क्या सबूत है कि ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म

Question

मेरी पोस्ट पर Fortnow की टिप्पणी, से प्रेरित प्रमाणित करती है कि ग्राफ समाकृतिकता समस्या नहीं है $NP$ -Complete , और तथ्य यह है कि द्वारा $GI$ के लिए एक प्रमुख उम्मीदवार हैं $NP$ -intermediate समस्या (नहीं $NP$ -Complete है और न ही में $P$ ), मैं जाना जाता सबूतों में दिलचस्पी है कि जी पी$GI$ में नहीं है ।$P$

ऐसा ही एक प्रमाण एक प्रतिबंधित ग्राफ ऑटोमऑर्फ़िज्म समस्या का $NP$ अपूर्णता (फिक्स्ड-पॉइंट फ्री ग्राफ ऑटोमोर्फिज़्म समस्या $NP$ अपूर्ण है) है। लुइस द्वारा जीआई की इस समस्या और अन्य सामान्यताओं का $GI$अध्ययन " कुछ एनपी-पूर्ण समस्याओं ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के समान " में किया गया था। कुछ लोग इस तथ्य के प्रमाण के रूप में तर्क दे सकते हैं कि 45 से अधिक वर्षों के बावजूद किसी को भी जीआई के लिए बहुपद-काल एल्गोरिथ्म नहीं मिला $GI$।

हमें क्या सबूत देना होगा कि $GI$ में पी नहीं है $P$?

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सबग्राफ-आइसोमॉर्फिज्म भी एनपी-पूर्ण है। $\;$

कुछ हद तक कमजोर सबूत समस्याओं की बढ़ती श्रेणी है जो जीआई के लिए लॉग-स्पेस-समतुल्य है, फिर भी इनमें से कोई भी स्पष्ट पॉलिमाइम एल्गोरिदम नहीं है। (बेशक, अगर उनमें से एक के पास एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म है, तो वे सब करते हैं।)

— एंड्रस सलामोन

पी बनाम एनपी के समान परिस्थितिजन्य साक्ष्य: जीआई एल्गोरिदम के अनुकूलन के दशकों जैसे कि नौट्टी जो अभी भी प्रयोगात्मक रूप से गैर-पी सबसे खराब स्थिति के रुझान हैं, मुख्यतः यादृच्छिक नियमित ग्राफ़ पर।

— vzn

जीआई परीक्षण के लिए हार्ड ग्राफ़

— vzn

आप इस बारे में क्या सोचते हैं? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— अन्ना टॉम्स्कोवा

Answer 1

इस प्रश्न से पहले, मेरी राय यह थी कि ग्राफ़ आइसोमोर्फिज्म पी में हो सकता है, अर्थात यह मानने के लिए कोई सबूत नहीं है कि जीआई पी में नहीं है। इसलिए मैंने खुद से पूछा कि मेरे लिए सबूत के रूप में क्या गिना जाएगा: यदि लिए परिपक्व एल्गोरिदम थे - समूह समाकृतिकता कि पूरी तरह से की उपलब्ध संरचना शोषण -समूह और अभी भी बहुपद क्रम प्राप्त करने के लिए कोई उम्मीद है, तो मुझे लगता है कि सैनिक सहमत होंगे शायद पी में नहीं वहाँ जाना जाता है एल्गोरिदम ऐसे ही उपलब्ध संरचना का फायदा उठाने है समाकृतिकता के लिए परीक्षण - समूहों। ओ'ब्रायन (1994)पी पी$p$$p$$p$, लेकिन मैंने इसे न्यायाधीश के लिए पर्याप्त विवरण में नहीं पढ़ा है कि क्या यह उपलब्ध संरचना का पूरी तरह से शोषण करता है, या क्या इस एल्गोरिथम ( -समूह की अतिरिक्त गैर-स्पष्ट संरचना का शोषण किए बिना ) बहुपदीय रनटाइम को प्राप्त करने के लिए कोई उम्मीद है।$p$

लेकिन मुझे पता था कि डिक लिप्टन ने सामान्य रूप से समूह आइसोमोर्फिज्म समस्या की कम्प्यूटेशनल जटिलता और विशेष रूप से - ग्रूप आइसोमॉर्फिज्म समस्या को स्पष्ट करने के लिए 2011 के अंत तक कार्रवाई का आह्वान किया था । तो मैं के लिए googled$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

यह देखने के लिए कि क्या कार्रवाई के लिए कॉल सफल रहा है। वाकई ऐसा था:

1. समूह समसामयिक समस्या: एक संभावित बहुरूपता समस्या?
2. समूह समरूपता पर अग्रिम
3. सीसीसी से तीन: समूह समरूपता पर प्रगति

अंतिम पोस्ट एक ऐसे पेपर की समीक्षा करता है जो समूहों के कुछ महत्वपूर्ण परिवारों के लिए रनटाइम प्राप्त करता है, उपलब्ध संरचना का बहुत शोषण करता है, और 1994 से उपर्युक्त कागज को स्वीकार करता है। क्योंकि रनटाइम बाउंड दोनों अनुभव के साथ संगत है कि ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म अभ्यास में कठिन नहीं है, और इस अनुभव के साथ कि कोई भी बहुपद समय एल्गोरिथ्म (यहां तक ​​कि समूह समरूपतावाद के साथ) में आने में सक्षम नहीं है, यह कर सकता है साक्ष्य के रूप में गिना जाए कि जीआई पी में नहीं है। n O ( लॉग लॉग एन $n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

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rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems भी मेरी खोज से बदल गए। यह प्रमेय 2 का ग्राफ । इसके अलावा, में हर वादा समस्या अंतर्गत आता है करने के लिए के रूप में वादा समस्याओं के लिए परिभाषित किया। एस जेड कश्मीर बी पी पी एम सी एस ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$${\mathsf{SZK}}$${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$यह इस बात का प्रमाण है कि जीआई एनपी-पूर्ण नहीं है, लेकिन यहां यह सवाल नहीं था। मुझे जोड़ने दें कि मुझे अपने उत्तर की लंबाई या शैली के साथ कोई समस्या नहीं दिखती है, क्योंकि मैं तर्क के लिए एक अनुरोध के रूप में साक्ष्य के लिए अनुरोध की व्याख्या करता हूं।

— थॉमस क्लिंपेल

मैं आपके तर्क का पालन नहीं करता। आप कैसे जान सकते हैं कि "उपलब्ध संरचना" "पूरी तरह से शोषण" है? अगर कुछ भी नहीं है, तो ग्रूचो-किआओ पेपर का सुझाव नहीं है कि कोहमोलॉजी कक्षाओं के साथ बहुत कुछ किया जा सकता है?

— साशो निकोलोव

@SashoNikolov "उपलब्ध संरचना" से, मेरा मतलब समूह सिद्धांत समुदाय, संबंधित समुदायों और मौजूदा प्रकाशनों में संरचना के बारे में ज्ञान है। उदाहरण थे कि संरचना "पूरी तरह से शोषित नहीं है" प्रकाशन हैं जिनका मुख्य लक्ष्य व्यावहारिक कार्यान्वयन योग्य एल्गोरिथ्म के साथ आना है, इसलिए कुछ बिंदु पर रुकते हैं और केवल स्पष्ट संकेत के बिना शेष सीमाओं का उल्लेख करते हैं कि क्या वे मौलिक हैं। ग्रूचो-किआओ पेपर ने उन लोगों की समीक्षा की और सीधे समूह समरूपता की कम्प्यूटेशनल जटिलता पर हमला किया, इसलिए इसके परिणाम अच्छे प्रमाण हैं।

— थॉमस क्लिंपेल

Answer 2

क्रमपरिवर्तन का सबसे छोटा सेट आपको यह सत्यापित करने के लिए जांचना होगा कि ब्लैक बॉक्स सेटिंग में कोई गैर-तुच्छ क्रमपरिवर्तन मौजूद नहीं है जो से बेहतर हैलेकिन अभी भी घातीय, OEIS A186202 ।$n!$

ग्राफ़ को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या है । नार, मोनी को देखें। "सामान्य अप्रकाशित रेखांकन का संक्षिप्त प्रतिनिधित्व।" असतत अनुप्रयुक्त गणित 28.3 (1990): 303-307। अगर मैं याद करूँ तो कम्प्रेशन मेथड प्रूफ थोड़ा साफ है। वैसे भी, उस सेट को कॉल करने देता है । चलो लेबल रेखांकन के लिए।($log_{2}$UL=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

$U^L$यदि आप घातांक में परिवर्तित करते हैं तो और । बस अपने प्रकार के हस्ताक्षर को कैनोनिकल रूप में ग्राफ डालने की जांच करना आसान लगता है, लेकिन जैसा कि जीसी के ऊपर दिखाया गया है, जीआई को आसान बनाता है।$Bool^{L^{L}}$

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धन्यवाद। इस तरह के तर्क कितने मजबूत हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

क्या इस संबंध में और दस्तावेज होने का हवाला दिया गया है?

— vzn

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: यह मूल रूप से एक क्वेरी जटिलता तर्क है। लेकिन ज्ञात एल्गोरिदम, जैसे कि बाबई-लुक्स 1983, पहले से ही इस बाध्य को हरा देता है, मुझे लगता है कि काफी महत्वपूर्ण मार्जिन ( बनाम )। $2^n$$2^{\sqrt{n}}$

— जोशुआ ग्रूको

@ChadBrewbaker: यदि आपकी चिंता को कम किया जा रहा है, और औसत-मामले की जटिलता मुझे यकीन है कि nauty आपके एल्गोरिथ्म की तुलना में काफी बेहतर है। (ध्यान दें कि nauty पर सबसे अच्छी तरह से ज्ञात निचली सीमा (मियाज़ाकी 1996), और मियाज़ाकी रेखांकन के लिए एक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म पाया गया था। एक सरल विश्लेषण से पता चलता है कि निम्न सीमा आपके एल्गोरिथ्म पर।) इसके अलावा, जीआई औसत-केस रैखिक समय (बाबाई-कुचेरा) में है। $\Omega(2^{n/20})$$(3/2)^n$

— जोशुआ ग्रूको

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: इस सवाल ने मुझे जीआई की जटिलता पर अपने विश्वासों के बारे में अधिक गहराई से सोचने का मौका दिया है। पुन: आपके अन्य प्रश्न, ध्यान दें कि यदि कोई पाली-टाइम ट्यूरिंग (या यहां तक ​​कि कई-एक) जीआई से जीए तक तो पी एनपी। $\neq$

— जोशुआ ग्रूको

Answer 3

अपने पेपर में कोजेन, ग्राफ समरूपता के समतुल्य एक क्लिक् समस्या , इस बात का प्रमाण देती है कि में नहीं है । निम्नलिखित कागज से है:$GI$$P$

"फिर भी, यह संभावना है कि ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म खोजना एक एनपी-पूर्ण समस्या के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म खोजने में उतना ही मुश्किल होगा। इस दावे के समर्थन में, हम एक ग्राफ गड़बड़ी, एक छोटे गड़बड़ी ग्राफ के बराबर समस्या देते हैं। जिसमें से NP- पूर्ण है। ”

इसके अलावा, कैसिपोलिनोमियल समय में अपने हालिया सफलता पत्र ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म में बाबाई जीआई के लिए कुशल एल्गोरिदम के अस्तित्व के खिलाफ एक तर्क देता है। वह देखता है कि समूह isomorphism problem (जो GI को reducible है) GI को में रखने के लिए एक बड़ी बाधा है । समूह Isomorphism समस्या (समूहों को उनके केली टेबलिस द्वारा दिया जाता है) में हल है और इसे में होना ज्ञात नहीं है ।$P$$n^{O(\log n)}$$P$

यहाँ बाबई के पेपर का एक अंश है:

वर्तमान पेपर का परिणाम समूह Isomorphism समस्या (और चुनौती समस्या कहा गया है) के महत्व को पी में जीआई रखने में बाधा के रूप में बढ़ाता है। यह काफी संभव है कि जीआई की मध्यवर्ती स्थिति (न तो एनपी-पूर्ण, न ही बहुपद समय) बनी रहेगी।

Comments

कोजेन के नींबू से। 3 एक इस घटना का एक सरल उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं: अर्थात्, प्रेरित subgraph समाकृतिकता (है के एक प्रेरित subgraph जी ) वास्तव में सैनिक है जब | जी | = | एच | , लेकिन एनपी मुश्किल है जब | जी | = सी | एच | किसी भी c > $H$$G$$|G|=|H|$$|G|=c|H|$$c > 1$। असतत मापदंडों के लिए, हम जानते हैं कि पी में समस्याएं हैं जो जल्दी से एनपी-पूर्ण हो जाती हैं (जैसे 2SAT बनाम 3SAT)। क्या आप जानते हैं कि पी में कुछ निरंतर पैरामीटर के साथ समस्याओं के उदाहरण हैं जो एक तेज सीमा पर एनपी-पूर्ण हो जाते हैं? यदि ऐसा है, तो इस तरह का तर्क ज्यादा सबूत नहीं होगा कि जीआई पी में नहीं है, लेकिन मैं अपने सिर के ऊपर से इस तरह के उदाहरण के बारे में नहीं सोच सकता।

— जोशुआ ग्रूको

@JoshuaGrochow नहीं, मुझे ऐसी किसी भी निर्णय समस्या के बारे में जानकारी नहीं है। लेकिन अनुकूलन समस्याओं के लिए मुझे पता है कि एक काम संतोषजनक खोजने खंड की है पी , जबकि एक काम संतोषजनक खोजने 7 / 8 + ε खंड की है भी संतुष्टि योग्य 3SAT सूत्रों (के लिए हार्ड )। $7/8$$P$$7/8+ϵ$$NP$$ϵ>0$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

उफ़, क्लिम्पेल के उत्तर में पहले से ही समूह समरूपता साक्ष्य हैं। वैसे भी, इस मामले पर बाबई के दृष्टिकोण का होना उपयोगी है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

बाबाई ने क्सिपोलिनोमियल रनटाइम के दावे को वापस ले लिया । स्पष्ट रूप से विश्लेषण में एक त्रुटि थी।

— राफेल

Answer 4

यहां अन्य परिणाम अभी तक उद्धृत नहीं किए गए हैं

• ग्राफ आइसोमोर्फिज्म / टोरन एफओसीएस 2000 और सियाम जे। कम्प्यूट की कठोरता पर । 33, 5 1093-1108।

  हम बताते हैं कि ग्राफ समाकृतिकता समस्या DLOGTIME वर्दी एसी के तहत कठिन है ⁰ कई-एक हर लघुगणक अंतरिक्ष मॉड्यूलर वर्ग मॉड के लिए जटिलता वर्गों NL, पी एल (संभाव्य लघुगणक अंतरिक्ष) के लिए कटौती _{कश्मीर} एल और समस्याओं के वर्ग DET के लिए एन सी ¹ कम करने योग्य करने के लिए निर्धारक। ये ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के लिए सबसे मजबूत ज्ञात कठोरता परिणाम हैं और सही मिलान समस्या से ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म तक एक यादृच्छिक लॉगरिदमिक स्थान में कमी लाते हैं। हम ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म समस्या के लिए कठोरता के परिणामों की भी जांच करते हैं।

• ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म एसी ⁰ रेड्यूसिबल नहीं है ग्रुप आइसोमॉर्फिज्म / चट्टोपाध्याय, तोरण, वैगनर

  जब हम समूह संरचना और गुणात्मक तालिका द्वारा स्पष्ट रूप से इनपुट संरचनाएं दी जाती हैं, तो हम समूह और क्वासिग्रुप Isomorphism समस्याओं के लिए एक नई ऊपरी सीमा देते हैं। हम बताते हैं कि इन समस्याओं को ओ (लॉग लॉग एन) गहराई और ओ (लॉग ² एन) नॉन्डेटर्मिनिस्टिक बिट्स के साथ अनबाउंड फैन-इन के बहुपद आकार के नॉन्डेटेरिमिनिस्टिक सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है , जहां एन समूह तत्वों की संख्या है। यह समस्याओं के लिए [Wol94] से मौजूदा ऊपरी सीमा में सुधार करता है। पिछले ऊपरी बाउंड में सर्किट ने फैनिन को बांधा है लेकिन डेप्थ ओ (लॉग ² एन) और ओ भी (लॉग ² एन) नॉन्डेटर्मिनिस्टिक बिट्स। हम फिर साबित करते हैं कि हमारे ऊपरी बाउंड से किस तरह के सर्किट समता फ़ंक्शन की गणना नहीं कर सकते हैं। चूंकि पैरिटी AC ^{0 है}ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए reducible, इसका अर्थ है कि ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म एसी ⁰ रिड्यूस द्वारा परिभाषित ऑर्डर के तहत ग्रुप या क्सिग्रुप आइसोमॉर्फिज्म की तुलना में कड़ाई से कठिन है ।

Comments

यद्यपि ये वास्तव में जीआई पर सबसे मजबूत ज्ञात निचली सीमाएं हैं, वे वास्तव में इसके पी में नहीं होने के बारे में कुछ नहीं कहते हैं। पहले मामले में, डीटीटी पी के इतने करीब नहीं है। दूसरे मामले में, ध्यान दें कि इसकी संरचना पी भीतर -degrees पहले से ही काफी समृद्ध है। $\mathsf{AC}^0$

— जोशुआ ग्रूचो

"जीआई पर सबसे मजबूत ज्ञात निम्न सीमाएं", ofc GI एनपी में है इसलिए वास्तविक प्रमाण यह है कि जीआई पी में नहीं है, पी to एनपी के बराबर है! (संभवतः NPI ≠ ∅ के माध्यम से ) ...

— vzn

हां, लेकिन, उदाहरण के लिए, यह जानना अच्छा होगा कि जीआई पी-हार्ड है! (बेशक, पी-कठोरता यह दिखाने के लिए बहुत कम है कि कुछ पी में नहीं है, लेकिन यह कम से कम यह सुझाव देगा कि जीआई नेकां में नहीं है!)

— जोशुआ ग्रूचो