क्या MLTT बिना Prop के प्रभावी रूप से pCiC है?

Question

क्या मार्टिन-लोफ प्रकार का सिद्धांत मूल रूप से impredicative बिना आगमनात्मक निर्माणों का ?$\mathtt{Prop}$

यदि वे निकट से संबंधित हैं, लेकिन just से अधिक अंतर हैं, तो वे अंतर क्या हैं?$\mathtt{Prop}$

Comments

मेरी पुस्तक में, MLTT एक (पुराना और स्थापित) अंतर्ज्ञानवादी आश्रित प्रकार का सिद्धांत है, जबकि मैं कलक प्रूफ असिस्टेंट के साथ कैलकुलस ऑफ़ कंस्ट्रक्शंस को जोड़ता हूं। लेकिन हो सकता है मैं गलत हूं।

— थॉमस क्लिम्पेल

MLTT समानता से निपटने के लिए पहचान प्रकारों का उपयोग करता है। सीआईसी के विधेय अंश में समानता क्या होगी?

— मार्टिन बर्जर

@ मर्टिनबर्गर: सीआईसी में पहचान के प्रकार भी होते हैं!

— कोडी

यह पूछना थोड़ा सा है कि क्या ब्रिटेन अन्य 27 सदस्य राज्यों के बिना यूरोपीय संघ है

— बाउर

@AndrejBauer अगर मैं काफी मजाकिया था, तो मैं एक अजीबोगरीब मजाक के साथ आया, लेकिन दुर्भाग्य से मैं नहीं हूं। :-P

— उपयोगकर्ता

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर हां है, एमएलटीटी को यथोचित रूप से सीआइसी के साथ समान किया जा सकता है Prop।

मुख्य तकनीकी मुद्दा यह है कि मार्टिन-लोफ टाइप थ्योरी के बारे में जब कोई बात करता है, तो दर्जनों प्रकार होते हैं, और शायद अधिक आश्चर्यजनक रूप से, जब कोई सीआईसी के बारे में बात करता है। उदाहरण के लिए, बेंजामिन वर्नर की थीसिस में परिभाषित सीआईसी का संस्करण लेते हुए, इसे हटाने का Propकोई मतलब नहीं है, क्योंकि किसी के पास Setया ब्रह्मांड नहीं है Type।

इनमें से किसी एक सिद्धांत पर विचार करने वाले मुख्य रूप निम्न हैं:

1. यूनिवर्स : कितने, और वे कैसे परिभाषित होते हैं (पामग्रीन, ऑन यूनिवर्स इन टाइप थ्योरी , कई असमान रूपांतरों पर चर्चा करते हैं), और चाहे या नहीं ब्रह्मांड बहुरूपता को स्वीकार किया गया हो।

2. कौन से आगमनात्मक प्रकार / परिवार : अगाडा इंडक्टिव-रिकर्सिव प्रकारों को मानते हैं, लेकिन कई बड़े पैमाने पर भिन्नताएं हैं, जो इस बात पर निर्भर करती है कि "बड़े" प्रकार के निर्माण और निष्कासन के प्रकारों को अनुमति दी जाती है, पैरामीटर बनाम सूचकांकों को संभालते हुए, आदि।

3. प्रकार के निर्माणकर्ताओं की इंजेक्शन । यह एजडा में EM के साथ असंगत प्रणाली की ओर जाता है। बेशक एपिग्राम में एक अधिक चरम "ऑब्जर्वेशनल टाइप थ्योरी" है, लेकिन इसे पूरी तरह से कुछ अलग माना जा सकता है।

4. Axiom K : यह निर्भर पैटर्न मिलान के कुछ संस्करणों के साथ मुफ्त में आता है।

5. जानबूझकर बनाम बहुआयामी : यह एक बहुत बड़ा अंतर है, जहां अनिवार्य रूप से एक नया रूपांतरण नियम अतिरिक्त सिस्टम जो टाइप-चेकिंग को बनाता है (लेकिन बहुत अधिक शक्तिशाली)। मार्टिन-लोफ खुद को दोनों प्रकार की प्रणालियों पर विचार करते हैं।

   $$\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$$

6. कोइंडिक्टिव प्रकार की उपस्थिति और संबंधित उन्मूलन सिद्धांत।

उपरोक्त सभी विविधताओं (ओटीटी को छोड़कर) को साहित्य में माना जाता है और "मार्टिन-लोफ टाइप थ्योरी" या "कैलकुलस ऑफ इंडक्टिव कंस्ट्रक्शंस" नाम से जुड़ा हुआ है, ज्यादातर एग्डा और कॉक सिस्टम के साथ उनके जुड़ाव के कारण।

तो लंबा जवाब यह है कि इस बारे में कोई आम सहमति नहीं है कि इन दोनों प्रणालियों की सही परिभाषा क्या है।