सम-वर्ग वर्गों में संख्यात्मक परिशुद्धता?

Question

मैं बराक एंड स्टेयूर के सर्वेक्षण और बराक के व्याख्यान नोट्स से राशि-वर्ग विधि (एसओएस) के बारे में थोड़ा पढ़ रहा हूं । दोनों मामलों में वे गलीचा के नीचे संख्यात्मक सटीकता के मुद्दों को स्वीप करते हैं।

विधि की मेरी (सीमित रूप से सीमित) समझ से, निम्नलिखित सत्य होना चाहिए:

बहुपद समानताओं के किसी भी प्रणाली को देखते हुए वास्तविक मूल्य चर से अधिक एक्स ∈ आर एन , जहां सभी मापदंडों हैं हे ( 1 ) ( n , | ई | , डिग्री ", और प्रत्येक बाधा की डिग्री) 2 n " ( = हे ( 1 ) ) एसओएस विधि चर का एक संतोषजनक असाइनमेंट पाती है या साबित करती है कि ओ ( 1 ) समय में कोई भी मौजूद नहीं है । $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

मेरा पहला सवाल यह है कि क्या उपरोक्त दावा सही है (क्या इसका कोई भोली तर्क है जो इसे हल करने के लिए एसओएस का उपयोग नहीं करता है?)। दूसरा सवाल यह है कि संख्यात्मक सटीकता कहां फिट होती है। यदि मैं एक असाइनमेंट प्राप्त करना चाहता हूं जो सभी बाधाओं को एडिटिव सटीकता के भीतर संतुष्ट करता है, तो रनटाइम 1 / num पर कैसे निर्भर करता है ? विशेष रूप से, क्या यह बहुपद है?$\varepsilon$$1/\varepsilon$

इसके लिए प्रेरणा है, कहते हैं, एक बड़े सिस्टम पर डिवाइड-एंड-कॉनक्रेक्ट अप्रोच लागू करें जब तक कि बेस केस -साइज सिस्टम न हो।$O(1)$

संपादित करें: बराक-स्टीयर से, ऐसा प्रतीत होता है कि p.9 पर "डिग्री सम-ऑफ-स्क्वेयर एल्गोरिथम" (और इसके लिए अग्रणी पैराग्राफ) सभी आर के समाधान के लिए समस्याओं को परिभाषित करते हैं , और वास्तव में एक छद्म की परिभाषा। धारा 2.2 में वितरण आर के ऊपर है । अब मैं लेम्मा 2.2 से देख रहा हूं, हालांकि, बाइनरी चर के बिना डिग्री 2 एन में समाधान / प्रतिनियुक्ति की गारंटी नहीं है ।$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

इसलिए मैं अपने प्रश्न को थोड़ा परिष्कृत कर सकता हूं। अपने चर द्विआधारी नहीं हैं, तो चिंता यह है कि आउटपुट के अनुक्रम है परिमित (शायद नहीं भी monotonic बढ़ रही?) नहीं है। तो सवाल यह है: φ ( l ) अभी भी बढ़ रहा है? और अगर ऐसा है तो आप कितनी दूर additive सटीकता प्राप्त करने जाना है ε ?$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

हालांकि यह संभावना कुछ भी नहीं बदलती है, मुझे पता है कि मेरी प्रणाली संतोषजनक है (किसी भी डिग्री का कोई खंडन नहीं है), इसलिए मुझे वास्तव में सिर्फ इस बात की चिंता है कि बड़े की कितनी आवश्यकता है। अंत में, मैं एक सैद्धांतिक समाधान में दिलचस्पी रखता हूं, न कि एक संख्यात्मक सॉल्वर।$l$

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तर्कसंगत गुणांक (2008) के साथ चौकों के विसंगतियों का कम्प्यूटिंग योग

— रोड्रिगो डी अजेवेडो

Answer 1

यहाँ इस मुद्दे पर बोअज़ बराक की टिप्पणी है :

हम गलीचा के नीचे संख्यात्मक सटीकता झाडू करते हैं - अधिक "पारंपरिक" Parrilo, Lasserre आदि का एसओएस साहित्य। इन मुद्दों से संबंधित है (जैसे, मोनिक लॉरेंट के सर्वेक्षण और उसमें संदर्भ देखें)। यह ज्ञात है कि पदानुक्रम मोनोटोन है (यह देखना मुश्किल नहीं है कि डिग्री psuedo- वितरण विशेष रूप से एक डिग्री l - 1 एक) है, और यह समीकरणों के किसी निश्चित सेट के लिए परिमित डिग्री में परिवर्तित हो जाएगा (यह है) द पोसिटिविस्टेलेंसजेट)। सटीक डिग्री भिन्न हो सकती है। आम तौर पर, यदि बहुपद के सभी गुणांक बंधे होते हैं और आप इस मामले में अंतर करने की कोशिश कर रहे हैं कि कोई समाधान है और यह मामला है कि किसी भी असाइनमेंट में समीकरणों में से कोई एक ϵ से बंद है , तो कोई भी इस बात का खुलासा कर सकता है।$l$$l-1$$\epsilon$ -net के लिए δ चर की संख्या, समीकरण की डिग्री है, और से संबंधित ε , और फिर आवश्यक मोटे तौर पर किया जाना चाहिए शुद्ध के आकार लॉग इन करने की डिग्री (शुद्ध संभालने पर्याप्त "अच्छा" और "की तरह घन" है)।$\delta$$\delta$$\epsilon$

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भविष्य में फिर से सवाल उठाने वाले सामुदायिक बॉट से बचने के लिए एक उत्तर के रूप में पोस्ट किया गया।

— केव

Answer 2

मुझे लगता है कि मेरा उत्तर संभवत: अपर्याप्त है, लेकिन यह पूर्णता के लिए बना हुआ है (हालांकि बोअज़ की टिप्पणियों को बेहतर तरीके से देखने के लिए नीचे देखें)

$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

$n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

$2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

अब, सैद्धांतिक गारंटी के लिए, ऐसा लगता है कि बहुपदों की एक प्रणाली की एक जड़ को स्मैल की 17 वीं समस्या के रूप में भी जाना जाता है, और जाहिर है कि एक यादृच्छिक (लास वेगास) बहुपद समय एल्गोरिथ्म है जो इसे हल करता है - देखें http://xxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf । ध्यान दें कि यह ब्लम-शुब-स्मेल मॉडल में लगता है, इसलिए वास्तविक संचालन आदिम हैं। मुझे यकीन नहीं है कि यह गारंटी देता है कि आपको ज़रूरत है।

Comments

$x_i$$\mathbb{R}$$O(2^n) = O(1)$

उफ़, मेरी गलती! हां, यह अधिक सामान्य सेटिंग्स पर लागू होता है, हालांकि कई बार हम बस मान लेते हैं कि हम हाइपरक्यूब पर हैं। मैंने अपना जवाब अपडेट कर दिया है, हालांकि मेरा जवाब उम्मीद से कम स्पष्ट होगा।

— जो बीबेल

$\ell$$\ell-1$

$\epsilon$$\delta$$\delta$$\epsilon$

@BoazBarak शायद यह एक जवाब हो सकता है?

— सुरेश वेंकट