ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए एक ग्राफ के ऑटोमोर्फिज्म की संख्या

चलो $G$ और हो दो आकार के नियमित जुड़ा रेखांकन । चलो क्रमपरिवर्तन की सेट हो ऐसी है कि । यदि तो , के स्व-चालित जीवों का समुच्चय है । $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

के आकार पर सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी-बाउंड क्या है ? क्या विशेष ग्राफ कक्षाओं (पूर्ण / चक्र ग्राफ वाले नहीं) के लिए कोई परिणाम हैं? $A$

नोट: आटोमोर्फिज्म समूह का निर्माण कम से कम उतना ही मुश्किल है (इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता के संदर्भ में) ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या को हल करना। वास्तव में, बस आटोमर्फिम्स को गिनना बहुपद-समय ग्राफ ग्राफोमिज्म के बराबर है, cf R. मैथॉन, "ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म काउंटिंग समस्या पर एक नोट"।

— जिम
स्रोत

Wormald ने दिखाया है कि यदि $G$ एक जुड़ा हुआ है $3$ 2n कोने के साथ-अनियमित ग्राफ तब की संख्याओं की संख्या $G$ विभाजित $3n\cdot 2^n$ । विशेष रूप से यह एक गैर-तुच्छ घातीय ऊपरी-सीमा देता है $3$ अनियमित मामला। हो सकता है कि सामान्य के लिए इस लाइन में परिणाम हों $k$ अनियमित रेखांकन।

एक कम बाध्य के लिए, सूत्र पर विचार करें $F$ साथ में $n$ आदानों जिसका द्वार अलावा हैं की 2. प्रशंसक में फाटकों तब की एक resut का उपयोग कर तोरण एक एक निर्माण कर सकते हैं नियमित ग्राफ के साथ कोने जिसका automorphism समूह के लिए सभी संभव encodes मूल्यांकन । इसका तात्पर्य है कि के आटोमोर्फिम्स की संख्या कम से कम । इससे पता चलता है कि वहाँ कार्यक्षेत्रों की संख्या के क्रम में अनियमित रेखांकन के ऑटोमोरफिज़्म की संख्या के लिए एक घातीय निचला भाग है। $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— माटेउस डी ओलिवेरा ओलिवेरा
स्रोत

कृपया निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें, 1. नियमित ग्राफ़ और नियमित ग्राफ़ (उनमें से कोई भी पूर्ण या चक्र ग्राफ़ नहीं है) एक दूसरे के साथ ई संख्या किनारों के माध्यम से जुड़ते हैं, कहते हैं कि यह शामिल ग्राफ़ अनियमित ग्राफ़ 2 है। प्रत्येक का शीर्ष नियमित ग्राफ साथ किनारों है नियमित ग्राफ। वहाँ की कोई दो कोने है नियमित ग्राफ, साथ किनारों की संख्या समान है नियमित ग्राफ। क्या जी का स्व-प्रतिरक्षी विस्तार घातांक हो सकता है?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— जिम

हाँ। ग्राफ G2 में स्वचालितों की एक घातीय संख्या हो सकती है। बता दें कि H1 किसी भी r1 रेग्युलर ग्राफ के साथ n वर्टिकल है, गिने हुए 1 ... n.Let H2 एक ग्राफ है जिसे निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है (3 टिप्पणियों में विभाजित)। आज्ञा देना हीरे का ग्राफ, यानी, एक 4-चक्र एक साथ दो पूर्व गैर-आसन्न कोने को जोड़ने वाले किनारे के साथ। कहें कि ये दो कोने डी के आंतरिक कोने हैं। अन्य दो कोने डी के बाहरी कोने हैं। स्पष्ट रूप से, एक ऑटोमोरहिज्म है जो दोनों आंतरिक कोने को स्वैप करता है और बाहरी कोने को अछूता छोड़ देता है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

अब, 1 (n + 1) / 2 से गिने n (n + 1) / 2 शीर्षकों के साथ दो चक्र C1 और C2 के असंतुष्ट संघ पर विचार करें। डायमॉड ग्राफ की n (n + 1) / 2 प्रतियों पर भी विचार करें। अब प्रत्येक i के लिए, D_i के बाहरी सिरों में से एक को C1 के i-वें शीर्ष पर और दूसरे बाहरी शीर्ष को C2 के i-th शीर्ष से कनेक्ट करें। फिर इस प्रक्रिया द्वारा प्राप्त ग्राफ H2 3-नियमित है, और इसमें ऑटोमोरहिम्प्स की एक घातांक संख्या होती है, क्योंकि प्रत्येक D_i के आंतरिक कोने अलग से स्वैप किए जा सकते हैं।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

अब H1 के प्रत्येक शीर्ष v_j के लिए हम 2j किनारों को v_j से हीरे के आंतरिक कोने में इस तरह से जोड़ते हैं कि हीरे D_i के दोनों आंतरिक कोने H1 में एक ही शीर्ष से जुड़ जाते हैं। यह गारंटी देता है कि हीरे के आंतरिक कोने को अभी भी स्वैप किया जा सकता है, और इसलिए ग्राफ G2 में कुल संख्या ऑटोमोटिव्स घातीय है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

यह दिखाना आसान है कि ऑर्डर और अधिकतम वैधता का एक जुड़ा हुआ ग्राफ सबसे पर आटोमोर्फिज्म ग्रुप ऑफ ऑर्डर है । ऐसे क्रम का क्रम ज्ञात करें, जो दूसरे के साथ शुरू होता है, प्रत्येक शीर्ष कम से कम एक शीर्ष के समीप होता है जो पहले आया था। बता दें कि पहले को ठीक करने वाला है । यह उपसमूहों की एक अवरोही श्रृंखला है, और । यह ऑर्बिट-स्टेबलाइजर प्रमेय द्वारा अनुसरण करता है , and for ।

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

यदि आप ग्राफ़ को डिस्कनेक्ट करने की अनुमति देते हैं, तो शीर्ष की संख्या के संबंध में कोई अच्छा ऊपरी सीमाएं नहीं हैं।

के लिए नियमित रेखांकन के संबंध तोड़ना संघ ले पूरा रेखांकन । फिर ग्राफ में कोने हैं, औरautomorphisms। $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— तोरी
स्रोत