बोरसुक-उलम बिंदु खोजने की जटिलता

Question

Borsuk-ऊलाम प्रमेय का कहना है कि हर निरंतर अजीब समारोह के लिए है कि एक n क्षेत्र से इयूक्लिडियन एन-अंतरिक्ष में, वहाँ एक बिंदु है ऐसी है कि ।$g$$x_0$$g(x_0)=0$

सीमन्स एंड सू (2002) ने टकर के लेम्मा का उपयोग करके बिंदु को अनुमानित करने के लिए एक विधि का वर्णन किया । हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि उनकी पद्धति की रन-टाइम जटिलता क्या है।$x_0$

मान लीजिए हम समारोह के लिए एक दैवज्ञ दिया जाता है और एक सन्निकटन कारक ε > 0 । रन-टाइम जटिलता क्या है ( एन के एक समारोह के रूप में ):$g$$\epsilon>0$$n$

1. एक बिंदु $x$ ऐसा खोजना $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. एक बिंदु $x$ ऐसे खोजना $|x-x_0|<\epsilon$ , जब $x_0$ एक बिंदु को संतोषजनक है $g(x_0)=0$ ?

Comments

क्या यह रियल रैम मशीन है?$\;$

Answer 1

पापादिमित्रिउ ने दिखाया कि इस समस्या का एक संस्करण पेपर में पीपीएडी-पूर्ण है जो उस कक्षा को प्रस्तुत करता है, "समता के तर्क की जटिलता और अस्तित्व के अन्य अकुशल प्रमाणों पर" ।

समस्या का उनका सूत्रीकरण है:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(सिडेनोट - कई बार जब आप एक निश्चित-प्रकार के प्रमेय को देखते हैं, तो PPAD खोजने की जटिलता के लिए एक अच्छा अनुमान है ...)

Answer 2

$g$$g$$n=1$

यदि ओरेकल किसी ट्यूरिंग-मशीन द्वारा दिया जाता है, तो आपको लगता है कि आपकी समस्या है

1. FIXP पूर्ण,

2. PPAD पूर्ण,

$\epsilon$