चर्च के अंकों के लिए एक प्रेरण सिद्धांत की घोषणा करना असंभव क्यों है

Question

कल्पना कीजिए, हमने चर्च संख्याओं के रूप में प्राकृतिक रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस में प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित किया। उन्हें निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

हालाँकि, ऐसा लगता है कि हम निम्नलिखित प्रकार के इंडक्शन सिद्धांत के साथ चर्च के अंकों को परिभाषित नहीं कर सकते हैं:

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

ऐसा क्यों है? मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं? ऐसा लगता है कि समस्या नेट के लिए एक प्रकार को परिभाषित करने के साथ है जो पुनरावर्ती बन जाता है। क्या यह अनुमति देने के लिए लैम्ब्डा कैलकुलस में संशोधन करना संभव है?

Answer 1

आप जो सवाल पूछ रहे हैं वह दिलचस्प और ज्ञात है। आप प्राकृतिक संख्याओं के तथाकथित इम्प्रैडिवेटिव एन्कोडिंग का उपयोग कर रहे हैं। मुझे पृष्ठभूमि के बारे में कुछ समझाएं।

एक टाइप कंस्ट्रक्टर को देखते हुए , हम "न्यूनतम" टाइप संतोषजनक में रुचि रख सकते हैं । श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में एक फनकार है और प्रारंभिक -algebra है। उदाहरण के लिए, यदि तो प्राकृतिक संख्याओं से मेल खाता है। यदि तो परिमित बाइनरी ट्री का प्रकार है। ए ए ≅ टी ( ए ) टी ए टी टी ( एक्स ) = 1 + एक्स ए टी ( एक्स ) = 1 + एक्स × एक्स $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$$A$$A \cong T(A)$$T$$A$$T$$T(X) = 1 + X$$A$$T(X) = 1 + X \times X$$A$

लंबे इतिहास के साथ एक विचार यह है कि प्रारंभिक बीजगणित प्रकार (आप निर्भर उत्पादों के लिए Agda संकेतन का उपयोग कर रहे हैं, लेकिन मैं एक अधिक पारंपरिक गणितीय संकेतन का उपयोग कर रहा हूं।) ऐसा क्यों होना चाहिए? खैर, अनिवार्य प्रारंभिक के लिए प्रत्यावर्तन सिद्धांत को कूटबद्ध -algebra: किसी भी -algebra एक संरचना आकारिता साथ , हम पाते हैं एक बीजगणित समरूपता द्वारा तो हम देखते हैं कि है कमजोरए : = Π एक्स : टी वाई पी ई ( टी ( एक्स ) → एक्स ) → एक्स । एक टी टी वाई च : टी ( वाई ) → Y φ : एक → Y φ ( एक ) = $T$

$$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$$ $A$$T$$T$$Y$$f : T(Y) \to Y$$\phi : A \to Y$एक φ एक $$\phi(a) = a \, Y \, f.$$ $A$शुरुआती के लिए सुनिश्चित करें। प्रारंभिक होने के लिए हमें यह जानना होगा कि अद्वितीय है। यह आगे की मान्यताओं के बिना सच नहीं है, लेकिन विवरण तकनीकी और खराब हैं और कुछ पृष्ठभूमि सामग्री को पढ़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक संतोषजनक पैरामीरेसी प्रमेय दिखा सकते हैं तो हम जीत जाते हैं, लेकिन इसकी अन्य विधियाँ भी हैं (जैसे कि की परिभाषा की मालिश करना और -axiom और फंक्शन को लयबद्धता मान लेना)।$\phi$$A$$K$

हमें : हमें चर्च अंक मिले ! और हम भी अब समझते हैं कि हम क्योंकि चर्च अंकों के मुक्त करने के लिए एक प्रत्यावर्तन सिद्धांत मिल जाएगा, कर रहे हैं की संख्या के लिए प्रत्यावर्तन सिद्धांत है, लेकिन हम parametricity या इसी तरह की डिवाइस के बिना प्रेरण नहीं मिलेगा।एन एक टी = Π एक्स : टी वाई पी ई ( ( 1 + एक्स ) → एक्स ) → एक्स = Π एक्स : टी वाई पी ई ( एक्स × ( एक्स → एक्स ) ) → एक्स = ∏ एक्स : टी वाई पी ई एक्स → ( $T(X) = 1 + X$

$$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$$

आपके प्रश्न का tehcnical उत्तर यह है: प्रकार के सिद्धांत के ऐसे मॉडल मौजूद हैं जिनमें प्रकार SimpleNatमें विदेशी तत्व होते हैं जो अंकों के अनुरूप नहीं होते हैं, और इसके अलावा, ये तत्व प्रेरण सिद्धांत को तोड़ते हैं। SimpleNatइन मॉडलों में प्रकार बहुत बड़ा है और केवल एक कमजोर प्रारंभिक बीजगणित है।

Comments

मैं मानता हूं कि उत्तर बहुत अच्छा है, लेकिन कुछ संदर्भ यहां उपयोगी हो सकते हैं: प्रेरण के गैर-व्युत्पन्नता पर गेवर्स का पेपर और पैरामीट्रिकिटी से (कुछ) इंडक्शन मिलने पर नीक के और डेरेक ड्रेयर का पेपर । मैं एक ऐसे कागज के बारे में नहीं जानता जो रिश्ते को पूरी तरह से परखता है।

— कोडी

मैं इस क्षेत्र में संदर्भों पर बहुत मजबूत नहीं हूँ, धन्यवाद @cody!

— बाउर