मैट्रिक्स वेक्टर गुणन एल्गोरिथ्म न्यूनतम संख्या में परिवर्धन का उपयोग करते हुए

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निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

मैट्रिक्स को देखते हुए हम गणना के लिए गुणा एल्गोरिथ्म में परिवर्धन की संख्या को अनुकूलित करना चाहते हैं । $M$ $v \mapsto Mv$

मैट्रिक्स गुणन की जटिलता के साथ इसके संबंधों के कारण मुझे यह समस्या दिलचस्प लगती है (यह समस्या मैट्रिक्स गुणन का एक प्रतिबंधित संस्करण है)।

इस समस्या के बारे में क्या पता है?

मैट्रिक्स गुणन समस्या की जटिलता के लिए इस समस्या से संबंधित कोई दिलचस्प परिणाम है?

समस्या का उत्तर केवल अतिरिक्त फाटकों के साथ सर्किट को शामिल करना प्रतीत होता है। क्या होगा यदि हम घटाव द्वार की अनुमति देते हैं?

मैं इस समस्या और अन्य समस्याओं के बीच कटौती की तलाश कर रहा हूं।

द्वारा प्रेरित

— vzn
स्रोत

यदि

एक

0-1 मैट्रिक्स है, तो ज्ञात जोड़ की संख्या पर कम सीमाएं महत्वपूर्ण रूप से इस बात पर निर्भर करती हैं कि हम किस समूह / सेमीग्रुप पर काम करते हैं। अगर हम सेमीग्रुप

या सम

, तो नेचिपोरुक की बाउंड, ज्ञात कंस्ट्रक्शन के साथ मिलकर,

के बारे में एक स्पष्ट निचला बाउंड देता है । यदि, हालांकि हम समूह में हैं

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$ , तो स्थिति नहीं बल्कि दबाकर किया जाता है: सबसे मजबूत में जाना जाता है कम सीमा केवल के रूप में हैं

। अधिक यहाँ पाया जा सकता है ।

ω (n)

$\omega(n)$

— Stasys

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यह अनिवार्य रूप से समस्या है जिसने वेलिएंट को मैट्रिक्स कठोरता को जटिलता में पेश करने के लिए प्रेरित किया (जहां तक मैं इतिहास को समझता हूं)।

एक रैखिक सर्किट एक बीजीय सर्किट है जिसका केवल गेट दो-इनपुट रैखिक संयोजन गेट हैं। हर रैखिक परिवर्तन (मैट्रिक्स) को द्विघात आकार के एक रैखिक सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है, और सवाल यह है कि कोई बेहतर कैसे कर सकता है। यह ज्ञात है कि यादृच्छिक मैट्रिक्स के लिए कोई भी बेहतर नहीं कर सकता है।

कुछ मैट्रिक्स - जैसे फूरियर ट्रांसफॉर्म मैट्रिक्स, कम रैंक का मैट्रिक्स, या विरल मैट्रिक्स - को काफी बेहतर किया जा सकता है।

पर्याप्त रूप से कठोर मैट्रिक्स की गणना रैखिक सर्किटों द्वारा नहीं की जा सकती है जो एक साथ रैखिक आकार और लॉग डेप्थ (वैलिएंट) हैं, लेकिन आज तक कोई भी स्पष्ट मैट्रिक्स ज्ञात नहीं है जिसके लिए रैखिक सर्किट के आकार पर एक सुपर-रैखिक निचला बाउंड होता है।

मुझे यह कहते हुए परिणाम याद नहीं है कि किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए सबसे छोटे रैखिक सर्किट के आकार की गणना करना कठिन है, लेकिन अगर यह एनपी-हार्ड था, तो मुझे आश्चर्य नहीं होगा।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

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यह एनपी-हार्ड है, cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— रयान विलियम्स

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$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

ये सीमाएं अनिवार्य रूप से सर्वोत्तम संभव हैं। अध्याय 6.3 देखें। में Chazelle की किताब ।

— साशो निकोलोव
स्रोत