ज्ञान के प्रमाण के लिए जटिलता कक्षाएं

Question

एक प्रश्न से प्रेरित होकर ग्रेग कुपरबर्ग ने मुझसे पूछा, मुझे आश्चर्य हो रहा है कि क्या कोई कागजात है जो विभिन्न प्रकार के ज्ञान के प्रमाण स्वीकार करने वाली भाषाओं की जटिलता कक्षाओं को परिभाषित और अध्ययन करता है । SZK और NISZK जैसी कक्षाएं एक जटिलता के दृष्टिकोण से बेहद स्वाभाविक हैं, भले ही हम पूरी तरह से शून्य ज्ञान के बारे में भूल गए और बस उन्हें अपने पूर्ण वादा समस्याओं के संदर्भ में परिभाषित किया। इसके विपरीत, 'ज्ञान के प्रमाण' के बारे में, मुझे आश्चर्य हुआ कि किसी भी पेपर या लेक्चर नोट्स को जटिलता कक्षाओं के संदर्भ में इस सुंदर अवधारणा पर चर्चा करते हुए नहीं पाया गया।

कुछ उदाहरण देने के लिए: सभी SZK∩MAMAcoMA के उपवर्गों के बारे में क्या कह सकते हैं जिसमें सभी भाषाओं L शामिल हैं जो x∈L या x∉L के लिए सांख्यिकीय शून्य-ज्ञान प्रमाण स्वीकार करते हैं, जो x साबित करने वाले एक गवाह के ज्ञान के प्रमाण भी हैं ∉L या x∈L? निश्चित रूप से इस वर्ग में असतत लॉग जैसी चीजें हैं, लेकिन हम यह साबित नहीं कर पाए कि जीआई को कोमा में रखे बिना ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म है। वर्ग SZK classMAMAcoMA के सभी को शामिल करता है? कोई यह भी पूछ सकता है: यदि एक तरफ़ा कार्य मौजूद है, तो क्या हर भाषा L∩MAMAcoMA एक कम्प्यूटेशनल शून्य-ज्ञान प्रमाण स्वीकार करती है, यह भी x∈L या x∉L साबित करने वाले एक गवाह के ज्ञान का प्रमाण है? (मेरी क्षमा याचना अगर इन दोनों में से एक या दोनों के पास तुच्छ उत्तर हैं --- मैं सिर्फ एक चीज के बारे में बता सकता हूं पूछें, एक बार पीओके को जटिलता-सिद्धांतवादी शब्दों में देखने का फैसला किया।)

Comments

दिलचस्प सवाल! क्या ये प्रश्न बहुत कुछ नहीं हैं जैसे कि बनाम प्रश्न? वास्तव में, के बारे में अपने प्रश्न लगभग बिल्कुल प्रतीत हो रहा है (या, क) के बेतरतीब संस्करण बनाम । $NP \cap coNP$$DP$$MA \cap coMA$$NP \cap coNP$$DP$

— जोशुआ ग्रूचो

कहानी में कहाँ प्रवेश करती है? क्या किसी ने दिखाया कि यह ज्ञान का प्रमाण है या कुछ और? $DP$

— स्कॉट आरोनसन

यह सिर्फ सादृश्य द्वारा अधिक है, मुझे लगता है। दोनों मामलों में ( बनाम और बनाम वह वर्ग जो आप सुझाते हैं), आपके पास एक सत्यापनकर्ता पर शर्तों द्वारा परिभाषित दो कक्षाएं हैं, और आप दो जटिलता वर्गों के चौराहे की तुलना भाषाओं के सेट से कर रहे हैं जो एक ही सत्यापनकर्ता दोनों स्थितियों को एक साथ संतुष्ट करता है। (अगर मैं सही तरीके से समझ गया हूँ।)$NP \cap coNP$$DP$$MA \cap coMA$

— जोशुआ ग्रोचो

Answer 1

यह एक वास्तविक जवाब नहीं है; मैं केवल कुछ परिणाम साझा कर रहा हूं (जो एक टिप्पणी में फिट नहीं हैं)।

1. गोल्डीरिच, मिकलि और विगडरसन ( जे। एसीएम, 1991 ) ने साबित किया कि एनपी की हर भाषा में भाषा सदस्यता का एक शून्य-ज्ञान प्रमाण है (ओडब्ल्यूएफ मौजूद है)। यह अंत करने के लिए, उन्होंने ग्राफ 3-colorability के लिए एक ZK सबूत प्रस्तुत किया। बाद में, बेलारे और गोल्डरिच ( CRYPTO '92 ) ने साबित कर दिया कि यह ZK प्रमाण भी ज्ञान का ZK प्रमाण (PoK) है। लेविन रिडक्शन (पूर्व पेपर के फुटनोट 12 देखें) का उपयोग करते हुए, एनपी में हर भाषा में एक ZK PoK (OWFs मौजूद है) माना जाता है।
2. इटोह और सकुराई ( ASIACRYPT '91 ) में निरंतर-गोल ZK PoK वाले संबंधों के बारे में जटिलता-सिद्धांत संबंधी परिणामों पर एक पेपर है।
3. यह एक प्रतीत होता है असंबंधित परिणाम है, हालांकि मैं कुछ समानताएं नोटिस करने में मदद नहीं कर सकता। मैं किसी भी तरह से (कुछ भी औपचारिक नहीं) महसूस करता हूं कि सदस्यता का प्रमाण बनाम ज्ञान का प्रमाण, निर्णय बनाम खोज के समान है । शायद इस अर्थ में, कोई भी बेलारे और गोल्डवेसर ( जे। कम्प्यूटिंग, 1994 ) के काम का हवाला दे सकता है , जहां वे (सशर्त रूप से) यह साबित करते हैं कि एनपी में सभी भाषाओं में खोज से निर्णय तक कमी नहीं है।

पीओके की जटिलता-सिद्धांत संबंधी पहलुओं के बारे में कुछ खुली समस्याएं (शायद हल की गई, लेकिन यह नहीं कि मुझे पता है):

1. कुछ जटिलता के साथ एक विशिष्ट संबंध के ZK PoK के लिए विभिन्न दक्षता उपाय (जैसे, AM में एक संबंध):

   • सबूत की संचार जटिलता
   • पार्टियों की कम्प्यूटेशनल जटिलता
   • ज्ञान की जकड़न (अर्थात, सिम्युलेटर के चलने का समय (वास्तविक अंतःक्रिया में सत्यापनकर्ता के चलने का समय) के बीच का अनुपात)

2. कुछ सीमाओं के साथ ZK PoK को स्वीकार करने वाले संबंधों की जटिलता, सीमित दौर की जटिलताएं कहती हैं (Itoh और Sakurai केवल निरंतर-दौर ZK PoK पर विचार करते हैं)। एक अन्य उदाहरण है जब नीतिवचन बहुपद समय है: वह कमी 3-colorability का उपयोग नहीं कर सकता, क्योंकि वह एनपी-पूर्ण संबंधों को हल नहीं कर सकता है। सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं में खोज से निर्णय तक कुक की कमी है। फिर भी, बेलारे-गोल्डवेसर परिणाम का हवाला देते हुए, सभी एनपी भाषाओं / संबंधों के लिए ऐसी कटौती जरूरी नहीं है।

3. पीओके के बारे में अन्य दिलचस्प परिणाम जो जरूरी नहीं कि जेडके हैं, लेकिन जिनकी ज्ञान जटिलता अन्यथा सीमित है। गोदरिख और पेट्रैंक (कम्प्यूट । जटिल।, 1999 ) देखें।

समापन से पहले, मुझे यह उल्लेख करने की अनुमति दें कि वास्तव में पीओके के लिए कई परिभाषाएं हैं, जिनमें से कुछ नीचे उद्धृत हैं:

1) प्रारंभिक प्रयास: फीज, फिएट और शमीर ( जे। क्रिप्टोलॉजी, 1988 ), टॉमपा और वोल ( एफओसीएस 1987 ), और फीगे और शमीर ( एसटीओसी 1990 )।

2) डी फैक्टो स्टैण्डर्ड: बेलारे और गोल्डरेच ( CRYPTO '92 )। यह पत्र पीओके को परिभाषित करने के शुरुआती प्रयासों का सर्वेक्षण करता है, उनकी कमियों को देखता है, और एक नई परिभाषा का सुझाव देता है जिसे पीओके की "परिभाषा" माना जा सकता है। इस परिभाषा में एक ब्लैक-बॉक्स प्रकृति है (ज्ञान निकालने वाले के पास धोखा देने वाले के लिए ब्लैक-बॉक्स एक्सेस है)।

3) रूढ़िवादी पीओके: हलेवी और मिकलि द्वारा परिभाषित ( ePrint संग्रह: रिपोर्ट 1998/015 ), यह परिभाषा पिछली परिभाषा को आगे बढ़ाने की गारंटी देती है। यह एक एकल कहावत के ज्ञान के लिए एक परिभाषा भी देता है, जो प्रश्न का उत्तर देते समय अच्छा है "यह कहने का क्या मतलब है कि पी कुछ जानता है?"

4) गैर ब्लैक-बॉक्स एक्सट्रैक्शन के साथ ज्ञान का तर्क: जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, PoKs की मानक परिभाषा ब्लैक बॉक्स है, जो गैर-तुच्छ भाषाओं के लिए ज्ञान के रीसेट करने योग्य शून्य-ज्ञान प्रमाण (या तर्क) के लिए असंभव बनाता है । बराक एट अल। ( FOCS 2001 ) एक गैर-ब्लैक-बॉक्स परिभाषा प्रदान करता है, जो ऊपर उद्धृत किए गए Feige और Shamir (STOC 1990) की परिभाषा पर आधारित है (लेकिन इससे भिन्न है)।