2-SAT के खोज संस्करण की जटिलता

यदि , तो एक लॉगस्पेस एल्गोरिथ्म है जो 2-सैट के निर्णय संस्करण को हल करता है । $\mathsf{L = NL}$

क्या का अर्थ यह है कि संतोषजनक असाइनमेंट प्राप्त करने के लिए एक लॉगस्पेस एल्गोरिथ्म है , जब इनपुट के रूप में संतोषजनक 2-SAT उदाहरण दिया जाता है? $\mathsf{L = NL}$
यदि नहीं, तो उन एल्गोरिदम के बारे में क्या है जो उप-रैखिक स्थान का उपयोग करते हैं (खंडों की संख्या में)?

sat search-problem logspace

एक संतोषजनक 2-CNF को देखते हुए , आप एक एनएल-फ़ंक्शन द्वारा एक विशेष संतोषजनक असाइनमेंट गणना कर सकते हैं (अर्थात, एक एनएल-विधेय जो आपको बताता है कि क्या सत्य है)। ऐसा करने का एक तरीका नीचे वर्णित है। मैं स्वतंत्र रूप से इस तथ्य का उपयोग करूंगा कि एनएल -नीलामी के तहत बंद है , इसलिए एनएल-कार्यों को रचना के तहत बंद कर दिया गया है; यह NL = coNL का परिणाम है। $\phi$ $e$ $P(\phi,i)$ $e(x_i)$ $\mathrm{AC}^0$

चलो एक तृप्तियोग्य 2-CNF हो। किसी भी शाब्दिक के लिए , चलो शाब्दिक की संख्या हो से पहुँच में के निहितार्थ ग्राफ में एक निर्देशित मार्ग से , और शाब्दिक की संख्या जहाँ से पहुंचा जा सकता है। दोनों एनएल में कम्प्यूटेशनल हैं। $\phi(x_1,\dots,x_n)$ $a$ $a^\to$ $a$ $\phi$ $\let\ot\leftarrow a^\ot$ $a$

गौर करें कि , और , निहितार्थ ग्राफ के तिरछा-समरूपता के कारण। एक असाइनमेंट परिभाषित करें ताकि $\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$ $\ob a^\ot=a^\to$ $e$

यदि , तो ; $a^\ot>a^\to$ $e(a)=1$
यदि , तो ; $a^\ot<a^\to$ $e(a)=0$
यदि , चलो कम से कम हो ऐसी है कि या का प्रभावशाली तरीके से कनेक्ट घटक में प्रकट होता है (यह दोनों नहीं हो सकता, के रूप में संतुष्टि योग्य है)। डालें तो प्रकट होता है, और अन्यथा। $a^\ot=a^\to$ $i$ $x_i$ $\ob x_i$ $a$ $\phi$ $e(a)=1$ $x_i$ $e(a)=0$

ग्राफ़ का तिरछा-समरूपता का अर्थ है कि , इसलिए यह एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है। इसके अलावा, किसी भी किनारे के लिए निहितार्थ ग्राफ में: $e(\ob a)=\ob{e(a)}$ $a\to b$

यदि से पहुंच योग्य नहीं है , तो , और । इस प्रकार, का अर्थ है । $a$ $b$ $a^\ot<b^\ot$ $a^\to>b^\to$ $e(a)=1$ $e(b)=1$
अन्यथा, और एक ही प्रभावशाली तरीके से कनेक्ट घटक में हैं, और , । इस प्रकार, । $a$ $b$ $a^\ot=b^\ot$ $a^\to=b^\to$ $e(a)=e(b)$

यह इस प्रकार है कि । $e(\phi)=1$

— एमिल जेकाबेक मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत

यह अच्छा है! क्या कोई संदर्भ है?

— रयान विलियम्स

मैंने अभी इसे पकाया है इसलिए मुझे नहीं पता, लेकिन यह किसी के लिए काफी आसान लग रहा है जो पहले देखा था। मेरी प्रेरणा का तर्क था कि आंशिक आदेशों की सामयिक छंटनी टीसी ^ 0 में की जा सकती है, इसलिए एनएल में एसाइक्लिक ग्राफ्ट्स के टी.एस. यह सकारात्मक रूप से एक संदर्भ है, लेकिन मैं इस समय कार्यालय में नहीं हूं, इसलिए मेरे लिए इसे देखना मुश्किल है।

— एमिल जेकाबेक

परिणाम जो संतोषजनक कामों की गणना एफएनएल में की जा सकती है, कुक, कोलोकोलोवा में एक अलग तर्क के साथ दिखाई देता है: एनएल के लिए एक दूसरा-ऑर्डर सिद्धांत, और कुक में कुछ अधिक विवरण के साथ, गुयेन: प्रूफ जटिलता की तार्किक नींव। हालाँकि, मैं मानता हूँ कि मैं यह पता नहीं लगा सकता कि यह कैसे काम करने वाला है। जहां तक मैं बता सकता हूं, सी एंड एन किताब में पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ी गई संपत्ति (307) बस झूठी है।

— एमिल जेकाबेक