कोलमोगोरोव जटिलता के लिए सबूत कटौती का उपयोग करके अविश्वसनीय है

मैं एक सबूत की तलाश कर रहा हूं कि कोलमोगोरोव जटिलता एक अन्य असुविधाजनक समस्या से कमी का उपयोग करके असुविधाजनक है। सामान्य प्रमाण एक कमी के बजाय बेरी के विरोधाभास का एक औपचारिककरण है, लेकिन हैल्टिंग समस्या, या पोस्ट के पत्राचार समस्या जैसी किसी चीज़ से कम करके एक प्रमाण होना चाहिए।

computability reductions kolmogorov-complexity

— कृष्ण चिक्कल
स्रोत

जवाबों:

आप दो अलग-अलग प्रमाण पा सकते हैं:

ग्रेगरी जे। चैतीन, असत अरस्लानोव, क्रिस्टियन कैलूड: प्रोग्राम-साइज़ कॉम्प्लेक्सिटी हॉल्टिंग प्रॉब्लम की गणना करता है। EATCS के बुलेटिन 57 (1995)

में ली, मिंग, Vitányi, पॉल एमबी; कोल्मोगोरोव जटिलता और इसके अनुप्रयोगों का एक परिचय यह एक अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया गया है (इसे कैसे हल करने के लिए एक संकेत के साथ एक निजी संचार फ़रवरी 13, 1992 में डब्ल्यू। गैसर्क द्वारा पी। गेक्स को श्रेय दिया गया है)।

** मैंने अपने ब्लॉग पर इसका एक विस्तारित संस्करण प्रकाशित करने का निर्णय लिया ।

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

इसके अलावा, चैटिन के प्रमाण (उस लिंक में) से पता चलता है कि ओरेकल क्वेरी को समानांतर में बनाया जा सकता है।

$\;\;\;\;$

क्या ये प्रमाण वास्तव में टर्निंग रिडक्शन (एक से एक (या) एक से कई) हैं? मैं उलझन में हूं !! कृपया मेरी मदद करें

— कृष्ण चिक्कला

@ कृष्णचिक्कला: पहला निश्चित रूप से ट्यूरिंग कमी है । मुझे लगा कि यह इतना स्पष्ट नहीं है, इसलिए मैंने अपने ब्लॉग पर इसका एक विस्तारित संस्करण प्रकाशित करने का निर्णय लिया । यदि आप इसे देखना चाहते हैं (और मुझे ईमेल द्वारा बताएं यदि आपको लगता है कि इसमें सुधार किया जा सकता है)। यह भी ध्यान दें कि ट्यूरिंग कटौती कई-एक कटौती (जो "मजबूत" कटौती) से अलग हैं; वास्तव में जो बेबेल का जवाब साबित करता है कि इस तरह की कमी मौजूद नहीं है।

— मारजियो दे बियासी

यह एक मजेदार सवाल था। जैसा कि नीचे दिए गए अन्य उत्तर और टिप्पणियों में वर्णित है, कोलमोगोरोव जटिलता की गणना करने के लिए हॉल्टिंग समस्या से एक ट्यूरिंग कमी है, लेकिन विशेष रूप से ऐसी कई-एक कमी नहीं है, कम से कम 'कंप्यूटिंग कोल्मोगोरोव जटिलता' की एक परिभाषा के लिए।

चलो औपचारिक रूप से परिभाषित करते हैं कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। बता दें कि ने टीएम के मानक भाषा को तब निरूपित किया जब इनपुट के रूप में खुद का विवरण दिया गया था। बता दें कि दर्शाया है । $HALT$ $KO$ $\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

उस कई-एक कमी के द्वारा मान लें । चलो समारोह निरूपित है कि इस कमी गणना करता है। तहत की छवि पर विचार करें , जिसे मैं निरूपित करेगा । $HALT \le KO$ $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ $HALT$ $f$ $f(HALT)$

नोट में फॉर्म के तार होते हैं जहां में Kolmogorov जटिलता होती है । मेरा दावा है कि में होने वाली की संख्या अनबाउंड होती है, क्योंकि कोलमोगोरोव जटिलता के साथ तार की केवल एक परिमित संख्या , और अनंत होती है। $f(HALT)$ $\langle x,k\rangle$ $x$ $k$ $k$ $f(HALT)$ $k$ $f(HALT)$

चूंकि पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है (कुछ पुस्तकों में उर्फ ट्यूरिंग-पहचानने योग्य), यह निम्नानुसार है कि पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है। इस तथ्य के साथ संयुक्त है कि 's अनबाउंड हैं, हम गणना तब तक कर सकते हैं जब तक कि हम कुछ को साथ बड़े नहीं मिल जाते जब तक हम चाहते हैं; यानी एक टीएम वहां मौजूद कि इनपुट पर कुछ तत्व आउटपुट । $HALT$ $f(HALT)$ $k$ $f(HALT)$ $\langle x,k\rangle$ $k$ $M$ $k$ $\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

एक नया TM लिखिए जो निम्नलिखित कार्य करता है: पहला, कंप्यूटक्लेन की पुनरावृत्ति प्रमेय का उपयोग करना। इनपुट के साथ Query पाने के लिए । आउटपुट । $M'$ $|M'|$ $M$ $|M'|+1$ $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$ $x$

जाहिर है उत्पादन का ज्यादा से ज्यादा Kolmogorov जटिलता के साथ एक स्ट्रिंग हैbut जो एक विरोधाभास है। $x$ $M'$ $|M'|$ $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

मेरा मानना है कि आप मामूली बदलावों के साथ "कोलमोगोरोव जटिलता कम से कम " के साथ "कोलमोगोरोव जटिलता वास्तव में " समस्या में स्थानापन्न कर सकते हैं । $k$ $k$

— जो बीबेल
स्रोत

लेकिन ट्यूरिंग कमी के बारे में क्या?

— साशो निकोलेव

मुझे इस विचार को टिप्पणी में फेंक दें क्योंकि मैंने विचार के माध्यम से नहीं सोचा है। निर्णय समस्याओं को समान होने दें लेकिन कमी अब ट्यूरिंग कमी । सेट पर विचार के सभी ऐसी है कि इनमें में कुछ टीएम मौजूद है

R

$R$

S

$S$

⟨ x, k ⟩ \in K O

$\langle x,k\rangle \in KO$

H A L T

$HALT$ का कारण बनता है

R

$R$ प्रश्न करना

K O

$KO$ इनपुट पर ओरेकल

⟨ x, k ⟩ \in K O

$\langle x,k\rangle \in KO$ । मैं दावा करता हूँ

S

$S$ वही अनबिके है

k

$k$ संपत्ति (यह मुझे बताए जाने की तुलना में थोड़ा अधिक उचित होने की आवश्यकता है) और

R

$R$ इस तरह के निर्बाध निर्माण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है

⟨ x, k ⟩

$\langle x,k\rangle$ , जो हमेशा एक विरोधाभास है।

— जो बीबेल

वास्तव में मैं उसे वापस लेता हूं

R

$R$ उस तरह से इस्तेमाल किया जा सकता है। ट्यूरिंग कमी के संदर्भ में यह इतना स्पष्ट नहीं है।

— जो बीबेल

कुछ स्थानों का दावा है कि कोलमोगोरोव जटिलता हेलटिंग समस्या के बराबर ट्यूरिंग है, उदाहरण के लिए मिल्टर्सन के नोट्स daimi.au.dk/~bromille/DC05/Kolmogorov.pdf । यदि यह सच है, तो ट्यूरिंग में कमी होनी चाहिए। जिस तरह से कोलमोगोरोव जटिलता से हाल्टिंग समस्या में एक ट्यूरिंग कमी आसान है और एक अलग प्रमाण देता है कि हॉल्टिंग अनिर्वाय है।

— साशो निकोलेव

H A L T \leq_{T} K O

$HALT\le_T KO$ अन्य उत्तर में लिंक में दिए गए तर्कों से निम्नानुसार है। वास्तव में, चूंकि अन्य कमी (लगभग) तुच्छ है, हमारे पास वह है

H A L T \equiv_{T} K O

$HALT\equiv_T KO$ ।