कुछ सिक्कों का उपयोग करके एक पक्षपाती सिक्का ढूंढना

Question

निम्नलिखित समस्या अनुसंधान के दौरान सामने आई, और यह आश्चर्यजनक रूप से साफ है:

आपके पास सिक्कों का स्रोत है। प्रत्येक सिक्के में एक पूर्वाग्रह होता है, अर्थात् एक संभावना है कि यह "सिर" पर पड़ता है। प्रत्येक सिक्के के लिए स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 2/3 है कि इसमें पूर्वाग्रह कम से कम 0.9 है, और बाकी संभावना के साथ इसका पूर्वाग्रह [0,1] में कोई भी संख्या हो सकती है। आप सिक्कों के पक्षपात को नहीं जानते हैं। आप सभी किसी भी कदम पर एक सिक्का उछाल सकते हैं और परिणाम का निरीक्षण कर सकते हैं।

किसी दिए गए n के लिए, आपका काम कम से कम संभावना के साथ कम से कम 0.8 के साथ एक सिक्का ढूंढना है । क्या आप केवल O (n) सिक्के का उपयोग कर सकते हैं?$1-\exp(-n)$

Comments

मेरे लिए बहुत संभावना नहीं है, क्योंकि टोकन केवल यह निर्धारित करने के लिए आवश्यक हैं कि क्या एक दिया गया सिक्का उच्च-पूर्वाग्रह है या आत्मविश्वास 1 - एक्सप - ( एन ) के साथ नहीं है । (हम साथ ही यह मान सकते हैं प्रत्येक सिक्का पूर्वाग्रह है कि या तो 0.9 या 0.8 - ε ।) क्या आप की तुलना में बेहतर कुछ भी हे ( एन 2 ) उछालों? $O(n)$$1-\exp(-n)$$0.9$$0.8-\epsilon$$O(n^2)$

— usul

मैंने गणित की जाँच नहीं की, लेकिन निम्नलिखित विचार आशाजनक लगता है: प्रत्येक सिक्के के लिए (उत्तराधिकार में) निम्नलिखित परीक्षण करें। एक पैरामीटर चुनें , 0.85 कहें और सिक्के का उपयोग करके लाइन पर एक यादृच्छिक चलना करें। पर हर कदम मैं , अगर बहाव से दूर 0 से कम है पी ⋅ मैं , सिक्का त्यागें। पूर्वाग्रह के साथ सिक्के .9 को इस परीक्षण को निरंतर संभावना के साथ पारित करना चाहिए, और असफल होने वाले सिक्कों को अपेक्षा के ओ (1) चरणों के बाद असफल होना चाहिए, सिवाय पूर्वाग्रह के सिक्कों के अलावा पी के बहुत करीब । चुनने पी के बीच यादृच्छिक पर .84 और .86 प्रत्येक सिक्का के लिए इसे ठीक कर सकते हैं।$p$$0.85$$i$$0$$p \cdot i$$p$$p$$.84$$.86$

— डेनियलो

क्या ठीक होगा? क्या आप ओ ( एन 2 ) टॉस के साथ एक समाधान जानते हैं ? $O(n\log n)$$o(n^2)$

— रोबिन कोठारी

अवलोकन # 1: यदि आप जानते थे कि सभी सिक्कों में या तो कम से कम 0.9 या अधिकतम 0.8 है, तो संभव है कि O-(n) टॉस का उपयोग करके कम से कम 0.9 के साथ पूर्वाग्रह 1-exp (-n) के साथ एक सिक्का मिल जाए। : i = 1,2,3, ..., के लिए एक सिक्का लें, 2 ^ i बार के लिए सिक्का टॉस करें और जांचें कि क्या सिर का अंश कम से कम 0.89 है। यदि नहीं, तो एक नए सिक्के के साथ पुनः आरंभ करें। प्रमुख लेम्मा: यदि मैं चरण 1 पर पुनः आरंभ करता हूं, तो 2 ^ {i + 1} से कम का सिक्का उछाला जाता है, और सबसे अधिक एक्सप - (ओमेगा (i) पर है।

— डाना मोशकोविट्ज़

यह बहुत संभव है कि O (nlogn) फ़्लिप आवश्यक और पर्याप्त हो - लेकिन हमारे पास अभी तक इसके लिए कोई प्रमाण नहीं है।

— डाना मोशकोविट्ज़

Answer 1

निम्नलिखित एक सीधा-आगे $O(n \log n)$ टॉस एल्गोरिदम है।

मान लें $1-\exp(-n)$ वह त्रुटि संभावना है जिसका हम लक्ष्य कर रहे हैं। बता दें कि $N$$2$ की कुछ शक्ति है जो कि $100n$ और $200n$ (बस कुछ बड़े पर्याप्त निरंतर समय $n$ )। हम सिक्कों के एक उम्मीदवार सेट को बनाए रखते हैं, $C$ । प्रारंभ में, हम सी में $N$ सिक्के डालते हैं ।$C$

अब $i=1,\dots,\log N$ करें, निम्न करें: C के
प्रत्येक सिक्के को D i = 2 i 10 10 बार (बस कुछ बड़ा पर्याप्त स्थिर) के लिए टॉस करें । अधिकांश सिर के साथ N / 2 i सिक्के रखें ।$C$$D_i = 2^i 10^{10}$
$N/2^i$

सबूत चेरनॉफ सीमा के एक जोड़े पर आधारित है। मुख्य विचार यह है कि हम प्रत्येक बार उम्मीदवारों की संख्या से आधे हैं और इस प्रकार प्रत्येक सिक्के के दो गुना अधिक खर्च कर सकते हैं।

Comments

(१) प्रमाण को और अधिक विस्तार से लिखना अच्छा होगा - इस समस्या में बहुत मुश्किल यह है कि चेरनॉफ बाउंड के लिए दहलीज कहां रखें (0.9 बायस के सिक्कों से आपको कितने सिर देखने की उम्मीद है?) । (२) क्या आप दिखा सकते हैं कि नॉटिकल कॉइन टॉस आवश्यक हैं?

— डाना मोशकोविट्ज़

सूक्ष्मता यह है: आप n सिक्कों के साथ शुरू करते हैं, और n में प्रोब ऍक्स्प छोटे के अलावा, बायोस 0.9 के कम से कम 0.6n सिक्के हैं। अब लगातार संभावना है कि 0.9 पूर्वाग्रह के सिक्के प्रतियोगिता को खो देते हैं: 1 सिक्का 0.8 से कम बायस (हो सकता है कि हर समय सिर पर गिर जाए!), बायस 0.8 + 1 / logn, ..., n / के साथ 2 सिक्के पूर्वाग्रह 0.9 के साथ 10 सिक्के - 1 / लॉग एन। एक समान तरीके से जारी रखें, जहां चुने गए सिक्कों का पूर्वाग्रह प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ घटता है, जब तक कि आप पूर्वाग्रह <0.8 के सिक्के के साथ नहीं छोड़ते हैं।

— दाना मोशकोविट्ज़

यह इवान-डार एट के मीडियन एलिमिनेशन एल्गोरिदम का कम या ज्यादा है। अल। जैसा कि मन्नोर और सिटसिक्लिस द्वारा मल्टी-आर्म्ड बैंडिट समस्या में अन्वेषण के नमूना जटिलता में दिखाया गया है कि इसका इस्तेमाल सिक्के के टॉस कम होने पर किया जा सकता है जब लक्ष्य पूर्वाग्रह को इस मामले में जाना जाता है। $O(n)$

— 20of पर क्रिस्टोफर अर्न्सफेल्ट हैनसेन

संदर्भ के लिए धन्यवाद! मुझे अधिकतम संख्या में सिक्के की जरूरत है, एक की जरूरत है, और इस मामले के लिए वे एक n ^ 2 निचला बाउंड दिखाते हैं। हालाँकि, वे जिस समस्या पर विचार करते हैं वह खदान से अलग है। उनके पास n सिक्के हैं, केवल एक ही हो सकता है जो सबसे पक्षपाती है, और वे एक समान पूर्वाग्रह के साथ एक सिक्का ढूंढना चाहते हैं। मेरे सेटअप में मुझे पता है कि स्वीकार्य पूर्वाग्रह के साथ कम से कम 0.6n सिक्के हैं (एन में संभावित घातीय छोटे को छोड़कर)।

— दाना मोशकोविट्ज़

मुझे लगता है कि हमारी समस्या के लिए टॉस कम होने की उम्मीद है: पहले सिक्के से शुरू करें और Θ ( ⋅ ) -नोट में कुछ बड़े स्थिरांक के लिए m = Θ ( n ) टॉस करें । यदि वह कम से कम 0.85 मीटर बार बाहर निकलता है , तो उसे वापस कर दें। अन्यथा अगले सिक्के के लिए जारी रखें। शुद्धता संभावना है 1 - exp ( - एन ) और संभावना के साथ 0.9 पूर्वाग्रह स्वतंत्र रूप से किया जा रहा है इनपुट सिक्के द्वारा 2 / 3 , तक पहुँचने की संभावना $O(n)$$m=\Theta(n)$$\Theta(\cdot)$$0.85m$$1-\exp(-n)$$2/3$$i$ 'वें सिक्का से कम है और इस तरह उछालों की अपेक्षित संख्या है Σ ∞ मैं = $(1/2)^i$ । $\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$

— कैस्पर ग्रीन लार्सन