के विभिन्न अंतरों की संख्या

मुझे अपने शोध के दौरान निम्नलिखित परिणाम मिले।

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ जहां $m=\omega(\sqrt n)$ और $a_1,\cdots,a_m$ को से यादृच्छिक पर चुना जाता है $[n]$ ।

मैं एक संदर्भ / प्रत्यक्ष प्रमाण की तलाश में हूं।

क्रॉसपोस्ट पर मो

reference-request co.combinatorics pr.probability

— झू काओ
स्रोत

यदि

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ , आपके द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न अंतरों की अधिकतम संख्या

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ । तो तुम सच में की जरूरत

m

$m$ विकसित करने के लिए तेजी से की तुलना में

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ सच होना इस बात के लिए। मुझे क्या होता प्रायिकता की गणना करना है कि एक नंबर की कोशिश है

d

$d$ है नहीं एक फर्क

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$ ।

— पीटर शोर

@ शोर: धन्यवाद, मैंने सवाल अपडेट किया। और वास्तव में

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ , विशिष्ट अंतर

लिए गणना करना आसान है

d

$d$ ।

— झू काओ

@ZhuCao, जब आप कहते हैं "

m

$m$ पूर्णांकों

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$ यादृच्छिक रूप से

[1, n]

$[1,n]$ ", तो वितरण का क्या मतलब है? मैं iid वर्दी

मान रहा था

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$ ।

— usul

@ और नहीं, यह मामला नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि संख्या

1

$1$ को नहीं चुना गया है (जो कि 0 से दूर होने की संभावना के साथ होता है) तो अंतर

n - 1

$n-1$ प्रकट नहीं हो सकता है, और

D_{n} < n

$D_n<n$ । लेकिन यह मामला होने की आवश्यकता क्यों है? प्रश्न केवल यह पूछता है कि

की अपेक्षा

D_{n} / n

$D_n/n$ 1 के करीब है, ऐसा नहीं है कि

D_{n}

$D_n$ उच्च संभावना के साथ 1 के बराबर है।

— जेम्स मार्टिन

कृपया एकाधिक स्टैक एक्सचेंज साइटों पर क्रॉस-पोस्ट न करें। हमारी साइट नीति एक साथ क्रॉस-पोस्टिंग को मना करती है: यह कहता है, कम से कम, एक सप्ताह प्रतीक्षा करें। और अगर आपको कोई अच्छा जवाब नहीं मिलता है, तो आप हमेशा यह ध्यान देने के लिए मॉडरेटर का ध्यान रख सकते हैं कि यह माइग्रेट हो।

— डीडब्ल्यू

मान लिया जाए कि । $m=\omega(\sqrt{n})$

किसी भी ठीक करें । हम साथ । उद्देश्य यह दिखाना है कि उच्च संभावना के साथ , को मतभेदों के सेट में शामिल किया गया है। $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

पहले सेट । की संख्या साथ ऐसी है कि चारों ओर उम्मीद के साथ द्विपद है । तो उच्च संभावना के साथ , ऐसे की संख्या कम से कम , जो कि । तब (दावा, "व्यायाम के रूप में छोड़ दिया", दिखाने के लिए मुश्किल नहीं) रूप में उच्च संभावना के साथ , सेट का आकार कम से कम । हमें इस "अच्छी घटना" के लिए लिखें , वह । $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

मान लीजिए कि वास्तव में धारण करता है, अर्थात लिए, से कम से कम अलग-अलग मान हैं । नोट इस तरह के प्रत्येक मान के लिए, वहाँ एक मूल्य है कि जो ठीक है बड़ा। अब के मूल्यों पर विचार के लिए । ये स्वतंत्र हैं और हर एक को सेट एक तत्व से दूरी पर कम से कम होने की संभावना है । संभावना है कि कोई अंतर का उत्पादन किया जाता है तो अधिकतम $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ जो कि बाद से 0 से हो जाता है । तो वास्तव में, संभावना है कि धारण करता है, लेकिन आकार का कोई अंतर मौजूद नहीं है, यह 0 से । $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

तो (समान रूप से ) संभाव्यता जो भिन्नताओं के समूह में शामिल है, 1 से रूप में । इसलिए अपेक्षा की रैखिकता का उपयोग करते हुए, चूँकि मनमानी है, इसलिए सीमा 1 वांछित है। $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— जेम्स मार्टिन
स्रोत

क्या आप प्रत्येक अंतर को अभिव्यक्ति में स्वतंत्र , और यदि हां, तो क्या यह उचित है?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James ओह, अब मैं देख मैं कहाँ है कि याद किया । धन्यवाद।

n

$n$

— डैनियल सोल्टेज़

@सुल: वास्तव में, माफी, मेरा तर्क मैला और अधूरा था। मैंने इसे विस्तारित किया है - मुझे लगता है कि यह अब पानी रखता है।

— जेम्स मार्टिन