एक डीएजी में सभी लंबे सेंट पथ को नष्ट करना कितना महंगा हो सकता है?

Question

हम एक स्रोत नोड $s$ और एक लक्ष्य नोड साथ डीएजी (निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ) पर विचार करते हैं $t$; समान किनारों की जोड़ियों में शामिल होने वाले समानांतर किनारों की अनुमति है। एक $k$ - कट किनारों का एक समूह है, जिसके हटाने से k की तुलना में सभी $s$ - $t$ पथ नष्ट हो जाते हैं ; छोटे s - t पथ और साथ ही लंबे "आंतरिक" पथ (जो s और t के बीच नहीं हैं ) बच सकते हैं!$k$$s$$t$$s$$t$

प्रश्न: क्या यह एक डीएजी से किनारों के लगभग $1/k$ हिस्से को हटाने के लिए पर्याप्त है ताकि सभी $s$ - $t$ रास्तों को से लंबे समय तक नष्ट किया जा सके $k$?

है कि, अगर $e(G)$ में किनारों की कुल संख्या को दर्शाता है $G$ , तो हर DAG करता है $G$ हैव ए $k$ कटौती के बारे में अधिक से अधिक के साथ $e(G)/k$ किनारों? दो उदाहरण:

1. यदि सब $s$ - $t$ पथ लंबाई है $> k$ , तो एक $k$ कटौती के साथ $\leq e(G)/k$ किनारों से मौजूद है। ऐसा इसलिए माना जाता है क्योंकि तब $k$ disjoint $k$ -cuts होना चाहिए : बस स्रोत नोड s से उनकी दूरी के अनुसार के नोड्स को परत करें । $G$$s$
2. तो $G=T_n$ एक है सकर्मक टूर्नामेंट (एक पूरा DAG), तो यह भी एक $k$ कटौती के साथ किनारों मौजूद है: एक फिक्स संस्थानिक आदेश नोड्स की लंबाई लगातार अंतराल में नोड्स को विभाजित करें , और एक ही अंतराल के नोड्स में शामिल होने वाले सभी किनारों को हटा दें; यह तुलना में सभी - रास्तों को नष्ट कर देगा । $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$$k$$n/k$$s$$t$$k$

टिप्पणी 1: एक अनुभवहीन एक सकारात्मक जवाब (जो मैं भी देने के लिए प्रयास करने की कोशिश की पहले के रूप में) पता चलता है कि हर DAG के बारे में होना चाहिए की कोशिश करना होगा संबंध तोड़ना -cuts। दुर्भाग्य से, उदाहरण 2 से पता चलता है कि यह प्रयास बुरी तरह से विफल हो सकता है: एक अच्छे तर्क के माध्यम से, डेविड एप्पस्टीन ने दिखाया है कि, के बारे में लिए , ग्राफ चार से अधिक असंतुष्ट शॉर्टकट नहीं हो सकते हैं ! $k$ $k$$k$$\sqrt{n}$$T_n$ $k$

टिप्पणी 2: यह महत्वपूर्ण है कि -cut को केवल सभी लंबे - रास्तों को नष्ट करने की आवश्यकता है , और जरूरी नहीं कि सभी लंबे पथ हों। अर्थात्, वहाँ मौजूद ¹ DAGs जिसमें हर "शुद्ध" कटौती (परहेज करने के लिए किनारों घटना या ) लगभग सभी किनारों होना चाहिए। तो, मेरे सवाल का वास्तव में है: भी कर सकते हैं दूर करने के लिए संभावना के साथ घटना किनारों या काफी हद तक एक के आकार को कम कटौती? सबसे शायद, उत्तर नकारात्मक है, लेकिन मैं अभी तक एक प्रतिसाद नहीं पा सका। $k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

प्रेरणा: मेरा सवाल मोनोटोन स्विचिंग-एंड-रेक्टिफायर नेटवर्क के लिए कम सीमा साबित करके प्रेरित है। ऐसा नेटवर्क सिर्फ एक DAG है, जिसके कुछ किनारों को परीक्षणों द्वारा लेबल किया गया है " ?" (कोई परीक्षण नहीं हैं )। आकार एक नेटवर्क के लेबल किनारों की संख्या है। एक इनपुट वेक्टर को स्वीकार किया जाता है, अगर वहाँ एक - पथ है जिसके सभी परीक्षण इस वेक्टर के अनुरूप हैं। मार्कोव ने साबित कर दिया है कि, अगर एक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन में से छोटा कोई minterms नहीं है और से कम कोई maxterms नहीं है , तो आकार $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$$f$$l$$w$$l\cdot w$आवश्यक है। मेरे प्रश्न का एक सकारात्मक उत्तर यह होगा कि बारे में आकार के नेटवर्क आवश्यक हैं, यदि कम से कम वैरिएबल को सेट किया जाना चाहिए ताकि तुलना में सभी minterms को नष्ट किया जा सके ।$k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

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¹ निर्माण इस कागज में दिया गया है । गहराई से पूर्ण बाइनरी ट्री लें । सभी किनारों को हटा दें। हर आंतरिक नोड के लिए , के लिए एक बढ़त आकर्षित के बाईं सबट्री के हर पत्ती से , और से बढ़त के अधिकार सबट्री के हर पत्ते को । इस प्रकार, हर दो पत्ते डीएजी में लंबाई पथ से जुड़े हुए हैं । DAG में ही nodes और किनारों हैं, लेकिन से अधिक लंबे सभी रास्तों को नष्ट करने के लिए किनारों को हटाया जाना चाहिए।$T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$$\Omega(n\log n)$$\sqrt{n}$।

Comments

लंबाई के बंधे हुए प्रवाह और कटौती आपके द्वारा पूछे जाने वाले प्रश्नों से निकटता से संबंधित हैं। मैं बैयर की थीसिस को देखने की सलाह देता हूं। ftp.math.tu-berlin.de/pub/Preprints/combi/…

— चंद्र चकुरी

@ चंद्रा चेकुरी: दिलचस्प लिंक के लिए धन्यवाद। थीसिस छोटे पथ / दोषों के लिए भारित मेन्जर प्रमेय के बारे में अधिक है । लंबे रास्तों के लिए मेन्जर के बारे में , मुझे यह पेपर मिला : के-कट का न्यूनतम आकार अधिकतम के बारे में है जो कि अधिकतम डिस्गॉइंट सेंट रास्तों की अधिकतम संख्या है। लेकिन यह भी मदद करने के लिए प्रतीत नहीं होता है।

— Stasys

क्षमा करें, मैंने प्रश्न को गलत समझा। अन्य संदर्भ के लिए धन्यवाद।

— चन्द्र चकुरी

Answer 1

[स्व उत्तर; यह एक छोटा संस्करण है, यहाँ पुराना पाया जा सकता है ]

हम जोर्ज Schnitger साथ महसूस किया कि मेरे सवाल का जवाब है दृढ़ता से नकारात्मक : वहाँ DAGs (निरंतर डिग्री के भी), कर रहे हैं, जहां हर कटौती एक होना आवश्यक है निरंतर सभी किनारों के अंश, न सिर्फ एक के बारे में अंश, के रूप में मेरा प्रश्न। (थोड़ा कमजोर नतीजा यह है कि अंश आवश्यक हो सकता है, ऊपर दिए गए फुटनोट में उल्लिखित एक बहुत सरल निर्माण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। एक त्वरित लेखन यहाँ है ) $k$$1/k$$1/\log k$

अर्थात्, कागज पर "गहराई में कमी और झंझरी" पर , जॉर्ज ने निम्नलिखित संपत्ति के साथ nodes पर निरंतर अधिकतम डिग्री के निर्देशित ग्राफ के का निर्माण किया :$H_n$$d$$n=m2^m$

• प्रत्येक निरंतर लिए एक स्थिर ऐसा होता है, यदि कोई नोड्स के सबसेट उपसमूह को से हटा दिया जाता है , तो शेष ग्राफ़ में कम से कम की लंबाई होती है। । $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

अब दो नए नोड्स लो और , और से बढ़त आकर्षित के हर नोड के लिए , और के हर नोड से बढ़त को । परिणामस्वरूप ग्राफ़ अभी भी अधिकांश किनारों पर है।$s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

हर निरंतर के लिए , वहाँ है एक निरंतर ऐसा है कि, अगर ज्यादा से ज्यादा के किसी भी सबसेट किनारों से निकाल दिया जाता , शेष ग्राफ एक शामिल - के साथ पथ या अधिक किनारे। $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

प्रमाण: के आंतरिक नोड्स के नोड्स को । ज्यादा से ज्यादा के किसी भी सबसेट निकालें से किनारों , जहां । उसके बाद, एक आंतरिक नोड को हटा दें यदि यह हटाए गए किनारे की घटना थी। ध्यान दें कि तब अधिकांश इनर नोड्स को हटा दिया जाता है। जीवित नोड्स में किनारों की घटना में से कोई भी हटा दिया गया था। विशेष रूप से, प्रत्येक बचे हुए आंतरिक नोड अभी भी नोड्स और दोनों से जुड़े हुए हैं । की उपरोक्त संपत्ति के , लंबाई मार्ग बना रहना चाहिए$H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$$H_n$$2^{\epsilon m}$पूरी तरह से जीवित आंतरिक नोड्स से मिलकर। चूंकि इन रास्तों में से प्रत्येक का समापन बिंदु बच गया है, इसलिए उनमें से प्रत्येक को में - पथ तक बढ़ाया जा सकता है । QED$s$$t$$G_n$

एक परिणाम दु: खद है: कई लघु खानों के साथ कार्यों के लिए मार्कोव के लेम्मा के किसी भी एनालॉग का कोई अस्तित्व नहीं है , भले ही लंबे समय तक मिनर्म्स के सेट में कुछ "जटिल" संरचना हो: नेटवर्क आकार पर कोई सुपर-लीनियर निचले सीमा का उपयोग करके फिर साबित नहीं किया जा सकता है। यह "लंबाई गुना चौड़ाई" तर्क है।

PS यह "लंबाई गुणा चौड़ाई" तर्क (जब सभी - पथ काफी लंबे हैं) पहले मूर और शैनन (1954) द्वारा उपयोग किया गया था । अंतर केवल इतना है कि उन्होंने सुधारने की अनुमति नहीं दी है (अनलिस्टेड किनारों)। तो, यह वास्तव में, एक "मूर-शैनन-मार्कोव तर्क" है।$s$$t$