यह तय करने की जटिलता कि क्या एक परिवार एक स्पैनर पारिवारिक है

हमें {1, ..., n} के सबसेट्स का एक पारिवारिक दिया जाता है । क्या यह तय करने की जटिलता पर एक गैर-तुच्छ निचले हिस्से को खोजने के लिए संभव है कि क्या एक Snerner परिवार है? तुच्छ निचली सीमा और मुझे दृढ़ता से संदेह है कि यह तंग नहीं है। $\mathcal{F}$ $m$ $\mathcal{F}$ $O(n m)$

याद रखें कि यदि एक सेट गणित एक स्पेंसर परिवार है, तो और के लिए ; कि तात्पर्य और । $\mathcal{S}$ $X$ $Y$ $\mathcal{S}$ $X \ne Y$ $X \nsubseteq Y$ $Y \nsubseteq X$

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— एंथोनी लीवरर
स्रोत

तो आप पूछ रहे हैं कि क्या एनएम की ऊपरी सीमा है?

— सुरेश वेंकट

मूल रूप से हाँ। वास्तव में, मैं यह साबित करना चाहूंगा कि कोई भी एल्गोरिथ्म नहीं है जो जटिलता ओ (एमएन) के साथ (सबसे खराब स्थिति में) सफल हो सकता है।

— एंथनी लीवरियर

सबसेट कैसे दिए जाते हैं? "आसन्न मैट्रिक्स" या "एज लिस्ट"?

— युवल फिल्मस

इनपुट एक आसन्न मैट्रिक्स है।

— एंथनी लीवरियर

+1 यह समझने के बिना मैट्रिक्स गुणन समस्या को हल करने के लिए हमें प्राप्त करने की कोशिश कर रहा है। :-)

— पीटर शोर

क्या आप इसे मैट्रिक्स गुणा द्वारा हल नहीं कर सकते हैं? सेट , , , । मैट्रिक्स ले लो होने के लिए मैट्रिक्स जहां यदि और 0 अन्यथा, और होने का मैट्रिक्स जहां यदि और 0 अन्यथा। अब, $S_1$ $S_2$ $\ldots$ $S_m$ $A$ $m \times n$ $A_{ij}=1$ $j \in S_i$ $B$ $m \times n$ $B_{ij}=1$ $j \notin S_i$ $AB^T$ एक है यदि और केवल यदि वहाँ का एक सेट है प्रविष्टि एक और में निहित। $0$ $\mathcal{F}$

तो अगर आप एक कम साबित की बाध्य इस मामले में जहां के लिए , आप आव्यूह गुणन के लिए बाध्य ही कम सिद्ध कर दिया है। यह एक प्रसिद्ध खुली समस्या है। $\Omega(n^{2+\epsilon})$ $m = \theta(n)$

मैंने इसके बारे में ज्यादा नहीं सोचा है, लेकिन मुझे ऐसा कोई तरीका नहीं दिखाई देता है जिससे आप यह साबित कर सकें कि मैट्रिक्स गुणन का यह विशेष मामला सामान्य मामले जितना ही कठिन है; यदि आपको वास्तव में कम बाउंड की आवश्यकता है, तो यह केवल एक ही उम्मीद है कि आप मैट्रिक्स गुणन समस्या को हल किए बिना एक को साबित करने की उम्मीद करेंगे।

प्लस तरफ, यह है कि अनुभवहीन एल्गोरिथ्म कि लेता है की तुलना में बेहतर कर रहे हैं इस समस्या के लिए एल्गोरिदम देता । $\theta(m^2n)$

— पीटर शोर
स्रोत