सभी अधिकतम मिलानों में मौजूद कोने की संख्या

Question

एक ग्राफ को देखते हुए , हमें सबसे बड़े सेट के कार्डिनैलिटी को खोजने की आवश्यकता है ताकि उनमें से प्रत्येक अधिकतम हर संभव मिलान में मौजूद हो।$G$

क्या स्पष्ट रूप से प्रत्येक शीर्ष को हटाने के साथ एक समाधान है और यह देखने के लिए अधिकतम मेल खाता है कि यह कम हो गया है?

Comments

मैंने यह नहीं देखा कि आपने जो सुझाव दिया वह भी एक समाधान है। $\:$ (एक त्रिकोण पर विचार करें।) $\hspace{1.4 in}$

@ रिकीडेमर पहले हम पूरे ग्राफ में अधिकतम मिलान पाते हैं। फिर, हम एक शीर्ष हटाते हैं और फिर से अधिकतम मिलान पाते हैं। यदि अंतर 1 है तो हम कह सकते हैं कि यह शीर्ष सभी अधिकतम मिलानों में मौजूद है।

— bad999man

क्या "अधिकतम मिलान ढूंढना चाहिए" को "अधिकतम मिलान खोजें" या "सभी अधिकतम मिलान ढूंढें" के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए? $\;$

मुझे लगता है कि इसे अधिकतम मिलान के आकार से बदलना चाहिए।

— bad999man

@ अचंभा सही है। मैं अपने प्रश्न का संपादन करूंगा।

— होउउइन क्योमा

Answer 1

मुझे लगता है कि आप अपने ग्राफ के एडमंड्स-गैलई अपघटन चाहते हैं जो समय में गणना की जा सकती है ( इन नोटों को देखें )।$O(n^3)$

Comments

मुझे केवल आकार की आवश्यकता है, न कि स्वयं को। क्या यह O (n ^ 2) में किया जा सकता है? और कागज के लिए धन्यवाद

— हौउइन क्योमा जूल

Answer 2

क्या आपका ग्राफ द्विदलीय है? क्योंकि, अगर यह है: मान लीजिए कि द्विदलीय का एक पक्ष बचा है और दूसरा सही है। अधिकतम मिलान खोजें, और सभी मिलान किए गए किनारों को बाएं-दाएं और सभी बेजोड़ किनारों को दाएं-बाएं छोड़ें। तब एक शीर्ष को अधिकतम मिलान से छोड़ा जा सकता है यदि और केवल तभी जब तीन में से एक निम्नलिखित (पारस्परिक रूप से अनन्य) स्थितियां रखता है:$v$

• पहले से ही बेजोड़ है$v$
• जिसके परिणामस्वरूप खुदाई में द्विदलीय के किनारे पर एक बेजोड़ कगार से पहुंचा जा सकता है$v$
• परिणामस्वरूप खुदाई में द्विदलीय के किनारे पर एक बेजोड़ शीर्ष तक पहुंच सकता है।$v$

दो चौड़ाई-पहली या गहराई-पहली खोज करके, एक ग्राफ़ के उन हिस्सों को खोजने के लिए जो बेजोड़ कोने से पहुँचा जा सकता है और एक उन हिस्सों को खोजने के लिए है जो बेजोड़ कोने तक पहुँच सकते हैं, आप एक बार में आवश्यक कोने को रेखीय समय में पा सकते हैं। पहले से ही मेल खाता है।

संभवतः ऐसा ही कुछ गैर-द्विपद मामले के लिए भी काम करेगा, एक ब्लॉसम-कॉन्ट्रैक्टिंग वैकल्पिक पथ खोज का उपयोग करते हुए, लेकिन विवरण अधिक जटिल होगा।

Comments

मैं उत्सुक हूं कि आप इसे सामान्य ग्राफ में कैसे करेंगे। क्या आप इसे समझा सकते हैं?

— bad999man

अगर मैंने इसे पहले ही विस्तार से काम कर लिया होता, तो मैं इसे अपने उत्तर में शामिल कर लेता। लेकिन मूल रूप से आप केवल उन शीर्षों को ढूंढना चाहते हैं, जो बिना पढ़े हुए कोणों से वैकल्पिक रास्तों तक पहुँच सकते हैं, क्योंकि वे ऐसे हैं जो संभवतः बेजोड़ रह सकते हैं। एकांतर पथ खोज बहुत समान होनी चाहिए जैसा कि आप पहली जगह में मिलान खोजने के लिए उपयोग करते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

देर से टिप्पणी के लिए क्षमा करें। मेरा ग्राफ सामान्य है। मैं विधि के माध्यम से सोचने की कोशिश करूंगा

— होउइन क्युमा