स्रोतों और सिंक के संबंध में न्यूनतम समतुल्य डिग्राफ

Question

सूत्रों एस और सिंक टी के साथ डीएजी (निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ) । एक DAG D ′ का पता लगाएं , सूत्रों S और सिंक T के साथ, न्यूनतम किनारों की संख्या जैसे:$D$$S$$T$$D'$$S$$T$

सभी जोड़े के लिए वहाँ से एक मार्ग है यू करने के लिए वी में डी यदि और केवल यदि वहाँ से एक मार्ग है यू करने के लिए वी में डी ' ।$u \in S, v \in T$$u$$v$$D$$u$$v$$D'$

इसका एक अनुप्रयोग DAG द्वारा एक सेट परिवार का प्रतिनिधित्व कर रहा है। इस तरह के एक प्रतिनिधित्व के लिए प्रत्येक स्रोत ब्रह्मांड में एक चर है और प्रत्येक सिंक सेट परिवार में एक सेट है, और एक तत्व यू एक सेट एस में है यदि और केवल अगर वर्टेक्स से एक रास्ता है जो यू का प्रतिनिधित्व करते हुए शीर्ष तक का प्रतिनिधित्व करता है। सेट एस।

क्या यह समस्या अच्छी तरह से ज्ञात है? क्या इस समस्या के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म है?

Comments

मुझे लगता है कि समाधान मूल ग्राफ का एक सबग्राफ होना चाहिए, है ना? यदि हाँ, मुझे लगता है कि यह समस्या सेट कवर को पकड़ लेती है, तो मानक कमी के माध्यम से जो कि डायरेक्टर्ड स्टेनर ट्री को दर्शाता है, कठोर है: प्रत्येक तत्व के लिए एक शीर्ष, प्रत्येक सेट के लिए एक शीर्ष और एक निर्देशित किनारा (S, u) यदि सेट S है। इसमें तत्व यू है। फिर एक नया शीर्ष और किनारों को जोड़कर सभी लंबवत सेट करें। इस नए शीर्ष से सभी सिंक (तत्व कोने) के लिए एक रास्ता है। उन सभी को संरक्षित करने के लिए हमें सभी तत्वों को शामिल करने वाले सेट वर्टिकल की न्यूनतम संख्या का चयन करना होगा।

— माइकल लैम्पिस

नहीं, सामान्य तौर पर मैं कहूंगा कि यह मूल ग्राफ का सबग्राफ नहीं होना चाहिए। स्रोत तत्व हैं और आपको तत्व की आवश्यकता है यदि और केवल यदि कुछ सेट में वह तत्व है। सिंक सेट हैं और आप उन सेट को डिलीट नहीं कर सकते हैं जिनका आप प्रतिनिधित्व करने वाले हैं इसलिए केवल एक ही चीज कर सकते हैं यदि कोई भोले ग्राफ से शुरू होता है जहां सभी नोड्स सिंक हैं या स्रोत कोने जोड़ना और किनारों को हटाना / हटाना है।

— मार्टिन वत्सलेले 20

$D'$$D'$$D$$D'$$D$$f:V_D \to V_{D'}$$D$$D'$$u$$v$$D$$f(u)$$f(v)$$D'$

मैंने प्रश्न को स्पष्ट किया, वास्तव में मेरा मतलब है कि स्रोत और सिंक समान हैं। मुझे लगता है कि मैपिंग उसी के काफी करीब है, एक ही नोड के लिए दो सिंक को मैप करने का एकमात्र तरीका है यदि वे स्रोतों के एक ही सेट से पहुंच योग्य हैं, यानी एक ही सेट का प्रतिनिधित्व करता है। एक ही तरह से दो स्रोतों को एक ही नोड में मैप किया जा सकता है यदि वे ठीक उसी सिंक तक पहुंचते हैं। इसलिए मुझे लगता है कि डी के कुछ सरल प्रीप्रोसेसिंग के बाद समस्याएं समतुल्य होंगी।

— मार्टिन वॉटशेल

दाग डी वास्तव में समस्या के लिए अप्रासंगिक है, है ना? आप इनपुट के रूप में S और T के बीच द्विदलीय ग्राफ ले सकते हैं।

— एमिल जेकब

Answer 1

$D$

$D'$$D$$v$$G$$D$$v$$D'$$v$$D'$

$D'$$G$$D'$$G$

ध्यान दें, यहां तक ​​कि अगर मेरा अनुमान है, तकनीकी रूप से यह तर्क आपकी समस्या की एनपी-कठोरता साबित नहीं करता है, क्योंकि कमी एक कार्प नहीं है, बल्कि कुक की कमी है।