निषिद्ध बाद के साथ क्रमपरिवर्तन

Question

चलो सेट को और C (n, k) को दोहराए बिना से तत्वों के सभी -combinations के सेट को निरूपित करें । चलो एक होना में -tuple । हम कहते हैं कि एक क्रमपरिवर्तन सेट का से बचता है यदि पूर्णांक k का कोई tuple नहीं है ऐसा $[n]$के [ एन ] पी = पी १ पी २ । । । p k k C ( n , k ) π : [ n ] → [ n ] [ n ] p i 1 < i 2 < । । । < i k π ( i 1$\{1,...,n\}$$k$$[n]$$p= p_1p_2...p_k$$k$$C(n,k)$$\pi:[n]\rightarrow [n]$$[n]$$p$$i_1<i_2<...<i_k$

$$\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k.$$

उदाहरण के लिए, यदि तो क्रमपरिवर्तन को एक अनुवर्ती के रूप में बचा , जबकि क्रमपरिवर्तन नहीं करता है।$n=5$$12453$$134$$\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$

प्रश्न: Let एक निरंतर हो। एक सेट को देखते हुए एस ⊂ सी ( एन , कश्मीर ) की कश्मीर -tuples, एक क्रमपरिवर्तन को खोजने के π : [ एन ] → [ एन ] कि प्रत्येक से बचा जाता है कश्मीर में -tuple एस । $k$$S\subset C(n,k)$$k$$\pi:[n]\rightarrow [n]$$k$$S$

1. क्या इस समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपद है और n ? यहाँ n को unary में दिया गया है। समय में चल रहा एल्गोरिथ्म n f ( k ) | पी | g ( k ) ठीक होगा।$|P|$$n$$n$$n^{f(k)}|P|^{g(k)}$
2. या यह समस्या एनपी-पूर्ण है?

इस समस्या के लिए कोई संदर्भ, या एल्गोरिदम के सुझावों का स्वागत है। ध्यान दें कि ऊपर बताए गए क्रमिकता से बचने के लिए क्रमपरिवर्तन की धारणा वैसी ही नहीं है जैसी कि परिहार से बचने की धारणा है जहां केवल तत्वों का सापेक्षिक क्रम महत्वपूर्ण है, और जो कि कंबाइनटेटिक्स में अच्छी तरह से अध्ययन किया गया लगता है।

Comments

क्या आप यादृच्छिक और क्रमांकन में क्रमपरिवर्तन लेने का मतलब है कि क्या यह एस में किसी भी बाधा का उल्लंघन नहीं करता है? एक यादृच्छिक बहुपद समय एल्गोरिथ्म कुछ भी नहीं से बेहतर होगा। k को एक स्थिरांक माना जाता है, इसलिए यह परिभाषा छोटा है। लेकिन मैं यह नहीं देखता कि अगर एस में कई अड़चनें हैं तो यह कुशलता से कैसे काम करेगा। डेविड के जवाब के बाद से, समस्या k = 3 के लिए एनपीसी है, मैं थोड़ा उलझन में हूं कि एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म कुशल होगा। क्या आप कृपया अपने विचार को थोड़ा समझा सकते हैं?

— माटूस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

क्षमा करें, मैंने अनदेखी की कि आपके पास निषिद्ध टुपल्स का एक सेट है। इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि अस्वीकृति नमूनाकरण कुशल होगा।

— DW

Answer 1

यह के लिए एन पी-सम्पूर्ण है से कमी के betweenness । बीच की समस्या में, किसी को पूरी तरह से ऑर्डर किए जाने के लिए एन आइटम दिए जाते हैं, और ट्रिपल के एक आइटम को अन्य दो के बीच रखने के लिए मजबूर करने वाले आइटमों के कुछ ट्राइएन्स पर बाधाएं डालते हैं। आपकी समस्या में, एक ही बाधा को तीन तत्वों पर सभी अनुवर्ती मना करके मजबूर किया जा सकता है जो मध्य तत्व को बीच में नहीं रखते हैं। लेकिन बीच में एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है: जे। ओप्राटनी, कुल ऑर्डर करने की समस्या, सियाम जे । कॉम्पुट देखें । , 8 (1979), पीपी। 111–114।$k=3$$n$