क्या यह निर्धारित करना उचित है कि क्या दी गई आकृति विमान को टाइल कर सकती है?

Question

मुझे पता है कि यह निर्धारित करना अपरिहार्य है कि क्या टाइल का एक सेट विमान को टाइल कर सकता है, बर्जर का परिणाम वांग टाइलों का उपयोग करना है । मेरा सवाल यह है कि क्या यह निर्धारित करने के लिए भी अनिर्दिष्ट है कि क्या एक एकल दी गई टाइल विमान को टाइल कर सकती है, एक मोनोहाइड्रल टाइलिंग।

यदि यह अनसुलझा रहता है, तो मुझे यह जानने में दिलचस्पी होगी कि टाइल के एक सेट की न्यूनतम कार्डिनैलिटी क्या है, जिसके लिए एक अनिर्दिष्ट प्रमाण है। (मैंने अभी तक बर्जर के प्रमाण को एक्सेस नहीं किया है।)

Comments

एक और हालिया अनिर्वायता प्रमाण इसमें पाया जा सकता है: निकोलस ओलिंगर; दो-बाय-टू सबस्टीट्यूशन सिस्टम और डोमिनोज़ प्रॉब्लम की अंडरटेबिलिटी ; तर्क और एल्गोरिदम, यूरोप, CIE 2008 (में कम्प्यूटेबिलिटी पर 4 सम्मेलन के सिद्धांत पीडीएफ ) ... लेकिन वे अधिक टाइल्स (104) का उपयोग एक अनावधिक tileset (रॉबिन्सन सबूत का उपयोग करता है 56 टाइल) का निर्माण करने के

— Marzio डी BIASI

Answer 1

[1] की शुरूआत के अनुसार,

• यह निर्धारित करने की जटिलता है कि यदि एक एकल पॉलीमिनो टाइल विमान खुला रहता है [2,3], और
• 5 पॉलीओमीनो [4] के सेटों के लिए एक अविश्वसनीय साक्ष्य है।

[१] स्टीफन लैंगमैन, एंड्रयू विंसलो। एक Polyomino के साथ विमान Isohedrally टाइलिंग के लिए एक Quasilinear-Time एल्गोरिथ्म । ArXiv ई-प्रिंट, 2015। arXiv: 1507.02762 [cCCG]

[२] सी। गुडमैन-स्ट्रॉस टाइलिंग में खुले प्रश्न । ऑनलाइन, 2000 प्रकाशित।

[३] सी। गुडमैन-स्ट्रॉस तय नहीं कर सकते? undecide! अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के नोटिस, 57 (3): 343–356, 2010।

[४] एन। ओलिंगर एक निश्चित संख्या में पॉलीओमीनो के साथ विमान को टाइल करना । एएच डेडियू, एएम इओन्सक्यू, और सी। मार्टन-विड, संपादकों, एलटीए 2009, एलएनसीएस के खंड 5457, पेज 638-647 में। स्प्रिंगर, 2009।

Answer 2

एक विस्तारित टिप्पणी: हाल ही में डेमियन और अल द्वारा एक पेपर। साबित करता है कि एक टाइल एक मनमाना कम्प्यूटेशन अनुकरण करने के लिए पर्याप्त है:

एरिक डी। डेमिनेन, मार्टिन एल। डेमिनेन, सांडोर पी। फेकेट, मैथ्यू जे। पाटित्ज़, रॉबर्ट टी। स्कवेलर, एंड्रयू विंसलो, डेमियन वुड्स; वन टाइल टू रूल देम ऑल: सिमिंग एनी ट्यूरिंग मशीन, टाइल असेंबली सिस्टम, या टाइलिंग सिस्टम विथ सिंगल पज़ल पीस (2012)

लेकिन टाइलिंग एक सटीक टाइलिंग नहीं है: "... आउटपुट एक-टाइल प्रणाली को एक ही वर्ग या हेक्सागोनल जाली पर टाइल की आवश्यकता होती है, टाइल्स को घुमाने की अनुमति देता है, और है लगभग विमान को इस अर्थ में टाइलिंग की अनुमति देता है कि यह बीच में छोटे अंतराल छोड़ देता है टाइल्स। ... "

Comments

अच्छा, यह सबसे तेज़ जवाब है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

@ MohammadAl-Turkistany: कुछ समय पहले, मैंने कागज पर एक त्वरित नज़र डाली, लेकिन मैं भूल गया कि टाइलिंग सटीक नहीं है ... मैंने उत्तर को संशोधित किया ... :-)

— Marzio De Biasi