यह कैसे साबित करें कि USTCONN को लघुगणक स्थान की आवश्यकता है?

Question

USTCONN वह समस्या है जिसके लिए यह निर्णय लेने की आवश्यकता होती है कि क्या स्रोत तक का रास्ता ग्राफ में $s$लक्ष्य वर्टेक्स से है , जहाँ ये सभी इनपुट के भाग के रूप में दिए गए हैं।$t$$G$

ओमर रेनॉल्ड ने दिखाया कि USTCONN L (doi: 10.1145 / 1391289.1391291 ) में है। सबूत जिग-जैग उत्पाद के माध्यम से एक निरंतर-डिग्री विस्तारक का निर्माण करता है । एक निरंतर-डिग्री विस्तारक के पास लॉगरिदमिक व्यास होता है और कोई तब लॉगरिदमिक-आकार के मार्करों की एक निरंतर संख्या का उपयोग करके सभी संभावित रास्तों की जांच कर सकता है।

रींगोल्ड का परिणाम यूएसटीसीओएनएन के अंतरिक्ष जटिलता पर एक लघुगणकीय ऊपरी सीमा देता है, जो कागज के अनुसार अपनी अंतरिक्ष जटिलता "एक स्थिर कारक तक" का समाधान करता है। मैं संबंधित निचले बाउंड के बारे में उत्सुक हूं, जिसका उल्लेख कागज में कहीं और नहीं है।

सबसे खराब स्थिति में USTCONN को तय करने के लिए लॉगरिदमिक स्पेस की आवश्यकता कैसे साबित होती है?

संपादित करें: इनपुट प्रतिनिधित्व को ठीक करें सन्निकट मैट्रिक्स के अंतर्निहित -vertex सममित सरल निर्देशित ग्राफ होने के लिए, बिट स्ट्रिंग बनाने के लिए लगातार सूचीबद्ध पंक्तियों के साथ ।$N \times N$$N$$N^2$

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लुईस और पापादिमित्रिउ ने दिखाया (doi: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) कि USTCONN SL-complete है, जिसके साथ Reingold का परिणाम SL = L है। सेविच ने दिखाया (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) कि । अतिरिक्त किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन के लिए स्टर्न्स, हार्टमैनिस और लुईस द्वारा (doi: 10.1109 / FOCS) .1965.11 ), इसलिए USTCONN के लिए कम से कम स्थान आवश्यक है। अंत में, सामान्य वर्ग L (जैसे कि नीचे जाना जाता है$\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$$\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$Ω ( लॉग लॉग एन ) एन सी $f(n) = o(\log\log n)$$\Omega(\log\log n)$$\text{NC}^1$) सर्किट के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं और स्पष्ट रूप से एक अंतरिक्ष बाध्य के संदर्भ में परिभाषित किसी भी वर्ग के लिए तुलनीय नहीं हैं।

जहाँ तक मैं देख सकता हूँ, यह ((संभावना नहीं की संभावना है) संभावना है कि वहाँ भी एक बेहतर नियतात्मक एल्गोरिथ्म है कि केवल का उपयोग करता है, लेकिन अंतरिक्ष को खोलता है, कुछ , या यहां तक ​​कि USTCONN के लिए एक nondeterministic एल्गोरिथ्म जो स्पेस का उपयोग करता है।$O((\log n)^\delta)$$\Omega(\log \log n)$$\delta < 1$$o((\log n)^{1/2})$

तक अंतरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय , लंबे समय के रूप के रूप में अंतरिक्ष constructible है। यह है कि सुझाव देने के लिए लग सकता है USTCONN में नहीं हो सकता है । हालाँकि, USTCONN को L के लिए लॉगस्पेस रिडक्शन के तहत पूरा नहीं किया जा रहा है। एक लॉगस्पेस कमी के माध्यम से, फिर भी USTCONN को केवल सबलोगेथमिक स्थान की आवश्यकता होती है।$\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

जब तक L में कुछ भाषा है जिसे लॉगरिदमिक स्पेस की आवश्यकता होती है, तब यह दर्शाता है कि लॉग स्पेस रिडक्शन की तुलना में USTCONN एक सख्ती से "कमजोर" एल के लिए पूर्ण है और वांछित निचले बाउंड को प्राप्त करेगा।

क्या USTCONN को स्थान की आवश्यकता के तहत L के लिए पूर्ण है?$o(\log n)$

इमरमन ने दिखाया (doi: 10.1137 / 0216051 ) कि निर्देशित पुनर्नवा का एक संस्करण जिसमें वांछित पथ (लेकिन ग्राफ स्वयं नहीं) नियतात्मक है, प्रथम-क्रम में कटौती के तहत एल के लिए पूरा है, जो एसी सर्किट द्वारा अनिवार्य हैं । इसके बाद शायद यह दिखाने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है कि एफओ-कटौती के तहत यूएसटीसीओएनएन एल के लिए पूरा हो गया है। हालांकि, हालांकि एसी एल में सख्ती से सम्‍मिलित है, एसी फिर से एक सर्किट क्‍लास है और मुझे सबग्लिऑर्थिक स्पेस में एफओ-रिडक्शन करने के किसी भी तरीके के बारे में पता नहीं है।$^0$$^0$$^0$

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2015-07-14 को संपादित करें: यह एक दिलचस्प दार्शनिक मुद्दा है कि क्या टीएम के अंतरिक्ष उपयोग को इनपुट में एक सूचकांक के आकार को शामिल करना चाहिए (इस प्रकार इनपुट में यादृच्छिक उपयोग की अनुमति है, लेकिन इनपुट में दोगुना होने पर अतिरिक्त बिट की आवश्यकता है ), या क्या टीएम द्वारा उपयोग किया जाने वाला स्थान एक संगणना के दौरान विज़िट किए गए कार्यपत्र वर्गों की संख्या है (जो मानता है कि इनपुट टेप सिर तय हो गया है और इनपुट टेप आकार में दोगुना हो जाता है) नहीं बदलता है। पूर्व रैम-शैली परिभाषा तुरंत किसी भी के लिए एक लॉगस्पेस कम बाउंड देता हैकम्प्यूटेशन, और वर्तमान कंप्यूटर को मॉडल करता है जो फ़ाइल की शुरुआत से ऑफसेट के रूप में एक फ़ाइल में वर्तमान स्थिति का ट्रैक रखता है। उत्तरार्द्ध शास्त्रीय परिभाषा एक कागज की तरह टेप को एक निश्चित रीड हेड के साथ मानती है जो वर्तमान इनपुट प्रतीक के अलावा टेप के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, जो कि संभवतः 1937 के पेपर में ट्यूरिंग का उद्देश्य है।

थॉमस की टिप्पणी की तरह अनुमानी तर्क, कि इनपुट को अंतरिक्ष के बिट्स के साथ अनुक्रमित करना भी संभव नहीं है, आधुनिक रैम-शैली परिभाषा मान लेते हैं। स्टर्न्स / हार्टमैनिस / लेविस टीएम-शैली की परिभाषा का उपयोग करते हैं, क्योंकि अंतरिक्ष-बद्ध गणना में अधिकांश शास्त्रीय कार्य करते हैं।$o(\log n)$

USTCONN के लिए एक लॉगस्पेस लोअर बाउंड को कमतर साबित कर सकता है, जिसे एक आसन्न मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें कहा गया है कि सही वर्गों की एकरूप भाषा को पहचानने के लिए लॉगस्पेस की आवश्यकता होती है (देखें Rūsiņš Freivalds, कम्प्यूटेशन के मॉडल , रीमिशन परिकल्पना और शास्त्रीय गणित , SOFSEM 1998, LNCS 1521, 8921) । -106 डोई: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( प्रीप्रिंट))। उसके बाद आसन्न मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ USTCONN पर वही निचला बाउंड लागू होता है। यह शायद बहुत धोखा है: आमतौर पर वादे की समस्या में वादे को लागू करना वास्तविक समस्या की तुलना में आसान होता है, लेकिन यहां इस वादे को लागू करना है कि इनपुट एक ग्राफ है जो पहले से ही कम सीमा देता है। तो यह वादा समस्या के लिए एक लॉगस्पेस लोअर बाउंड के लिए एक तर्क को देखना अच्छा होगा जहां इनपुट भाषा से गारंटी है ।$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

Comments

आपका ", तो कम से कम ... अंतरिक्ष UStCONN के लिए आवश्यक है" निष्कर्ष इसके वाक्य के बाकी हिस्सों से पालन नहीं करता है, क्योंकि ऐसे कार्य हैं, जिसके लिए ऐसा एक करता है। मौजूद नहीं। $o(\log(\log(n)))$$\delta$$\;$

इनपुट प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण हो जाता है, क्योंकि स्थान के साथ हम इनपुट में एक मनमाना स्थान निर्दिष्ट या उपयोग नहीं कर सकते हैं। आप किस इनपुट प्रतिनिधित्व का उपयोग कर रहे हैं? क्या हम यह भी दिखा सकते हैं कि USTCONN गैर-नियतात्मक उप-लघुगणक अंतरिक्ष में है? $o(\log n)$

— थॉमस

एफओ = LTH = DLogTime वर्दी एसी ^ 0

— कावेह

यह बहुत विस्तृत और बहुत बढ़िया है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह "आधिकारिक तौर पर ज्ञात / स्वीकृत खुली समस्याओं" से संबंधित होने में मदद करेगा और यह भी पूर्ण समस्याओं को जाना जाएगा (कुछ बाद के लेकिन शायद अधिक आसपास देखें?) ... जिनमें से यह स्पष्ट रूप से काफी करीब है ... और नोट एसई के लिए एक अच्छा प्रारूप नहीं है यदि ऐसा है तो ... यूएसटीसीओन में यू को अनब्लॉक करना सही नहीं है? इस साइट पर फ़िजी एसजे ने "निम्न स्तर" STConn निचले सीमा और USTConn के लिए इसके अंतर्संबंध का अध्ययन किया है, ऐसा लगता है कि बहुत स्वाभाविक संबंध होंगे

— vzn

हो सकता है कि टाइम स्पेस लो बाउंड को साबित करने के लिए संचार जटिलता तकनीक मदद कर सकती है: यदि स्पेस से कम है तो समय से कम है इसलिए स्पेस समय से कम है । क्या हम किसी तरह से अंतरिक्ष समय में से छुटकारा पा सकते हैं और दिखा सकते हैं कि क्या अंतरिक्ष से कम है तो समय स्थान से कम है ? $\log n$$n^2$$n^2 \log n$$\log n$$\log n$$n^2$

— केवह

Answer 1

$\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

$\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$$s,t$

Comments

धन्यवाद! यह USTCONN के एल-पूर्णता के बारे में मेरी अंतिम टिप्पणी का विस्तार प्रतीत होता है। हालांकि, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि ओआरडी से कटौती सबलोगेरिथमिक स्पेस में की जा सकती है, इसलिए यह मुख्य प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, यह दिखाने के लिए कि यूएसटीसीओएनएन को वास्तव में कम से कम लॉगरिदमिक स्पेस की आवश्यकता होती है। मुझे किसकी याद आ रही है?

— आंद्र सलाम

@AndrasSalamon: $\:$ आप इनपुट प्रतिनिधित्व के बारे में थॉमस के प्रश्न को याद कर रहे हैं, भले ही वह आपके द्वारा पूछे गए प्रश्न को संबोधित न करता हो। $\;\;\;\;$