हमें मोनोटोन कार्यों की गणना करने के लिए कितने नकारों की आवश्यकता है?

Question

रेज़बोरोव ने साबित किया कि मोनोटोन फ़ंक्शन मिलान mP में नहीं है । लेकिन क्या हम कुछ नकारात्मक के साथ बहुपद आकार सर्किट का उपयोग करके मिलान की गणना कर सकते हैं? क्या नकारात्मक के साथ एक पी / पॉली सर्किट है जो मिलान की गणना करता है? मिलान के लिए ऋणों की संख्या और आकार के बीच व्यापार-बंद क्या है?$O(n^\epsilon)$

Answer 1

मार्कोव साबित कर दिया कि किसी भी के समारोह आदानों के साथ ही की जा सकती है ⌈ लॉग ( एन + 1 ) ⌉ negations। फिशर द्वारा एक कुशल रचनात्मक संस्करण का वर्णन किया गया था। जीएलएल ब्लॉग से परिणाम का एक प्रदर्शनी भी देखें ।$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

ज्यादा ठीक:

प्रमेय: मान लीजिए की गणना एक सर्किट C द्वारा g gates के साथ की जाती है , तो यह भी एक सर्किट C ∗ द्वारा 2 g + O ( n 2 log 2 n ) के साथ गणना की जाती है। गेट्स और ates लॉग ( एन + 1 ) ⌈ नकार।$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

मुख्य विचार प्रत्येक तार के लिए जोड़ने के लिए है में सी एक parellel तार डब्ल्यू ' में सी * कि हमेशा के पूरक किया जाता है डब्ल्यू । आधार मामले इनपुट तारों के लिए है: फिशर बताता है कि कैसे एक व्युत्क्रम सर्किट के निर्माण के लिए मैं ( एक्स ) = ¯ एक्स के साथ हे ( एन 2 लॉग 2 n ) फाटक और केवल ⌈ लॉग ( एन + 1 ) ⌉ negations। और सर्किट सी के द्वार के लिए , हम एक वृद्धि कर सकते हैं$w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ के साथ एक ' = ख ' ∨ ग ' , और इसी तरह के लिए या फाटकों। नहीं फाटकों में सी लागत कुछ भी नहीं है, हम बस की भूमिका स्वैप डब्ल्यू और डब्ल्यू ' नहीं फाटक के नीचे की ओर। इस तरह, इन्वर्टर सबसर्किट के अलावा पूरा सर्किट मोनोटोन है।$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

एए मार्कोव। कार्यों की एक प्रणाली के उलटा जटिलता पर। जे। एसीएम , ५ (४): ३३१-३३४, १ ९ ५ (

एमजे फिशर। नकारात्मक-सीमित नेटवर्क की जटिलता - एक संक्षिप्त सर्वेक्षण। में ऑटोमेटा सिद्धांत और औपचारिक बोली , 71-82, 1975

Comments

क्या यह पी / पॉली सर्किट है?

— बेनामी

हां, सर्किट का आकार से 2 जी + ओ ( एन 2 लॉग 2 एन ) होता है जहां एन इनपुट की संख्या होती है। मैंने परिणाम के अधिक सटीक विवरण को शामिल करने के लिए प्रतिक्रिया का विस्तार किया है, और इसे अधिक आत्म-निहित बनाता है। $g$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$n$

— मिकेरो

और पी / पाली में कुछ स्पष्ट (बहु-आउटपुट) मोनोटोन कार्यों के लिए कम से कम लॉग एन - ओ ( लॉग लॉग एन ) पी / पॉली में बने रहने की आवश्यकता होती है । $\log n-O(\log\log n)$

— स्टैसीस

सवालों की इस पंक्ति के लिए (सर्किट / सूत्र / आदि में नकार की शक्ति) निम्नलिखित प्रासंगिक हो सकती है: eccc.hpi-web.de/report/2014/144 , eprint.iacr.org/2014/902 , और ccc। hpi-web.de/report/2015/026 ।

— क्लेमेंट सी।

dimacs.rutgers.edu/TechnicalReports/abstracts/1995/95-31.htmlद्वारा पर्याप्त है। $2g+O(n\log n)$

— एमिल जेकाबेक 3.0

Answer 2

का प्रतिलोम गणना करने के लिए कैसे बिट्स के प्रयोग n negations$2^n-1$$n$

चलो बिट्स , घटते क्रम में सॉर्ट किया यानी मैं < j का तात्पर्य एक्स मैं ≥ एक्स जे । यह Ajotai-Komlós-Szemerédi सॉर्टिंग नेटवर्क जैसे एक मोनोटोन सॉर्टिंग नेटवर्क द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

हम बिट्स I n ( → x ) के लिए व्युत्क्रम सर्किट को परिभाषित करते हैं : बेस केस के लिए हमारे पास n = 1 और I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 है । चलो m = 2 n - 1 । हम I n को कम करते हैं ( 2 मीटर + 1 के लिए ) बिट्स एक I n - 1 गेट ( मीटर के लिए $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$बिट्स) और एक निषेध गेट का उपयोग कर और ∨ फाटकों। हम निषेध करने के लिए गणना का उपयोग ¬ एक्स मीटर । के लिए मैं < मीटर जाने y मैं : = ( एक्स मैं ∧ ¬ एक्स मीटर ) ∨ एक्स मीटर + मैं । हम I n - 1 का उपयोग उल्टे → y के लिए करते हैं । अब हम I n को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं :$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

$$I^n_i := \begin{cases} I^{n-1}_i(\vec{y}) \land \lnot x_m & i<m \\ \lnot x_m & i=m \\ I^{n-1}_i(\vec{y}) \lor \lnot x_m & i<m \\ \end{cases}$$

X n के संभावित मूल्यों पर विचार करके और इस तथ्य का उपयोग करके कि → x कम हो रहा है, इस inverts को सत्यापित करना आसान है ।$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

माइकल जे फिशर से, नकारात्मकता सीमित नेटवर्क की जटिलता - एक संक्षिप्त सर्वेक्षण, 1975।