1-इन -3 सैट में परिवर्तनीय घटनाओं की सीमित संख्या

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क्या चर घटनाओं की प्रतिबंधित संख्या के साथ 1-इन-3-सैट की जटिलता वर्ग पर एक ज्ञात परिणाम है?

मैं पीटर नाइटिंगेल के साथ निम्नलिखित पारिश्रमिक में कमी के साथ आया हूं, लेकिन मैं कुछ का हवाला देना चाहता हूं यदि यह ज्ञात है।

यह वह तरकीब है जिसके साथ हम आए थे। इससे पता चलता है कि प्रति चर में 3 घटनाओं तक सीमित 1-इन-3-सैट एनपी पूर्ण और # पी पूरा (1-इन-3-सैट के बाद से) है , जबकि 3-एसएटी 3 घटनाओं तक सीमित है पी में

मान लीजिए कि हमारे पास x की तीन से अधिक घटनाएं हैं। कहें कि हमें 6 की आवश्यकता है। फिर हम x के बराबर x6 के बराबर 5 नए चर x2 और दो नए चर d1 पेश करेंगे और d2 निम्नलिखित 6 नए खंडों के साथ गलत होने की गारंटी देते हैं:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

जाहिर है कि हम x की प्रत्येक घटना को xi द्वारा पहले एक के बाद कुछ के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। यह प्रत्येक xi और d की तीन घटनाएँ देता है।

उपरोक्त प्रत्येक di को गलत और सभी xi को समान मान पर सेट करता है। यह देखने के लिए, x को सही या गलत होना चाहिए। यदि यह सत्य है तो पहला खंड x2 सही और d1 गलत निर्धारित करता है, और फिर यह क्लैज का प्रचार करता है। यदि x गलत है, तो अंतिम खंड x6 गलत और d2 गलत निर्धारित करता है और यह खंडों का प्रचार करता है। यह स्पष्ट रूप से दृढ़ता से पार्सिमेनस है इसलिए गिनती को बरकरार रखता है।

reference-request sat reductions

— इयान जेंट
स्रोत

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मेरे ज्ञान के अनुसार वर्तमान "सीमाएं" में बसा हुआ है:

स्टीफन पोर्शेन, तात्जाना श्मिट, इवाल्ड स्पीकेनमीयर, एंड्रियास वोत्ज़लाव: XSAT और NAE-SAT ऑफ लीनियर CNF क्लासेस। असतत अनुप्रयुक्त गणित 167: 1-14 (2014)

श्मिट की थीसिस भी देखें: रेखीय और मिश्रित हॉर्न एफएफ़ फ़ार्मुलों के लिए SAT, XSAT और NAE-SAT की कम्प्यूटेशनल जटिलता

प्रमेय २ ९ । XSAT के लिए एन पी-सम्पूर्ण रहता - और - , । $k$ $CNF^l_+$ $k$ $CNF^l$ $k, l \geq 3$

( लिए XSAT - बिल्कुल 1-in-3-SAT है जहां प्रत्येक चर बिल्कुल बार दिखाई देता है ) $3$ $CNF^3$ $l=3$

ध्यान दें कि प्रमेय भी एनपी-पूर्णता को मजबूत मोनोटोन केस ( ) साबित करता है $CNF_+$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

C N F_{+}

$CNF_+$ सकारात्मक (मोनोटोन) CNF सूत्रों का वर्ग है। यह मोनोटोन स्थिति से भी अधिक मजबूत है। बढ़िया खबर।

— साइरिएक एंटनी

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(मैं समझता हूं कि यह एक देर से जवाब होना चाहिए; मैं भविष्य के पाठकों के लिए लिख रहा हूं)

साहित्य में एक अधिक मजबूत परिणाम है।

क्यूबिक प्लानर पॉजिटिव 1-इन -3 सैटिसिबिलिटी मूर और रॉबसन में एनपी-पूर्ण, सरल टाइलों के साथ हार्ड टाइलिंग समस्या साबित होती है । (वे कहते हैं कि 'सकारात्मक' के बजाय 'मोनोटोन'

उल्लिखित परिणाम श्मिट की थीसिस में परिणाम से अधिक मजबूत है क्योंकि यहां सूत्र का ग्राफ प्लानर होने के लिए प्रतिबंधित है। (स्थिति वास्तव में अधिक मजबूत है: वे एक विशेष प्रकार की एम्बेडिंग देते हैं जिसे रेक्टिलिनियर एम्बेडिंग कहा जाता है)

ग्राफ एक बूलियन सूत्र के शिखर सेट के साथ ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है और बढ़त सेट चर खंड में होता है (unnegated या नकार दिया) (जहाँ वेरिएबल्स का सेट है और क्लॉस का सेट है)। $G_B$ $B=(X,C)$ $X\cup C$ $E:= \{ x_iC_j\ :\$ $x_i$ $C_j$ $\}$ $X$ $C$

घन Planar सकारात्मक 1 में 3 satisfiability
उदाहरण: बूलियन सूत्र जहां चर का एक सेट, है से अधिक 3-तत्व सबसेट का एक सेट (खंड), और ग्राफ की है एक क्यूबिक प्लानर ग्राफ। प्रश्न: क्या लिए एक सत्य असाइनमेंट मौजूद है जैसे कि प्रत्येक क्लॉज में एक सही चर है? $B=(X,C)$ $X$ $C$ $X$ $G_B$ $B$
$X$ $C$

ध्यान दें कि प्रत्येक खंड में 3 अलग-अलग चर होते हैं और प्रत्येक चर बिल्कुल 3 खंडों में दिखाई देता है।

टीपरेंहाउर की थीसिस को प्लैनर 3-सैट और इसके वेरिएंट्स (2016) में देखें, ऐसे वेरिएंट के लिए जो वेरिएंट की संख्या को प्रतिबंधित करते हैं।
नोट: इस थीसिस के प्रकाशन के बाद कुछ वेरिएंट खोजे गए हैं।

नोट जोड़ा गया: मूर और रॉबसन के परिणाम ने साबित कर दिया कि क्यूबिक प्लेनर पॉजिटिव 1-इन -3 संतुष्टि एनपी-पूर्ण है। (अर्थात, बूलियन फार्मूला सिर्फ एकरस नहीं है, यह पॉजिटिव है (यानी, कोई भी नकारात्मक शब्द नहीं है))। दुर्भाग्य से, कई शुरुआती पत्रों में, 'मोनोटोन' शब्द का अर्थ 'सकारात्मक' होता था। मूर और रॉबसन द्वारा कमी नकारात्मक शाब्दिक परिचय नहीं है। उनकी कमी प्लानर 'मोनोटोन' से 1-इन -3 सैट्रोसिटी की है, जो लारोच के पेपर प्लानेर 1-इन -3 संतुष्टि में एनपी-पूर्ण है । मुझे यह पेपर नहीं मिला, लेकिन ज्यादातर लॉरोच का मतलब 'मोनोटोन' कहना भी सकारात्मक था। इसके अलावा, उनका यह मतलब नहीं था, हम मूलार और रोते से प्लैनर पॉजिटिव 1-इन -3 संतुष्टि का उपयोग कर सकते हैं ' इसके बजाय स्रोत समस्या के रूप में।

इस प्रश्न के उत्तर को csese में देखें

— साइरैक एंटनी
स्रोत