वायरलेस नेटवर्क में स्थानीयकरण की जटिलता

विभिन्न बिंदुओं को में बैठें । हम कहते हैं कि अंक और पड़ोसी हैं यदि , जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु भीतर अनुक्रमित के साथ अंक के साथ पड़ोसी है , चारों ओर लपेटता है। $1 ... n$ $\mathbb{R}^2$ $i$ $j$ $|i-j| < 3 \pmod{n-2}$ $2$

यह समस्या है:

पड़ोसियों की प्रत्येक जोड़ी के लिए हमें उनकी जोड़ीदार दूरी दी जाती है (और हम जानते हैं कि कौन सी दूरी किन बिंदुओं से मेल खाती है), और हम सभी बिंदुओं की जोड़ीदार दूरी को फिर से बनाना चाहते हैं। मेरे प्रश्न हैं, इस स्थानीयकरण की समस्या की जटिलता क्या है?

मैं एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म का पता नहीं है।

यह सेंसर नेटवर्क में स्थानीयकरण में समस्याओं से प्रेरित है , जहां एजेंटों, तदर्थ को रखा गया है, वायरलेस रूप से अपने शाब्दिक पड़ोसियों के साथ संवाद कर सकते हैं, और हम उनके पदों का पुनर्निर्माण करना चाहते हैं।

मैं ज्यामिति / स्थानीयकरण समस्याओं के बारे में बहुत कुछ नहीं जानता, इसलिए यह आसान या ज्ञात हो सकता है। निकटतम समस्या जो मुझे पता है कि टर्नपाइक समस्या है , हाल ही में @ सुरेश वेंकट द्वारा इस मंच पर बताया गया है।

cg.comp-geom

— लेव रेइज़िन
स्रोत

अच्छी तरह से परिभाषित? यदि R ^ 2 में दो बिंदुओं को एक ही बिंदु पर उतरने की अनुमति है, तो आप टिका लगा सकते हैं।

— RJK

खेद फिक्सिंग ...

— लेव Reyzin

लेव, ऐसा लगता है जैसे टेक्स अब सक्षम है। क्या आप लेटेक्स का उपयोग करने के लिए अपनी पोस्ट को संपादित करने की कोशिश कर सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या यह काम करता है?

— सुरेश वेंकट

आपने स्पष्ट नहीं किया है कि क्या कोई दूरी d मुझे पता है कि किस जोड़ी (i, j) ने इसे बनाया है। अंतर महत्वपूर्ण है

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश - मैंने आपका प्रश्न स्पष्ट कर दिया है - हम इसी दूरी को जानते हैं। भी टेक्सास समर्थन महान है! @ जुक्का - धन्यवाद मैं आपके लिंक को देखूंगा।

— लेव Reyzin

जवाबों:

(मेरे पास कोई वास्तविक उत्तर नहीं है, लेकिन यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा था, इसलिए इसे यहाँ पोस्ट करना वैसे भी ...)

मुझे संदेह है कि सबसेट समस्या से घटकर समस्या एनपी-हार्ड है। एक सबूत विचार:

कटौती: अगर सबसेट योग उदाहरण में वें तत्व है , तो नोड्स के बीच की दूरी और है , दूरी के बीच और है , के बीच की दूरी और भी है , और बीच की दूरी और है । $i$ $x_i$ $2i-1$ $2i$ $s$ $2i-1$ $2i+1$ $x_i$ $2i$ $2i+2$ $x_i$ $2i$ $2i+1$ $\sqrt{s^2 + x_i^2}$

मान लें कि बीच किनारों और सभी के लिए खड़ी कर रहे हैं। फिर पूरे ग्राफ में विकर्णों के साथ आयतों की एक श्रृंखला होती है। हालांकि, आप कर सकते हैं "फ्लिप" प्रत्येक आयत ताकि की बाईं ओर या तो है या के दाईं ओर । और आपको फ़्लिप का सही सबसेट खोजने की आवश्यकता है ताकि अंतिम नोड और नोड बीच की दूरी "सही" हो (और और बीच की दूरी सही हो और और बीच की दूरी सही है)। $2i-1$ $2i$ $i$ $2i+2$ $2i$ $2i$ $n = 2k$ $2$ $2k-1$ $1$ $2k-1$ $2$

अब तक बहुत अच्छा है, लेकिन हमारी आयतें वास्तव में कठोर नहीं हैं; हम विकर्ण के साथ भी पलट सकते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि अगर हम एक बुरा मान चुनने , तो शायद हम दिखा सकता है कि सब कुछ बहुत गलत हो जाता है तो हम कभी भी एक विकर्ण (जैसे, के निर्देशांक के साथ फ्लिप तर्कसंगत नहीं होगा)? यह मान में कुछ tweaks की आवश्यकता हो सकती है , यद्यपि। $s$ $2k$ $x_i$

— जुक्का सुओमेला
स्रोत

दिलचस्प विचार - धन्यवाद। एक त्वरित स्पष्टीकरण सवाल - क्या आप सभी 1-पड़ोसी किनारों को ऊर्ध्वाधर मान सकते हैं?

— लेव Reyzin

मैं केवल यह मान रहा हूं कि किनारों को 1-2, 3-4, ... ऊर्ध्वाधर हैं। बेशक आप किनारे के अभिविन्यास को 1-2 मनमाने ढंग से चुन सकते हैं, और परिभाषित कर सकते हैं कि यह "ऊर्ध्वाधर" है। फिर किनारे 3-4 के लिए केवल दो संभावित कॉन्फ़िगरेशन हैं: या तो यह लंबवत है या आपने किनारे 2-3 के साथ "फ़्लिप्ड" (मिरर किए गए) हैं। हम दूसरी संभावना से बचना चाहते हैं जो प्रमाण को जटिल करती है; कैसे संभाल करने के संभावित विचार के लिए भाग "अब तक बहुत अच्छा ..." देखें।

— जुका सुओमेला

मैं देख रहा हूँ - अच्छा विचार

— लेव Reyzin

Cs.yale.edu/homes/dkg6/papers/thesis.pdf के Thm 4.1 (pg 50) इस थीसिस का कहना है कि किसी भी 2-जुड़े ग्राफ के वर्ग का एक अद्वितीय स्थानीयकरण है। यह देखते हुए कि आपने एक वैश्विक स्थानीयकरण प्रस्तुत किया है जो कि सबसेट योग को हल करके पाया जाता है, हम जानते हैं कि कोई और उत्तर नहीं हैं (और विकर्ण फ़्लिप के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है)। मुझे लगता है कि यह सबूत खत्म करता है!

— लेव Reyzin

यह वास्तव में एनपी-हार्ड है। संदर्भ के लिए निम्नलिखित पेपर देखें।

श्रीराम वी। पेमारामाजू, इमरान ए। पिरवानी: यूनिट बॉल ग्राफ़्स की अच्छी गुणवत्ता वाला आभासी एहसास। ईएसए 2007: 311-322

— इमरान रऊफ
स्रोत

क्या संदर्भ ओपी में उल्लिखित विशेष मामले को कवर करते हैं? यही है, आपकी ग्राफ टोपोलॉजी एक चक्र का वर्ग है?

— जुक्का सुओमेला

आप बिल्कुल सही है। यह केवल R ^ d में एम्बेडिंग कवर करता है।

— इमरान रऊफ

अच्छा संदर्भ यद्यपि - धन्यवाद

— लेव Reyzin

Drineas एट अल। सेंसर नेटवर्क लोकलाइजेशन के लिए अधूरी दूरी की जानकारी से पेपर दूरी मैट्रिक्स पुनर्निर्माण । लेकिन वे जो हासिल करते हैं वह शायद वैसा नहीं है जैसा आप पूछते हैं: वे पूरी दूरी के नक्शे को एक अपूर्ण एक से, यहां तक कि शोर और नोड विफलताओं की उपस्थिति में भी गणना करते हैं।

— सिल्वेन पाइरोननेट
स्रोत