबसे खराब स्थिति ग्राफ क्या है जो अधिकतम मार का मतलब है?$G$

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मेरे प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए, मुझे गणनाओं या विस्तृत प्रमाण की आवश्यकता नहीं है (हालाँकि वे भविष्य में इस प्रश्न का सामना करने वाले अन्य लोगों के लिए उपयोगी हो सकते हैं)। मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, एक प्रशस्ति पत्र पर्याप्त होगा।

पेपर में ब्रोडर द्वारा एक अन्य एल्गोरिदम का उल्लेख किया गया है जो अपेक्षित कवर समय में काम करता है (पहली बार जब सभी कोने का दौरा किया गया है)। फिर यह कहा जाता है, कि मार का समय हमेशा कवर समय से कम होता है। हालांकि यह केवल एक asymptotic के लिए बाध्य कर देता है के लिए सबसे रेखांकन (यानी, विस्तारक रेखांकन ) के साथ यह विपरीत Θ ( n लॉग इन करें n ) सबसे रेखांकन के लिए ब्रोडर द्वारा (के कुछ और अधिक समावेशी परिभाषा के साथ सबसे )।$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

यह एक ग्राफ का उदाहरण देता है, जहां मार का समय और कवर का समय । जबकि यह बाद के लिए सबसे खराब स्थिति के रूप में जाना जाता है, वह विशेष रूप से पूर्व के सबसे खराब मामले के बारे में कुछ नहीं कहता है। इसका मतलब यह होगा कि विल्सन के एल्गोरिदम के लिए सबसे खराब स्थिति और बीच कहीं भी गिर सकती है ।Θ ( n 3 ) हे ( एन 2 ) हे ( एन 3$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

विल्सन के एल्गोरिथ्म के दो सार्वजनिक रूप से उपलब्ध कार्यान्वयन हैं जिनसे मैं अवगत हूं। एक बूस्ट ग्राफ लाइब्रेरी में है , जबकि दूसरा ग्राफ-टूल में है । पूर्व के दस्तावेजीकरण में चल रहे समय का उल्लेख नहीं है, जबकि बाद वाले राज्य:

यादृच्छिक रेखांकन के लिए विशिष्ट समय चल रहा है ।$O(n \log n)$

जो प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, और वास्तव में विल्सन के कागज के साथ असंगत लगता है। लेकिन मैं इसे केवल मामले में रिपोर्ट करता हूं, ताकि परामर्श कार्यान्वयन दस्तावेज के समान विचार के साथ किसी के समय को बचाया जा सके।

मुझे शुरू में उम्मीद थी कि सबसे खराब स्थिति लोवेज़ के कारण एक गुट के लिए एक रास्ते को जोड़कर बनाए गए ग्राफ द्वारा प्राप्त की जा सकती है , जहां मारने का समय जितना अधिक हो सकता है । हालाँकि, इस घटना की संभावना लगभग$\Omega(n^3)$ स्थिर वितरण से कोने उठाते समय। नतीजतन एकओ(एन2)उपजइस ग्राफ में समय की मार के लिए बाध्य है।$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

द्वारा एक कागज Brightwell और विंकलर से पता चलता है कि के एक सबसेट लॉलीपॉप रेखांकन की उम्मीद मार समय अधिकतम, तक पहुँचने । लॉविस द्वारा ग्राफ भी लॉलीपॉप ग्राफ है, लेकिन इस मामले में क्लिक का आकार $4n^3/27$, आधे के बजाय। हालाँकि, ध्यान रखा जाना चाहिए कि मतलबी समय के साथ अपेक्षित मार समय को भ्रमित न करें। यह परिणाम, पिछले एक की तरह, पहले से चुने गए दो विशिष्ट कोने के लिए अपेक्षित हिटिंग समय को संदर्भित करता है।$\frac{2}{3} n$

Comments

ग्राफ़-टूल के दस्तावेज़ में इस त्रुटि को स्पॉट करने के लिए धन्यवाद! दरअसल रैंडम रैंडम रेखांकन के लिए माध्य हिट समय (देखें arxiv.org/abs/1003.1266 ), O नहीं ( n लॉग एन ) । इसे अगले संस्करण में ठीक किया जाएगा। (यह भी ध्यान दें कि ग्राफ-टूल बूस्ट ग्राफ लाइब्रेरी का उपयोग करता है, इसलिए वे वास्तव में अलग कार्यान्वयन नहीं हैं।)$O(n)$$O(n \log n)$

— टियागो पेक्सोटो

@ टियागो मैं योगदान करने के लिए खुश हूँ! आपकी टिप्पणी के लिये धन्यवाद। आपको सबसे खराब स्थिति (हालांकि संभावना नहीं) में अपेक्षित समय का उल्लेख करने में रुचि हो सकती है, क्योंकि मैंने अब डेविड विल्सन के उत्तर के साथ अपना जवाब अपडेट कर दिया है।

— arekolek

Answer 1

मैंने खुद डेविड विल्सन से पूछने का फैसला किया है, इसके तुरंत बाद जवाब मिला:

पर अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए कोने, सबसे ज्यादा मामले मतलब हिटिंग समय है Θ ( n 3 ) । इसका उदाहरणबारबेल ग्राफ है, जिसमेंलंबाई n / 3 के पथ से जुड़ेआकार n / 3 के दो क्लोन होते हैं। मुझे नहीं पता कि सबसे खराब स्थिरांक क्या है। [Brightwell-विंकलर] (उम्मीद) से टकराने के समय पर कागज दिखता एच ( एक्स , वाई ) पर शुरू कर दिया एक्स और पर समाप्त y । औसत मार का समय H ( x , y ) का औसत है$n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$रैंडम वॉक के स्थिर वितरण से निश्चित और y के यादृच्छिक विकल्पों के लिए। यह एक अच्छा तथ्य है कि यह एक्स पर निर्भर नहीं करता है । मैंने एल्डस-फिल पुस्तक से कई बार मारना सीखा , जो कि अधूरी है लेकिन वेब पर है।$x$$y$$x$

उपरोक्त पुस्तक में इस तथ्य का एक प्रमाण भी है, जो इस प्रकार है:

N = 2 n 1 + n 2 पर ग्राफ बनाने के लिए$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

$n_1$$v_L$$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

बेशक, मैं उस बिंदु पर खो गया हूं जो वे कहते हैं:

$w_1$$\frac{1}{n_2}$

लेकिन अपने मन को शांत करने के लिए, मैंने स्थिर वितरण से उठाए गए कोने के बीच, इस तरह से निर्मित बारबेल ग्राफ पर यादृच्छिक चलता का अनुकरण किया। वास्तव में, मार का समय बहुत अच्छी तरह से एक वक्र लिए फिट बैठता है$\frac{(n+1)^3}{54}$

हालांकि, अनौपचारिक सबूत पर टिप्पणी अभी भी स्वागत है।

Answer 2

हाल के एक पेपर में , हमें विल्सन के एल्गोरिथ्म द्वारा "साइकिल पॉप अप" की अपेक्षित संख्या पर एक ऊपरी ऊपरी बाउंड (कोई बड़ा ओ) नहीं मिला और यह लगातार कसने तक सीमित है। यह सीधे विल्सन के एल्गोरिदम के चलने के समय के सवाल का जवाब नहीं देता है क्योंकि पॉप साइकल का औसत आकार स्पष्ट नहीं लगता है। दूसरी ओर, एक टिप्पणी छोड़ने के लिए मेरे पास पर्याप्त "प्रतिष्ठा" नहीं है ...