विभिन्न जटिलता वर्गों में संख्या सिद्धांत या बीजगणितीय समस्याओं की सूची

मैं विभिन्न संख्या सिद्धांत / बीजगणितीय समस्याओं की ज्ञात या अज्ञात जटिलता के बारे में एक सूची की तलाश कर रहा हूं। उदाहरण के लिए,

में GCD खुला है, $NC^1$
में फैक्टरिंग खुला है, $P$
कंप्यूटिंग शीफ कॉहोमोलॉजी $\#P$ -hard है ,
अरोड़ा और बराक कहते हैं कि फैक्टरिंग का एक प्रकार $NP$ पूर्ण है (हालांकि यह एनपी-पूर्ण संस्करण फैक्टरिंग पर चर्चा के आधार पर स्पष्ट नहीं है । ) ।
असतत लघुगणकों पर बारबेलस्क्यू एट अल की सफलता का काम ।

Adleman ने एक बार $P$ और पर केंद्रित एक सूची प्रकाशित की थी $NP$ लेकिन यह पुरानी लग रही है। ममफोर्ड के पास एक कागज है जो जटिलता के संबंध में बीजगणितीय ज्यामिति में गणना करने योग्य है।

क्या किसी को इन सूचियों के प्रकाशित होने के बाद (प्रमुख) खोजों की सूची पता है?

एक संख्या सिद्धांत / बीजीय स्वाद की कुछ समस्याएं क्या हैं जिनकी जटिलता कक्षाएं संभवतः पहले से ही ज्ञात हैं (चूंकि उपरोक्त सूची प्रकाशित की गई थी), अज्ञात लेकिन अनुमान, या अज्ञात और अनुमान नहीं लगाया गया?

समस्याओं के कुछ रास्ते इंटरपोलेशन समस्याएं (विभिन्न क्षेत्रों में अविभाजित या बहुभिन्नरूपी), चीनी शेष प्रमेय, घटता पर बिंदु गिनती की जटिलता आदि हो सकते हैं।

— टी ....
स्रोत

क्या आप वास्तव में केवल ऐसी समस्याएं चाहते हैं जिनकी जटिलता न केवल ज्ञात है, बल्कि कहीं होने की भी अटकल नहीं है? के बाद से यह पी और बीच मध्यवर्ती में होना माना जाता है कि काफी प्रतिबंधात्मक लगता है, जैसे पूर्णांक गुणन उस सवाल को संतुष्ट नहीं होगा

... लेकिन मुझे लगता है कि (और आशा) यदि आप एक से थोड़ा अधिक अनुमोदक प्रश्न मतलब है। ऐसी सूची देखना दिलचस्प होगा।

U P \cap c o U P

$UP \cap coUP$

— जोशुआ ग्रोको

@ जोशुआग्रोचो चौड़ी हुई।

— टी ....

क्या GCD को लॉगस्पेस में जाना जाता है?

$\;$

नहीं, यह एक खुली समस्या है कि क्या यह एनसी पदानुक्रम में कहीं भी है।

— एमिल जेकाबेक

जवाबों:

बीजगणितीय ज्यामिति

नोथेर के सामान्यीकरण लेम्मा (NNL) स्पष्ट किस्मों के लिए वर्तमान में केवल में माना जाता है (सामान्य NNL) की तरह है, लेकिन अनुमान लगाया में होने की (और में है संभालने गड्ढे ब्लैक बॉक्स हो सकता है कि derandomized)। अद्यतन 4/18/18: यह हाल ही में दिखाया गया था कि विविधता के लिए उस में है परिमेय (अधिक फोर्ब्स और Shpilka) और फिर मनमाना क्षेत्रों ( गुओ, सक्सेना, और Sinhababu )। $\mathsf{EXPSPACE}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\overline{\mathsf{VP}}$ $\mathsf{PSPACE}$
यह परीक्षण करना कि क्या पॉलिनॉमिल्स के दिए गए सेट में बीजगणितीय निर्भरता है। यह समस्या हाल ही में में होना दिखाया गया था द्वारा गुओ, सक्सेना, और Sinhababu (पिछले ऊपरी के लिए बाध्य में सुधार की वजह से Mittmann, सक्सेना, और Scheblechner , भी पर arXiv )। $\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$ $\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$
रहे हैं कई ( arXiv ) नई जटिल किस्मों के संस्थानिक अपरिवर्तनशीलताओं कंप्यूटिंग (आदि चिकनाई जैसे विभिन्न प्रतिबंध, के साथ) के लिए एल्गोरिदम। मेरा मानना है कि इनमें से अधिकांश के लिए इष्टतम ऊपरी सीमा अभी भी खुली है।
हिल्बर्ट्स नुल्ल्स्टेलेन्त्ज़ (HN): पूर्णांक बहुपद को देखते हुए, तय करें कि क्या उनका एक सामान्य जटिल समाधान है, मानने वाले GRH ( कोइरन ) में है। यह अज्ञात है अगर यह । $\mathsf{AM}$ $\mathsf{NP}$
विशेषता शून्य में बीजीय किस्मों की विलक्षणताओं के संकल्प के लिए एल्गोरिदम। वर्तमान सबसे अच्छा समय ऊपरी बाध्य , की वजह से Bierstone, Grigoriev, Milman, और व्लोडार्ज़िक है जहां किस्म का आयाम है और है आदिम पुनरावर्ती कार्यों के Grzegorczyk पदानुक्रम । वहाँ नहीं कर रहे हैं विशेष रूप से अच्छा (किसी भी?) इस समस्या पर कम सीमा है, लेकिन एक उचित रूप में बहुत सरल समस्याओं से संबंधित कम सीमा में जाना जाता है के लिए, अर्थात्: वहाँ में आदर्शों हैं ज्यादा से ज्यादा डिग्री में उत्पन्न चर अपेक्षा करते हैं कि $\mathcal{E}^{d+3}$ $d$ $\mathcal{E}^{\bullet}$ $n$ $n$ $\mathcal{E}^{n+1}$ ऐसे जनरेटर। इसलिए विलक्षणताओं के समाधान के लिए वर्तमान ऊपरी सीमा सच्चाई से दूर नहीं हो सकती है, लेकिन वास्तव में बहुत कम ज्ञात है।

Isomorphism की समस्याएं

इस तरह के सह समुच्चय चौराहे, क्रमपरिवर्तन समूह समाकृतिकता, आदि के रूप में - - क्रमचय समूहों पर कई समस्याओं में हैं , लेकिन यह अज्ञात है अगर वे कर रहे हैं , और ऐसा संदेह है कि वे में नहीं हैं । ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म उन समस्याओं में से अधिकांश को कम करता है, इसलिए उन पर एक बेहतर ऊपरी सीमा का अर्थ है जीआई पर एक बेहतर ऊपरी सीमा। $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$
विशेष रूप से, क्रमपरिवर्तन समूह समाकृतिकता के लिए, वर्तमान में सबसे अच्छा ऊपरी बाध्य है , और यह खुला है अगर यह समय में किया जा सकता है (केवल क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री के आधार पर और इसके आदेश पर नहीं), जीआई और कोसेट चौराहे की तरह अकेले अर्ध-पाली समय दें । $2^{O(n)}|G|$ $2^{O(n)}$
समूह समरूपता जहां समूह गुणा सारणी द्वारा दिए गए हैं, उन्हें , लेकिन में होने का संदेह है । के कई वर्गों (अद्यतन 4/18/18: और कुछ ( arXiv ) अधिक ( arXiv )) के समूहों के लिए में जाना जाता है , लेकिन सामान्य रूप से नहीं। $\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

अन्य

अद्यतन 4/18/18: किसी भी क्षेत्र से अधिक टेन्सर रैंक है -Complete ( शेफ़र और Stefankovic )। ~~में~~ ~~से अधिक पर दसवीं रैंक है~~ ? इसे Hhard ( Håstad ) के रूप में जाना जाता है , और परिमित क्षेत्रों में यह । $\mathbb{F}$ $\exists \mathbb{F}$ ~~$\mathbb{Q}$ $\mathsf{NP}$~~ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$
आम तौर पर, अधिक tensors पर कई समस्याओं हैं -हार्ड लेकिन में माने जाते नहीं ( Hillar और लिम , भी पर arXiv )। $\mathbb{Q}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

यह (कुछ दुःख की बात है) लगता है कि 21 साल का होने के बावजूद, एडलमैन-मैककर्ली सर्वेक्षण, संख्या-सिद्धांत संबंधी समस्याओं के संदर्भ में आज तक का है, इस तथ्य के अपवाद के साथ कि हम अब जानते हैं कि में है $\mathsf{PRIMES}$ $\mathsf{P}$ ...

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

मुझे आश्चर्य है कि एनपी में एचएन अज्ञात है। आपको बस प्रत्येक बहुपद अधिकार के लिए समाधान की जांच करनी है?

— टी ....

I विलक्षणताओं के समाधान में अंतर क्या है?

— टी ....

@ टर्बो: एचएन के लिए, बहुपद पूर्णांक बहुपद होते हैं, लेकिन समाधानों को जटिल संख्याओं की अनुमति होती है, जिन्हें बिट्स की एक परिमित संख्या द्वारा अभिव्यक्त करने की आवश्यकता नहीं होती है, अकेले बहुपदों की संख्याओं को दें। इसके अलावा, यहां तक कि AM पाने के लिए मुझे लगता है कि आपको GRH की आवश्यकता है।

— यहोशू ग्रोवो

(पहले मैं इस प्रमाण की पुष्टि करता हूं कि HN AM में है GRH पर निर्भर करता है।) @ टर्बो: इनपुट पूर्णांक बहुपद का एक समूह है, इसलिए बिट्स की एक सीमित संख्या के साथ परिभाषित किया गया है। एचएन के लिए एक स्पष्ट प्रमाण पत्र प्रणाली का एक समाधान होगा। लेकिन यहोशू क्या कहता है कि इस तरह के समाधान का वर्णन आवश्यक रूप से बिट्स की सीमित संख्या के साथ प्रतिनिधित्व करने योग्य नहीं है। इस प्रकार हम एक बहुपद-आकार के प्रमाण पत्र होने से बहुत दूर हैं !

— ब्रूनो

@ निखिल: क्योंकि PIT NNL पर ऊपरी सीमा नहीं देता है। ब्लैक-बॉक्स हिटिंग सेट जो बाउंड देते हैं। NNL (PIT के लिए PSPACE एल्गोरिथ्म) के लिए सभी संभावित हिटिंग सेटों की गणना करने के साथ समस्या यह है कि प्रत्येक के लिए, किसी को एक निश्चित संपत्ति का सत्यापन करना चाहिए, और यह सत्यापन केवल EXPSPACE में जाना जाता है। यदि OTOH आप सीधे एक गारंटीकृत मार सेट का निर्माण कर सकते हैं, तो मूल रूप से आपको सत्यापित करने की आवश्यकता नहीं है। जब आप पेपर पढ़ेंगे तो देखेंगे।

— यहोशू ग्रोवो

गैलोज़ सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल गैलोज़ सिद्धांत पर जोर देने के साथ कुछ और जोड़ना ( संबंधित प्रश्न cs.SE पर देखें ):

यह निर्धारित करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है कि पूर्णांक पर किसी दिए गए राक्षसी विडंबनापूर्ण बहुपद, रेडिकल द्वारा घुलनशील है, Ref में है "Solvability by Radicals is Polynomial Time", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

यहां अरविंद और कुरूर द्वारा कुछ गैलोज़ थ्योरी समस्याओं की जटिलता पर एक पेपर अपर बाउंड के अनुसार , लैंडौ का एक प्रमेय एक निश्चित परिभाषा के तहत बहुपद के आकार में एक घातीय ऊपरी सीमा देता है। अधिक सटीक रूप से, उसका प्रमेय गैलोज़ समूह के आकार और बहुपद के आकार के संदर्भ में एक बहुपद देता है। लेकिन समूह का आकार बहुपद के आकार में घातीय हो सकता है। वे दिखाते हैं कि यदि गैलोज़ समूह हल करने योग्य है, तो आदेश की गणना ओरेकल के साथ यादृच्छिक बहुपद समय एल्गोरिथ्म द्वारा की जा सकती है । $NP$

एमओ पर जुड़े प्रश्न से पुन: प्रस्तुत

— निकोस एम।
स्रोत