मृत अनुमानों के क्षेत्र

Question

मैं एल्गोरिदम और जटिलता के बारे में अनुमानों की तलाश कर रहा हूं जिन्हें किसी समय में कई लोगों द्वारा विश्वसनीय देखा गया था, लेकिन बाद में बढ़ते प्रमाणों के कारण उन्हें या तो अप्रमाणित किया गया, या कम से कम अविश्वास किया गया। यहाँ दो उदाहरण हैं:

1. रैंडम ओरेकल परिकल्पना: जटिलता वर्गों के बीच के रिश्ते जो लगभग सभी संबंधित दुनिया के लिए धारण करते हैं, वे भी असंबंधित मामले में पकड़ रखते हैं। इस परिणाम ने खारिज कर दिया , और दिखा रहा है कि द्वारा लगभग सभी यादृच्छिक ऑरेकल के लिए रखती है , देख यादृच्छिक ओरेकल हाइपोथीसिस गलत है ।मैं पी एक्स ≠ पी एस पी ए सी ई एक्स$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. हुई त्रुटि यादृच्छिकता ठीक से बहुपद समय (यानी, ) की शक्ति का विस्तार करती है । यह कुछ समय के लिए माना जाता था, लेकिन बाद में, परिष्कृत व्युत्पन्न परिणाम और सर्किट जटिलता के उनके कनेक्शन के कारण, विपरीत अनुमान ( ) प्रचलित हो गया है (हालांकि अभी भी खुला है)।P = B P $P\neq BPP$$P=BPP$

कौन से कुछ अन्य अनुमान हैं जो समय की कसौटी पर विफल रहे?

Comments

IP = PSPACE से पहले, यह भी संभव था कि , Fortnow-Sipser 1988 देखें । मैं नहीं जानता कि क्या यह एक ही संकल्प के साथ एक अलग उत्तर के रूप में गिना जाता है, या यदि यह आपके उदाहरण के समान है 1.$\mathsf{coNP} \not\subseteq \mathsf{IP}$

— जोशुआ ग्रूचो

हिल्बर्ट का कार्यक्रम ("... गणित में मूलभूत प्रश्नों का एक बार और सभी के लिए निपटान ...") और औपचारिक सिद्धांतों की निर्णायकता के बारे में उनका "अनुमान" [~ 1920], कि "दुर्घटनाग्रस्त" (बल्कि जल्दी से [1931) ]) गोडेल के अधूरे प्रमेय में :-)

— Marzio De Biasi

क्रेसेल द्वारा इस पेपर की समीक्षा, "यह पेपर स्थापित करता है कि हर पुनरावर्ती रूप से गणना करने योग्य (री) सेट को घातांक के रूप में अस्तित्वगत रूप से परिभाषित किया जा सकता है। ... ये परिणाम सतही तौर पर हिल्बर्ट की दसवीं समस्या से संबंधित हैं (साधारण, अर्थात, गैर-घातांक। ) डायोफैंटाइन समीकरण। ... यह पूरी तरह से प्रशंसनीय नहीं है कि सभी (सामान्य) डायोफैंटीन समस्याओं को निश्चित डिग्री के चर की एक निश्चित संख्या में उन लोगों के लिए समान रूप से कम किया जा सकता है, जो कि अगर सभी फिर से सेट करते हैं तो डायोफैंटीन होगा। " ( यहां भी देखें ।)

— एंड्रेस ई। कैइटेडो

संबंधित: जटिलता में आश्चर्यजनक परिणाम

— केवह

इसके अलावा कम्प्यूटेशनल जटिलता ब्लॉग से आश्चर्यजनक रूप से परिणाम पोस्ट ।

— केवह

Answer 1

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$ । परिणाम से पहले कि ये दोनों समान थे, मुझे लगता है कि यह व्यापक रूप से माना जाता था कि वे इस विश्वास के अनुरूप थे कि (यानी सामान्य सिद्धांत जो "nondrerministism and co- nondeterminism अलग हैं "; यह अंतरिक्ष जटिलता सीमा के तहत गलत निकला जो कम से कम लॉगरिदमिक थे)।$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

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'सादृश्य'? एक समय है और दूसरा अंतरिक्ष नहीं है?

@ अरुल: हाँ। यह समय की सीमा द्वारा परिभाषित जटिलता वर्गों के बीच एक समानता है, और अंतरिक्ष को सीमित करके परिभाषित जटिलता कक्षाएं ...

— जोशुआ ग्रूचो

लेकिन समय और स्थान समतुल्य नहीं है (कम से कम विशेष रूप से)

@ अरुल: सही। ठीक यही कारण है कि यह सिर्फ एक सादृश्य है ...

— जोशुआ ग्रूचो

Answer 2

करने से पहले , यह संभव सोचा गया कि यहां तक कि में शामिल नहीं किया गया था : में Fortnow-Sipser 1988 में वे इस अनुमान लगाया मामला है और दे दी है एक दैवज्ञ जिसके संबंध में यह सत्य था।$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

Answer 3

लगातार-चौड़ाई वाले ब्रांचिंग कार्यक्रमों को गिनने के लिए बहुपद की लंबाई से अधिक की आवश्यकता होती है : 1981 में फुरस्ट-सक्से-सिपसर और अज़ताई के बाद पता चला कि एसी ⁰ सर्किट गिनती नहीं कर सकते हैं, एक प्राकृतिक अगला कदम यह दिखाने के लिए प्रतीत होता है कि बहुपद की निरंतर-चौड़ी ब्रांचिंग कार्यक्रम लंबाई की गणना नहीं की जा सकती थी, जिसे धारण करने के लिए व्यापक रूप से अनुमान लगाया गया था। 1986 में डेविड बैरिंगटन ने दिखाया कि वे न केवल गिन सकते हैं, बल्कि वे NC ^{1 के} बराबर हैं ।

Answer 4

-conjecture: के लिए किसी भी नियतात्मक एल्गोरिथ्म कि की आवश्यकता है समय।$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

यह 2014 में, एलन ग्रोनलुंड और सेठ पेटी द्वारा नापसंद किया गया था, जिन्होंने समय [1] में चलने वाले एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म दिया था ।$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[१] थ्रीसम, डीजेनरेट और लव त्रिकोण। एलन ग्रोनलंड और सेठ पेटी। कंप्यूटर विज्ञान की नींव में (एफओसीएस) 2014, पीपी। 621-630। arXiv: 1404.0799 [cs.DS]

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समीक्षकों से अतीत में उन्हें यह खिताब कैसे मिला?

— डेविड झांग

Answer 5

डेविस, मटियासेविच, पुतनाम और रॉबिन्सन द्वारा हिल्बर्ट की दसवीं समस्या का समाधान, यह दर्शाता है कि पुनरावर्ती रूप से गणना करने योग्य सेट ठीक डायोफैंटीन सेट हैं।

(मैं टिप्पणी के रूप में सुझाव दिया है, कुछ साल पहले से एक ब्लॉग पोस्ट , Hindsight यहाँ पुन: पेश कर रहा हूँ ।)

से Georg Kreisel की समीक्षा की घातीय डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए निर्णय समस्या , मार्टिन डेविस, हिलेरी पटनम, और जूलिया रॉबिन्सन, एन द्वारा। गणित का। (२), (४ (३) , (१ ९ ६१), ४२५-४३६। MR0133227 (24 # A3061) ।

यह पत्र स्थापित करता है कि हर पुनरावर्ती गणना (पुनः) सेट अस्तित्वगत रूप से परिभाषित किया जा सकता है। […] ये परिणाम सतही तौर पर हिल्बर्ट की दसवीं समस्या से संबंधित हैं (साधारण, अर्थात, गैर-घातीय) डायोफैंटाइन समीकरण। लेखकों के परिणामों का प्रमाण, हालांकि बहुत ही सुरुचिपूर्ण, संख्याओं के सिद्धांत में और न ही री सेट्स के सिद्धांत में पुनरावर्ती तथ्यों का उपयोग नहीं करता है, और इसलिए यह संभावना है कि वर्तमान परिणाम हिल्बर्ट की दसवीं समस्या के साथ निकटता से जुड़ा नहीं है। इसके अलावा, यह पूरी तरह से प्रशंसनीय नहीं है कि सभी (सामान्य) डायोफैंटीन समस्याओं को निश्चित डिग्री के चर के एक निश्चित संख्या में उन लोगों के लिए समान रूप से कम किया जा सकता है, जो कि यदि सभी पुनः सेट डायोफैंटीन थे तो मामला होगा।

बेशक, दसवीं समस्या के संबंध में मेरा पसंदीदा उद्धरण मार्टिन डेविस द्वारा यूरी मटियासेविच की हिल्बर्ट की दसवीं समस्या के बारे में बताया गया है ।

1960 के दशक के दौरान मुझे अक्सर हिल्बर्ट की दसवीं समस्या पर व्याख्यान देने का अवसर मिला। उस समय यह ज्ञात था कि असमानता एक एकल डियोफेंटाइन समीकरण के अस्तित्व से होगी जो एक शर्त को संतुष्ट करती है जिसे जूलिया रॉबिन्सन द्वारा तैयार किया गया था। हालांकि, इस तरह के समीकरण का निर्माण करना असाधारण रूप से मुश्किल लग रहा था, और वास्तव में, प्रचलित राय यह थी कि किसी के अस्तित्व में होने की संभावना नहीं थी। अपने व्याख्यान में, मैं उन महत्वपूर्ण परिणामों पर जोर दूंगा जो इस तरह के समीकरण के अस्तित्व के सबूत या अव्यवस्था से या तो पालन करेंगे। अनिवार्य रूप से प्रश्नकाल के दौरान मुझे अपनी राय के लिए कहा जाएगा कि कैसे मामले सामने आएंगे, और मेरे पास अपना जवाब तैयार था: "मुझे लगता है कि जूलिया रॉबिन्सन की परिकल्पना सच है, और यह एक चतुर युवा रूसी द्वारा साबित होगा।"

Answer 6

हिल्बर्ट के कार्यक्रम और उसके "अनुमान" औपचारिक सिद्धांतों का decidability के बारे में। यह 1920 के दशक की शुरुआत में तैयार किया गया था और उन्हें और उनके सहयोगियों द्वारा 1920 के दशक और 1930 के दशक में गोटिंगेन और अन्य जगहों पर उनका पीछा किया गया था।

"गणित के इस नए ग्राउंडिंग के साथ - जिसे कोई एक उचित सिद्धांत कह सकता है - मेरा मानना ​​है कि गणित में मूलभूत प्रश्नों को एक बार में और हर गणितीय कथन को समवर्ती प्रदर्शन और कठोरता से व्युत्पन्न सूत्र में बदलकर और इस तरह से स्थानांतरित करना शुद्ध गणित के क्षेत्र में सवालों के पूरे जटिल। "

यह सर्वविदित है कि हिल्बर्ट के प्रस्ताव "दुर्घटनाग्रस्त" (जल्दी से [1931]) गोडेल के अपूर्णता प्रमेय में ।

हिल्बर्ट के कार्यक्रम और बाद के घटनाक्रमों के अच्छे अवलोकन के लिए: रिचर्ड जैच; हिल्बर्ट का कार्यक्रम तब और अब; विज्ञान की दर्शन की पुस्तिका। खंड 5: तर्कशास्त्र का दर्शन; 2006

कहानी के एक अन्य पहलू के लिए एंड्रेस कैज़ियो का जवाब भी देखें : हिल्बर्ट की दसवीं समस्या जो केवल 1970 में हल हुई थी।

Answer 7

मधु सूदन * के एक व्याख्यान में उन्होंने दावा किया कि कुछ विश्वास है कि वहाँ मौजूद है ऐसा , के माध्यम से Hidestad के तीन बिट पीसीपी प्रमेय के प्रमाण से पहले, अर्धचालक प्रोग्रामिंग।$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

दरअसल SDP ऐसे PCPs की जटिलता पर एक तंग बाध्यता देते हुए दिखाता है।$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* मुझे मधु का यह व्याख्यान "रूडीच / विगडर्सन द्वारा संपादित कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत" में प्रकाशित हुआ)

Answer 8

एक स्पेक्ट्रम पर औपचारिक से लेकर अनौपचारिक तक अनुमान होते हैं। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट्स ने गणित की निर्णायकता के बारे में प्रसिद्ध अनुमान को कुछ समस्याओं में औपचारिक रूप दिया था जैसे हिल्बर्ट्स 10 वीं समस्या लेकिन यह पूरे क्षेत्र में फैले एक अधिक भव्य अनौपचारिक अनुमान भी था। इसे एक प्रस्तावित अनुसंधान कार्यक्रम के रूप में भी देखा जा सकता है।

इस तरह के "मृत अनुमानों का मोटापा" खोजने के लिए एक आसान नुस्खा "मेटा-" कथन "[x] अनुमान को मेरे जीवनकाल में साबित किया जा सकता है।" गणित साहित्य ऐसे बयानों / अपेक्षाओं से भरा होता है, जो किसी प्रमाण की कठिनाई और पहुंच के बारे में पूरी तरह से अवहेलना करने के अर्थ में "झूठे" हो जाते हैं। एक क्लासिक एक रीमैन अनुमान है, जो ~ 1। शताब्दी से अधिक के लिए खुला है। इस एक ही मॉडल को जटिलता सिद्धांत पर लागू करना उतना आसान नहीं है क्योंकि जटिलता सिद्धांत बहुत छोटा वैज्ञानिक क्षेत्र है। हालाँकि, एक प्रमुख उदाहरण है।

पी बनाम एनपी समस्या (अब साढ़े 4 दशक) की शुरुआती खोज में एक प्रकार की मासूमियत थी कि मूल जांचकर्ताओं ने इस बात की कल्पना नहीं की थी कि समस्या कितनी कठिन या क्रासकटिंग होगी। इसे और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, 1980 के दशक के शुरुआती दिनों में सर्किट जटिलता के क्षेत्र पर विचार करें जैसे कि Sipser द्वारा। यह कुछ हद तक P बनाम NP पर हमला करने के लिए हिल्बर्ट्स की तरह एक शोध कार्यक्रम था। कुछ ऐतिहासिक परिणामों को संक्षेप में अरविंद ने इस सार / परिचय में प्रस्तुत किया है : कम्प्यूटेशनल जटिलता कॉलम, बीईसीसीएस :

1980 का समय बूलियन सर्किट जटिलता कम सीमा के लिए एक सुनहरा अवधि था। बड़ी सफलताएँ मिलीं। उदाहरण के लिए, रेज़बोरोव का घातीय आकार निचला मोनोटोन बूलियन सर्किट के लिए बाध्य होता है, जो क्लीक फ़ंक्शन और रज़ोरोव-स्मोलेंस्की सुपरपोलिनोमियल आकार कम गहराई के लिए निरंतर _पी सर्किट के लिए होता है, जिसमें _{पी पी के} लिए एमओडी गेट्स होते हैं। इन परिणामों ने शोधकर्ताओं को बड़े निचले बाध्य प्रश्नों और जटिलता वर्ग अलगाव पर प्रगति का आशावादी बना दिया। हालांकि, पिछले दो दशकों में, यह आशावाद धीरे-धीरे निराशा में बदल गया। हम अभी भी नहीं जानते कि घातीय समय में कम्प्यूटेशनल समय के लिए MOD ₆ गेट के साथ निरंतर गहराई वाले सर्किट के लिए सुपरपोलिनोमियल लोअर सीमा को कैसे साबित किया जाए ।

क्षेत्र में आशाओं को गोली मारने वाले दो प्रमुख कागजात थे। रेज़बोरोव के पास क्लिक्स फ़ंक्शन पर शानदार / मनाया परिणाम थे, लेकिन फिर दो विरोधी पत्र लिखे। एक पेपर से पता चला है कि मैचिंग, एक पी-टाइम समस्या, के लिए घातीय मोनोटोन सर्किट की आवश्यकता होती है और इसलिए कुछ अर्थों में कम सीमा तक मोनोटोन सर्किट दृष्टिकोण को गैरमानोटोन ("पूर्ण") सर्किट के साथ जटिलता की पत्राचार की कमी के कारण नाकाम कर दिया गया था (अभी भी पूरी तरह से नहीं समझ लिया)।

यह रूडीच के साथ जुड़े अपने प्रसिद्ध पेपर नेचुरल प्रूफ़ में विस्तारित किया गया था जिसमें यह दिखाया गया है कि सभी पूर्व सर्किट लोअर बाउंड्स प्रूफ एक विशेष पैटर्न के अधीन हैं, जिसमें हार्ड रैंडम नंबर जेनरेटरों से कम सीमा वाले अनुमानों के साथ संघर्ष करने की भावना में उल्लेखनीय कमजोरी है। क्रिप्टोग्राफी।

इसलिए, कुछ हद तक सर्किट "अनुग्रह से गिर गए" हैं। यह अभी भी एक बड़े पैमाने पर अनुसंधान क्षेत्र है, लेकिन पारंपरिक ज्ञान, तकनीकी परिणामों के द्वारा समर्थित है, यह है कि क्षेत्र में मजबूत परिणाम प्राप्त करने के लिए विशेष रूप से अभी तक अज्ञात सबूत पैटर्न / संरचना के कुछ प्रकार की आवश्यकता होगी। वास्तव में इसी तरह से यह भी सुझाव दिया जा सकता है कि समग्र रूप से "जटिल सिद्धांत में निचले निचले हिस्से" को अब अत्यंत कठिन माना जाता है, और इस क्षेत्र के छोटे दिनों में व्यापक रूप से अपेक्षित / भविष्यवाणी नहीं की गई थी। लेकिन दूसरी ओर यह तब उन्हें गणित की बड़ी (खुली) समस्याओं के साथ कठिनाई / महत्व / महत्व में रैंक करता है।

Comments

आप किस अनुमान पर प्रकाश डाल रहे हैं? इसके अलावा, सर्किट जटिलता बहुत सक्रिय और बल्कि सफल दोनों प्रतीत होती है, उदाहरण के लिए, रॉसमैन की कई सफलताओं; मैदान के अधिक जमीनी अवलोकन के लिए जुकना की आधिकारिक पाठ्यपुस्तक देखें।

— एन्द्र दास सलामोन

कई परस्पर संबंधित विचार हैं, लेकिन उदाहरण के लिए "खुरदरा" अनुमान है कि सर्किट सामान्य या कुछ विशेष रूप (जैसे मोनोटोन) पी बनाम एनपी या मजबूत निचले सीमा को साबित कर सकते हैं ... यह कभी भी सख्ती से औपचारिक रूप से कभी नहीं हुआ था लेकिन कई (पुराने) में प्रसारित होता है। सर्किट सिद्धांत पत्र। यह कड़ाई से अव्यवस्थित नहीं है, लेकिन 2020 की दृष्टि से भारी संशोधित है। विशेष रूप से मोनोटोन सर्किट कहानी एक "उत्क्रमण के पास" है।

— vzn

यदि आपने मोनोटोन सर्किट के बारे में चेहरे के समर्थन के रूप में कुछ विशिष्ट संदर्भों का हवाला दिया, तो यह एक अच्छा जवाब होगा। लेकिन ऊपर दीवार पर बहुत सारे शब्द फेंकने और कुछ छड़ी की उम्मीद के रूप में आता है; इसकी बारीकियां हैं लेकिन एक स्पष्ट थीसिस का अभाव है। मेरे पढ़ने में मैंने यह धारणा नहीं बनाई है कि मोनोटोन सर्किट को कभी विशेष रूप से शक्तिशाली माना जाता था।

— एन्द्रस सलामोन

@ AndrásSalamon: मुझे लगता है कि यह दृश्य दृष्टि के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है। यही है, रज़बोरोव की क्लोन के लिए मोनोटोन सर्किट पर एक्सपोनेंशियल लोअर बाउंड होने के बाद, मुझे लगता है कि काफी व्यापक आशावाद था कि बहुत बड़े सर्किट लोअर (जैसे कि ) "कोने के चारों ओर सही थे।" (शायद इस धारणा के रूप में व्यापक नहीं कि , लेकिन मुझे लगता है कि इस प्रश्न के उत्तर के रूप में व्यापक रूप से ध्यान देने योग्य है।)पी एन ई क्यू एन $NP \not\subseteq P/poly$$P neq NP$

— जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआग्रोचो, मैं सहमत हूं, लेकिन यह ऊपर के पेचीदा धागे से काफी अलग है। शायद एक जवाब के रूप में पोस्ट करने लायक?

— आंद्र सलामॉन