एक डीएजी के पास कितने असामाजिक किनारे हैं?

Question

निम्नलिखित प्रश्न बेलमैन-फोर्ड - सबसे छोटी पथ गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की समानता से संबंधित है ( एक कनेक्शन के लिए इस पोस्ट को देखें )। इसके अलावा, एक सकारात्मक उत्तर का अर्थ यह होगा कि STCONN समस्या के लिए एक मोनोटोन नॉनडेटर्मिनिस्टिक ब्रांचिंग कार्यक्रम का न्यूनतम आकार । s $s$$t$$\Theta(n^3)$

चलो $G$ एक DAG (निर्देशित अचक्रीय ग्राफ) एक स्रोत नोड के साथ हो $s$ और एक लक्ष्य नोड $t$ । एक $k$ - कटौती किनारों का एक सेट, क्योंकि उनके निष्कासित नष्ट कर देता है सब है $s$ - $t$ लंबाई के रास्ते $\geq k$ ; हम मानते हैं कि जी में ऐसे रास्ते हैं $G$। ध्यान दें कि कम $s$ - $t$ रास्तों को नष्ट नहीं किया जाना चाहिए।

प्रश्न: क्या $G$ में कम से कम (लगभग) $k$ असंबद्ध $k$ शॉर्टकट होना चाहिए ?

यदि k की तुलना में कोई $s$ - $t$ पथ नहीं हैं , तो इसका उत्तर हां है, क्योंकि हमारे पास रोबैक ^\ _ के लिए निम्नलिखित ज्ञात न्यूनतम-अधिकतम तथ्य ( मेन्जर प्रमेय का दोहरा ) है । एक रों - टी कटौती एक है कश्मीर के लिए कटौती k = 1 (नष्ट कर देता है सब रों - टी पथ)।$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

तथ्य: किसी भी निर्देशित ग्राफ में, एज-डिसऑइंटर्स एस - टी कट्स की अधिकतम संख्या एस - टी पथ की न्यूनतम लंबाई के बराबर है । $s$$t$$s$$t$

ध्यान दें कि यह पकड़ भले ही ग्राफ एसाइक्लिक न हो ।

प्रमाण: तुच्छ रूप से, न्यूनतम s कम से कम अधिकतम है, क्योंकि प्रत्येक - पथ एक किनारे में प्रत्येक - काटता है। समानता देखने के लिए, से तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई है । बता दें कि , , और को छोड़कर किनारों का सेट होने । यह स्पष्ट है कि सेट से हैं , क्योंकि सेट ऐसे हैं। इसलिए, यह दिखाना है कि प्रत्येक एक -रों टी एस टी डी ( यू ) रों यू यू आर = { यू : डी ( यू ) = आर } आर = 1 , ... , घ ( टी ) ई आर यू आर ई आर यू आर ई आर एस टी एस टी पी = ( यू 1 , यू 2 , … , यू एम$s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$कट गया। यह दिखाने के लिए, एक मनमाना - पाथ को और । चूंकि , दूरी के अनुक्रम मूल्य तक पहुंचने चाहिए शुरू करने से पर और द्वारा अधिक से अधिक मूल्य में वृद्धि प्रत्येक चरण में। यदि कुछ मान जाता है, तो हमें बाद में मूल्य तक पहुंचना चाहिए । तो, वहाँ एक होना चाहिए जहाँ से होता है, जिसका अर्थ है बढ़त$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$यू 1 = रों यू मी = टी डी ( यू मैं + 1 ) ≤ घ ( यू मैं ) + 1 घ ( यू 1 ) , ... , घ ( यू मी ) घ ( यू मी ) = डी ( टी ) घ ( यू 1 ) = d ( s ) = 0 1 d $u_1=s$$u_m=t$$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$u i ) d ( u i ) j d ( u j ) = r d ( u j + १ ) = r + १ ( u j , u j + 1$d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$ के अंतर्गत आता है $E_r$ के रूप में वांछित,। QED

लेकिन क्या होगा अगर वहाँ भी ( $k$ ) रास्तों से कम हैं? कोई संकेत / संदर्भ?

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$^{\ast}$ JT Robacker, मिन-मैक्स थ्योरीज़ ऑन शॉर्टेस्ट चेन्स एंड डिस्जॉइंट कट्स ऑफ़ ए नेटवर्क, रिसर्च मेमोरंडम RM-1660, द रैंड कॉर्पोरेशन, सांता मोनिका, कैलिफ़ोर्निया, [12 जनवरी-uge] 1956।

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EDIT (एक दिन बाद): लघु और बहुत अच्छे तर्क के माध्यम से, डेविड एप्पस्टीन ने नकारात्मक में ऊपर दिए गए मूल प्रश्न का उत्तर दिया : पूर्ण DAG $T_n$ (एक संक्रमणीय टूर्नामेंट ) में चार से अधिक असंतुष्ट $k$ शॉर्टकट नहीं हो सकते हैं ! वास्तव में, वह निम्न दिलचस्प संरचनात्मक तथ्य साबित करता है, $k$ बारे में $\sqrt{n}$ । एक कट शुद्ध है अगर इसमें कोई किनारों की घटना नहीं है, तो $s$ या $t$ ।

हर शुद्ध $k$ में कटौती $T_n$ लंबाई की एक पथ है $k$ ।

यह, विशेष रूप से, का तात्पर्य है कि प्रत्येक दो शुद्ध kts को प्रतिच्छेद करना चाहिए! लेकिन शायद अभी भी कई शुद्ध शॉर्टकट हैं जो "बहुत अधिक" ओवरलैप नहीं करते हैं। इसलिए, एक शिथिल प्रश्न (STCONN के लिए परिणाम समान होंगे ):कश्मीर $k$$k$

प्रश्न 2: यदि प्रत्येक शुद्ध में किनारे हैं, तो क्या ग्राफ में किनारों के बारे में होना चाहिए ? कश्मीर ≥ एम Ω ( कश्मीर ⋅ एम $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

STCONN की जटिलता के सिलसिले से आता परिणाम Erdős और Gallai में से एक को छोड़कर सभी को दूर नहीं है से (अनिर्दिष्ट) किनारों क्रम लंबाई के सभी रास्तों को नष्ट करने में । ( k - 1 ) m / 2 K m$(k-1)m/2$$K_m$$k$

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EDIT 2: मैंने अब मैथेमेटफ़्लो में प्रश्न 2 पूछा ।

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर: नहीं।

बता दें कि और स्रोत और सिंक के साथ कोने पर एक पूर्ण DAG (ट्रांसेक्टिव टूर्नामेंट) है , और । गौर करें कि वहाँ ज्यादा से ज्यादा चार संबंध तोड़ना कटौती है कि और अधिक थाम शामिल हो सकता है के किनारों घटना या एक से अधिक किनारों को घटना की । इसलिए, यदि बहुत सारे असमान कटौती करने हैं, तो हम मान सकते हैं कि एक कट मौजूद है जिसमें बड़ी संख्या में किनारों की घटना नहीं जो कि और ।जी एन एस टी कश्मीर = $G$$n$$s$$t$n / 3 n/3sn/3tCs$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

आइए अब पूरा subgraph में प्रेरित हो कोने के सेट से ऐसी है कि किनारों और से संबंधित नहीं । में कोने की संख्या कम से कम , क्योंकि अन्यथा , या लिए कई किनारों की घटना को स्पर्श करेगा । हालाँकि, में -path नहीं हो सकता है , क्योंकि यदि इस तरह के पथ का अस्तित्व है, तो इसे और साथ में एक लंबा पथ बनाने के लिए । इसलिए, सबसे लंबे समय तक पथ की लेयरिंगएक्स जी एक्स रों एक्स एक्स टी सी एक्स n / 3 सी एस टी एक्स ∖ सी कश्मीर रों टी जी ∖ सी एक्स ∖ सी कश्मीर ( एन / 3 ) / कश्मीर = कश्मीर एक्स ∖ सी सी सी पी $X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$$G\setminus C$$X\setminus C$ में लेयर्स से कम है , और इसमें एक लेयर है से अधिक । चूंकि यह सबसे लंबे पथ लेयरिंग की एक परत है, यह में स्वतंत्र , और इसलिए में पूरा होता , इसलिए में इस पथ के कोने के माध्यम से एक पथ होता है , लंबाई । यह रास्ता अन्य सभी कटों से अलग होना चाहिए।$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

हर कटौती है कि नहीं है से किनारे या तो शामिल होना चाहिए पथ के शुरू करने के या पथ के अंत से बढ़त करने के लिए , वरना यह पथ ब्लॉक नहीं होगा - - । इसलिए यदि मौजूद है, तो अधिकतम तीन असमान कटौती हो सकती है। और यदि मौजूद नहीं है (अर्थात, यदि सभी कट किनारों की घटना को या से अधिक कवर करते हैं ) तो अधिकतम चार असमान कटौती हो सकती है। किसी भी तरह से, यह कटौती से बहुत कम है ।C s P P t s P T T C C n / 3 s t $C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$

Comments

@ डेविड: दिलचस्प तर्क (यद्यपि मैं अभी तक इसे बहुत समझ नहीं पाया हूं: C को एक k-path क्यों होना चाहिए)। लेकिन जहां तर्क विफल रहता है (यह होना चाहिए) यदि सभी सेंट पथ लंबे होते हैं, तो कम से कम k की लंबाई?

— Stasys

@Stasys: जी एक टूर्नामेंट है, सबूत इस तथ्य का उपयोग करता है, इसलिए यही कारण है कि यह विफल हो जाएगा।

— डोमोटर

@domotorp: धन्यवाद, वास्तव में मैंने "पूर्ण" शब्द को याद किया। मुझे अभी तक एक दोष नहीं मिल सकता है, लेकिन यह एक अधिक स्पष्ट तथ्य होगा: भले ही एक एसाइक्लिक टूर्नामेंट में बहुत सारे के-पाथ हैं, हम उनके प्रतिनिधियों (किनारों) के कई असंतुष्ट सिस्टम का चयन नहीं कर सकते।

— Stasys

@ डेविड: वास्तव में, उल्लिखित परिणामों के लिए, हम अनुमति दे सकते हैं कि कटौती केवल "लगभग असहमति" है, यानी किनारों की घटना को s या t (हम केवल 2n इन विशेष किनारों को साझा कर सकते हैं)। एक वास्तविक लक्ष्य यह दिखाना है कि जी के पास केएन किनारों के बारे में होना चाहिए, अगर हम जानते हैं कि प्रत्येक "शुद्ध" के-कट (इन विशेष किनारों के बिना) में एन किनारों होना चाहिए। क्या आपका (बहुत अच्छा, जैसा कि अब मैं देख रहा हूँ) तर्क को इस ("लगभग असम्बद्ध") स्थिति में संशोधित किया जा सकता है?

— स्टैसीज

यदि आप कटों को किनारों की घटना को s या t में साझा करने की अनुमति देते हैं, तो आप उन सभी कटों को शामिल नहीं कर सकते जो किनारों की घटना के सेट से वास्तव में हैं? दूसरी ओर, मेरी तर्क से पता चलता है कि (के अपने पसंद के साथ और ) वहाँ केवल एक शुद्ध कटौती हो सकती है। $G$$k$

— डेविड एपपस्टीन