से अधिक PIT का परिणाम कुशल एल्गोरिथ्म नहीं होना है

Question

यह देखते हुए ऐसी है कि के गुणांकों पी , क्यू से घिरा रहे हैं बी , है पी ≡ क्ष पकड़ ?$p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

श्वार्ट्ज-Zippel लेम्मा यहाँ लागू होता है, क्योंकि यह सामान्य क्षेत्रों और के लिए रखती है और इस समस्या के लिए एक कुशल यादृच्छिक एल्गोरिथ्म है।$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

हम उम्मीद करते हैं कि इस समस्या का कुशल व्युत्पन्न होना आवश्यक है।

यदि इस समस्या का एक कुशल आरेख न हो तो परिणाम क्या होता है?

Comments

कैसे कर रहे हैं और क्यू दी?$p$$q$$\;$

@ रिकीडेमर इसे नियमित बहुपद पहचान परीक्षण में कैसे दिया जाता है?

क्या काबनेट्स-इम्पेग्लियाज़ो परिणाम यह नहीं कहता है कि हम एक कुशल व्युत्पत्ति की उम्मीद नहीं करते हैं?

— सुरेश वेंकट

हाँ। $\:$मुझे लगा कि मैं मानक प्रतिनिधित्व के बाद से लाऊंगा , $\hspace{1.76 in}$ विभिन्न तार अलग-अलग तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं। $\;\;\;\;$

@ सुरेश वेंकट: कबनेट्स और इम्पेग्लियाज़ो ने कई चीजों को साबित किया, जिनमें शामिल हैं: 1. यदि पीआईटी को व्युत्पन्न किया जा सकता है, या तो एनईएक्सपी में कोई पॉलीसीज़ (बूलियन) सर्किट नहीं है या स्थायी में कोई पॉलीसिज़ (अंकगणित) सर्किट नहीं है; 2. यदि स्थायी को सुपरपोली-आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है, तो पीआईटी को "कमजोर" रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है। चूंकि 1. के निष्कर्षों को आम तौर पर 2 के आधार के साथ-साथ रखने के लिए अनुमान लगाया जाता है, इसलिए मैं आपके विपरीत कहूंगा कि केआई परिणाम कहता है कि हम एक कुशल व्युत्पन्न की उम्मीद करते हैं।

— ब्रूनो

Answer 1

के बाद से गड्ढे में है , अगर वहाँ कोई कुशल derandomization तो है पी ≠ आर पी (और विशेष रूप से, पी ≠ एन पी , लेकिन वह है, तो आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि हम उम्मीद करते हैं कि वैसे भी सच होना)। यह भी निश्चित रूप से निकलता है, यह है कि पी ≠ बी पी पी , इसलिए कुछ भी है जिसका मतलब है पी = बी पी पी झूठा हो जाता है। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से मजबूत छद्म आयामी संख्या जनरेटर मौजूद नहीं है, और E = D T I M E ( 2 $\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$सब-वेपनीय क्षमता के सर्किट होंगे!$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

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तो इस पर ध्यान दिए बिना जमीन मैदान के रखती है (में गुणांक जहां पी ∈ { 2 , 3 , 5 , 7 , ... } ∪ { ∞ } गुणांकों पर कुछ सीमा के साथ)? $\Bbb Q_p$$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

दरअसल, जैसा कि आप पहले ही बता चुके हैं कि श्वार्ज़-ज़िपेल-डीमिलो-लिप्टन मनमानी क्षेत्रों पर लागू होता है, और इसकी ज़रूरत सभी को बहुपदों की डिग्री (गुणांक के आकार और न ही सर्किट के आकार) पर होती है। अपवादों की एक बहुत कम संख्या के साथ, पीआईटी का अर्थ आमतौर पर डिग्री-बाध्य संस्करण (चर की संख्या में एक बहुपद द्वारा बाध्य डिग्री) होता है।

— जोशुआ ग्रूचो

मूर्खतापूर्ण बात हो सकती है। आपने गुणांक और सर्किट के आकार पर अनिश्चितता का उल्लेख किया। मैंने मान लिया कि आकार कॉफ़ी की डिग्री और आकार पर निर्भर करता है। क्या मै गलत हु?

सर्किट का आकार कोफ के आकार पर निर्भर कर सकता है। आपके मॉडल (यह जिस मॉडल पर निर्भर करता है, उसे आमतौर पर "स्थिर-मुक्त" कहा जाता है)। सर्किट का आकार केवल डिग्री पर बहुत ही कम निर्भर करता है, इस अर्थ में कि आकार कम से कम डिग्री का लॉग है, लेकिन वास्तव में एसजेडडीएल से बाहर आने वाला सीओआरपी एल्गोरिदम सिर्फ डिग्री के बारे में है। यह सर्किट के रूप में दिए जा रहे कार्यों पर भी निर्भर नहीं करता है - बस किसी न किसी रूप में जिसमें उनका आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है ("ब्लैक-बॉक्स")।

— जोशुआ ग्रूचो

धन्यवाद। यह थोड़ा परेशान करने वाला है कि डायवर्जन को दक्षता में नुकसान के बिना भी किया जा सकता है, भले ही गुणांक स्वयं रचनात्मक रूप से जटिल हो सकता है

Answer 2

आप यहाँ बड़े चित्र मुद्दों के बारे में सोच रहे हैं। एक प्राकृतिक संख्या को कैनरी रूप से एकात्मक अंकन में दर्शाया जा सकता है, लेकिन यह प्रतिनिधित्व काफी जगह अक्षम है। आप इसे बाइनरी नोटेशन में भी प्रस्तुत कर सकते हैं, जो अधिक स्थान कुशल है, लेकिन अब विहित नहीं है, क्योंकि आप टेनरी नोटेशन, या दशमलव संकेतन का भी उपयोग कर सकते हैं। लेकिन ध्यान दें कि बाइनरी नोटेशन की तुलना में सर्किट द्वारा प्रतिनिधित्व काफी कम कुशल नहीं है, उदाहरण के लिए देखें

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

और ध्यान दें कि (...)*(1+1)इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है x:=(...) in x+x, इसलिए आपको इसके लिए गुणा की भी आवश्यकता नहीं है। लेकिन क्योंकि आपके पास गुणा है, आप कुशलतापूर्वक संख्याओं का प्रतिनिधित्व भी कर सकते हैं 1011^101101। यह भी ध्यान दें कि आप इस प्रतिनिधित्व में कुशलता से जोड़, घटा और गुणा कर सकते हैं। लेकिन यह प्रतिनिधित्व संख्याओं तक सीमित नहीं है, यह बहुभिन्नरूपी बहुपद कार्यों के लिए भी ठीक उसी तरह काम करता है। और बहुपद के लिए, यह भी एक बहुत ही प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है, क्योंकि बहुपद कम्यूटेटिव रिंगों के लिए स्वतंत्र बीजगणित है, और सर्किट के रूप में प्रतिनिधित्व किसी भी मुक्त बीजगणित के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$से इनकार किया जाता है, क्योंकि उन संख्याओं में से अधिकांश में अधिक जानकारी होगी जो संभवतः भौतिक ब्रह्मांड द्वारा प्रतिनिधित्व की जा सकती हैं। ज्यादातर शेख़ी ने मुझे हँसाया, लेकिन इस बात ने मुझे सोच में डाल दिया। विलार्ड वैन ओरमैन क्वीन जैसे दार्शनिकों ने दूसरों के बीच, बिना किसी कब्जे के अस्तित्व के दावे का विरोध किया है, क्योंकि वे अव्यवस्थित तत्वों का नेतृत्व करते हैं जो सार्थक रूप से खुद के साथ समान नहीं कह सकते हैं और एक दूसरे से अलग हैं। इसलिए मुझे संख्या प्रस्तुतियों के बारे में आश्चर्य करना काफी उचित लगा, जिसके लिए अभी भी जोड़, घटाव और गुणा किया जाता है, और कम से कम सार्थक रूप से यह निर्धारित किया जाता है कि क्या दो नंबर एक दूसरे से अलग हैं। सर्किट प्रतिनिधित्व इसे प्राप्त करता है ...

मुक्त बीजगणित के बहुपद और सर्किट अभ्यावेदन पर वापस। यहाँ कुछ बड़े प्रश्न हैं:

• 
  $n\geq 4$$n$
• क्या एक मुफ्त बीजगणित है जिसके लिए कुशल नियतात्मक पहचान परीक्षण किसी भी आमतौर पर विश्वास किए गए अनुमानों को अमान्य कर देगा, जैसे = = एनपी?
  -> हाँ, नियमित रूप से कम्यूटेटिव रिंगों के लिए मुक्त बीजगणित के लिए पहचान परीक्षण एनपी-पूर्ण है। लंबे समय तक इस पर ध्यान नहीं दिया गया, नीचे देखें ...
• $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

मैं विशेष रूप से नियमित रूप से विनिमेय छल्लों के लिए मुफ्त बीजगणित के बारे में सोच रहा हूँ यहाँ (एक सामान्यीकृत उलटा संचालन के साथ यानी छल्ले), के रूप में वे तर्कसंगत संख्याओं और तर्कसंगत कार्यों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति होगी। ध्यान दें कि यदि हमने केवल संख्याओं के लिए इस प्रतिनिधित्व का उपयोग किया था, तो हमें आश्चर्य हो सकता है कि क्या हम a < bइस प्रतिनिधित्व के लिए कुशलतापूर्वक परीक्षण कर सकते हैं । यह प्रश्न मुक्त कम्यूटेटिव रिंग के लिए मायने नहीं रखता है, लेकिन यह पॉलीओनियम्स के लिए समझ में आ सकता है, अगर हम उन्हें आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए रिंग के संदर्भ में व्याख्या करते हैं। लेकिन आंशिक रूप से आदेशित रिंग केवल बीजगणित के बजाय एक संबंधपरक संरचना है, इसलिए यह एक अलग तरह का प्रश्न है ...

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श्वार्ट्ज-Zippel लेम्मा यहाँ लागू होता है, क्योंकि यह सामान्य क्षेत्रों और के लिए रखती है जेड ⊂ क्यू$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$$O(\log B)$

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$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

दूसरी ओर, मेरा यह भी मानना ​​है कि आप किसी भी उचित छद्म आयामी संख्या जनरेटर का उपयोग कर सकते हैं और इस तरह सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पीआईटी तय कर सकते हैं, यदि आप अभी काफी समय तक परीक्षण करते हैं। मैं केवल यह मानता हूं कि आप कभी भी शेष (शिशु छोटे) संदेह से छुटकारा नहीं पा सकते हैं, माप शून्य के सेट के समान, जो खाली नहीं होने से परेशान रहते हैं।

Comments

$P!=NP$

मैं केवल एक मुक्त बीजगणित मुद्दे के बारे में सोच रहा हूँ, लेकिन जो आप नहीं सोच रहे हैं