फैक्टरिंग का एक एनपी-पूर्ण संस्करण।

अरोड़ा और बराक की पुस्तक निम्नलिखित समस्या के रूप में तथ्य प्रस्तुत करती है:

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

वे अध्याय 2 में आगे जोड़ते हैं कि इस तथ्य को दूर करना कि प्रमुख है, इस समस्या को एनपी-पूर्ण बनाता है, हालांकि यह फैक्टरिंग संख्याओं की कठिनाई से जुड़ा नहीं है। ऐसा लगता है कि SUBSETSUM से कमी हो सकती है, लेकिन मैं इसे पाने में फंस गया। किसी भी बेहतर भाग्य यहाँ के आसपास? $p$

1 मार्च को ईडीआईटी: इनाम गुणक प्रमाण के लिए निर्धारक कार्प (या कुक) की कमी का उपयोग कर रहा है। $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— मिशैल कैडिलैक
स्रोत

@ टर्कीस्टनी: एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, मैं एनपी को इटैलिक में रखने के लिए खराब शैली के रूप में मानता हूं, और खराब शैली और खराब एलईटीएक्स दोनों के रूप में इसे गणित मोड में डालने के लिए (अक्षरों के बीच अंतर के रूप में)।

— माइकल कैडिलैक

@ Michaël, क्षमा करें, वापस मूल शैली में वापस आ गया। मैं आपके प्रश्न से उत्साहित हो गया :)

— मोहम्मद अल-तुर्कतनि

कुछ और पूर्ण विवरण: पुस्तक के पृष्ठ 63 पर, वे लिखते हैं: अलोन और किलियन (व्यक्तिगत संचार में) ने दिखाया कि भाषा की परिभाषा में उदाहरण 2.3 में फैक्टरिंग , कारक पी प्रमुख है जो शर्त पर कब्जा करने के लिए आवश्यक है फैक्टरिंग समस्या, इस स्थिति के बिना यह भाषा एनपी-पूर्ण है (फैक्टरिंग पूर्णांकों की कठोरता के साथ कुछ नहीं करने के कारणों के लिए)।

— 14:25 बजे एमएस डौस्ती

स्वाभाविक रूप से, मैंने अलोन और किलियन द्वारा "फैक्टरिंग" और "एनपी-पूर्ण" युक्त एक पेपर की खोज की। मुझे कोई नहीं मिला (मुझे लगता है कि यह कुछ अर्थों में स्वाभाविक भी है)। :(

— त्सुयोशी इटो

@ मुझे वास्तव में बजाय रूप में कक्षाएं प्रदान करना पसंद है । नहीं ?

N P

$\mathsf{NP}$

— सुरेश वेंकट

जवाबों:

यह काफी जवाब नहीं है, लेकिन यह करीब है। निम्नलिखित एक प्रमाण है कि समस्या एनपी-हार्ड यादृच्छिक कटौती के तहत है।

राशि का एक स्पष्ट संबंध है जो यह है: मान लीजिए कि आप : , , , के कारकों को जानते हैं । अब, आप एक सबसेट लगाना चाहते हैं के ऐसा है कि $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

\log L \leq \sum_{p_{i} \in S} \log p_{i} \leq \log U .

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

समस्या को दिखाने के लिए इस विचार का उपयोग करने की कोशिश करने में समस्या एनपी-हार्ड है, यदि आपके पास संख्या , , , साथ एक उप-योग समस्या है , तो आप आवश्यक रूप से बहुपद समय में primes नहीं पा सकते हैं (जहां द्वारा , मेरा मतलब लगभग आनुपातिक है)। यह एक वास्तविक समस्या है क्योंकि, चूंकि सबसेट-योग दृढ़ता से एनपी-पूर्ण नहीं है, इसलिए आपको बड़े पूर्णांक लिए इन को खोजने की आवश्यकता है । $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

अब, मान लीजिए कि हमें एक पूर्णांक समस्‍या समस्‍या में सभी पूर्णांक और , और यह योग लगभग । सबसे बड़ी समस्‍या अभी भी NP- पूर्ण होगी, और कोई समाधान पूर्णांकों का योग होगा । यदि हम को और बीच होने देते हैं , और वास्तव में होने के योग की आवश्यकता के बजाय, हम वास्तविक से समस्या को बदल सकते हैं, तो हमें और बीच होना चाहिए । हमें केवल अपनी संख्या को लगभग निर्दिष्ट करना होगा $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ ऐसा करने के लिए परिशुद्धता के अधिक बिट्स। इस प्रकार, यदि हम बिट्स के साथ संख्याओं के साथ शुरू करते हैं , और हम वास्तविक संख्या को लगभग बिट्स सटीक के लिए निर्दिष्ट कर सकते हैं , तो हम अपनी कमी को पूरा कर सकते हैं। $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

अब, से विकिपीडिया (नीचे सिएन-चिह की टिप्पणी के माध्यम से), के बीच अभाज्य संख्या की संख्या और है , इसलिए यदि आप बस चुनें उस सीमा में यादृच्छिक रूप से संख्याएं, और उच्च संभावना के साथ बहुपद समय में एक प्रमुखता प्राप्त करने के लिए, उन्हें मौलिकता के लिए परीक्षण करें। $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

अब, कमी की कोशिश करते हैं। मान लीजिए कि हमारे सभी बिट लंबे हैं। अगर हम ले लंबाई के बिट्स, तो हम एक प्रमुख पा सकते हैं पास साथ परिशुद्धता के टुकड़े। इस प्रकार, हम चुन सकते हैं ताकि बिट्स के साथ । यह हमें खोजने देता है ताकि बिट्स के साथ जाए । यदि इन primes का सबसेट लक्ष्य मान के करीब कुछ गुणा करता है, तो मूल सबसेट योग समस्याओं का समाधान मौजूद होता है। तो हम दें $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ , और उचित रूप से चुनें, और हमारे पास योग से एक यादृच्छिक कमी है। $L$ $U$

— पीटर शोर
स्रोत

मुझे कमी समझ में नहीं आती। सबसेट सम समस्या के लिए एनपी-पूर्ण होने के लिए, संख्या को बाइनरी में दिया जाना चाहिए। यदि हम ऐसे पूर्णांक चाहते हैं, जिसके लघुगणक समस्‍या के उदाहरण में संख्याओं के करीब हैं, तो हमें बहुत अधिक अंकों की जरूरत है। आप इसे कैसे दूर करेंगे?

— त्सुयोशी इतो

@Peter: संख्या सिद्धांत में धारणा को Cramér का अनुमान कहा जाता है , जिसमें कहा गया है कि , जहां n-th अभाज्य संख्या है। संदर्भ के लिए लेख प्रधान अंतर भी देखें ।

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— Hsien-Chih चांग 之 '

@ पेटर: हाँ,

लिए धारणा का यह संस्करण काफी साबित हुआ है। इस तरह का पहला परिणाम Hoheisel से दिखाया गया है, और की वजह से सबसे अच्छा परिणाम विकिपीडिया से काम है बेकर, हरमन और Pintz , साथ

(क्योंकि यह संभावना 1 के लिए रखती है) और

।

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

— हसीन-चिह चांग 張顯 '

बस इसी के साथ आया था। मुझे ध्यान देना चाहिए कि मुझे नहीं पता कि मूल किलियन-अलोन सबूत क्या था। प्रमाण का मेरा एकमात्र ज्ञान नोगा के साथ एक संचार से है, जो मूल प्रमाण के विवरण को याद नहीं करते थे, और जिस प्रमाण को उन्होंने फिर से बनाया था वह वास्तव में यही था। ध्यान दें कि इसे कुछ मजबूत संख्या के सिद्धांत के तहत नियतात्मक कमी के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, कि प्रपत्र के किसी भी अंतराल में एक प्रमुख है [x, x + polylog (x)])।

— बोअज बराक

मैंने सिर्फ जो किलियन से बात की। उन्होंने कहा कि सबूत है कि वह और अलोन शून्य-त्रुटि यादृच्छिक कटौती के साथ आए थे। जहां तक वह अवगत है, निर्धारक कमी अभी भी खुली है जब तक कि आप कुछ संख्या-सैद्धांतिक धारणा नहीं बनाते हैं, जैसा कि बोअज़ बराक पहले ही कह चुके हैं।

— टिमोथी चाउ

मुझे लगता है कि यह पीसीपी प्रमेय (विशेष रूप से ) से जुड़ा हुआ है । $NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

मधु के पेपर का एक अंश :

$A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ $A$ $N$ $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

... मेरी जटिलता सिद्धांत कौशल से परे :-)

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

यह सिर्फ एक और सूत्रीकरण है कि यह समस्या एनपी-पूर्ण है।

— मार्क बरी

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

पेपर में SHORT PROOFS की समस्या लगभग बद्ध हॉल्टिंग समस्या के समान है। SHORT PROOFS समस्या से कमी, SAT के NP-पूर्णता के विशिष्ट प्रमाण के रूप में सबसे अधिक संभावित होगी, और इसलिए यह संभावना नहीं है कि Kilian द्वारा इस कारक को खोजने वाले NP-पूर्णता के प्रमाण से कमी से निर्माण होता है। सीधे समस्या समस्या।

— त्सुयोशी इतो

यह एक अनौपचारिक कुशल निर्धारणात्मक विचार है (और अपूर्ण हो सकता है):

$\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

$M$ $M=N_j * F_i$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत