उलटे एकरमैन के साथ मज़ा

एल्गोरिदम का विश्लेषण करते समय उलटा एकरमैन फ़ंक्शन अक्सर होता है। इसकी एक शानदार प्रस्तुति यहाँ है: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann । और [संकेतन: [x] का अर्थ है कि हम x को निकटतम पूर्णांक तक गोल करते हैं, जबकि लॉग Function यहाँ चर्चा की गई पुनरावृत्त लॉग फ़ंक्शन है: http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = मिनट {क : α_{क} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

मेरा प्रश्न है: फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से । पर कोई कितना तंग कर सकता है ? है ?

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

मुझे पता है कि , लेकिन क्या आप बता सकते हैं कि क्यों है?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— जप्पल

ठीक है, निर्विवाद संपादित किया गया ।

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— दाना मोशकोविट्ज़

@DanaMoshkovitz: मैंने एकरमन पदानुक्रम का उपयोग करके परिभाषाएँ बताई हैं जिनसे मैं परिचित हूं: और । कार्यों की एक सामान्य परिभाषा के साथ, । इसलिए यदि तो , अर्थात, । (मुझे आशा है कि मैंने वहाँ कोई गलती नहीं की है।)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— सिल्वेन

@DanaMoshkovitz: स्पष्ट करने के लिए, मैं और का उपयोग कर रहा हूं , जो आपकी परिभाषा से थोड़ा तेज बढ़ता है, जैसे: के बजाय । इसका बहुत परिणाम नहीं होना चाहिए, हालांकि: और बहुत समान हैं।

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— सिल्वेन

@DanaMoshkovitz: मैं नहीं देखता कि Alpha क्यों है । के असीम रूप से कई मानों के लिए आपके पास , अर्थात जब भी ; क्योंकि तेजी से बढ़ता है, आपके पास ऐसे लंबे और लंबे अनुक्रम होते हैं। आपकी परिभाषाओं के साथ यह भी संभव है कि : इसलिए लेकिन ।

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— सिल्वेन

जवाबों:

चलो का उल्टा हो । । मेरा दावा है कि । $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

चूँकि , और चूंकि , । परिणामस्वरूप । $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

अब के मूल्य पर विचार करें । की परिभाषा के अनुसार , यह है । हम जानते हैं कि , so । मैं दावा करता हूं कि । । अब , इसलिए । चूँकि , , so । इस प्रकार, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ ।

तो, हमारे पास , इसलिए और अनिवार्य रूप से बराबर हैं। $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
स्रोत

और मुझे जोड़ने दें कि ये सभी कार्य संख्या 4 लिखने के अलग-अलग जटिल तरीके हैं।

— सरियल हर-पेलेड

यह गलत है; टिप्पणियों को देखें।

इस के बहुत करीब एक फ़ंक्शन को " " कहा जाता था और इसका इस्तेमाल पेटी के "सिप्ले ट्री, डेवेनपोर्ट-सिनचेज़ल सीक्वेंस, और डेक् कॉनक्वेचर " में किया जाता था, जिसमें उन्होंने दिखाया कि " डेप्लिएंट ऑपरेशंस " इन स्पलैक ट्री] केवल समय, जहां व्युत्क्रम-एकरमैन फ़ंक्शन मैपिंग के अनुप्रयोगों की न्यूनतम संख्या एक स्थिरांक है। " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

यह फ़ंक्शन बहुत धीमी गति से बढ़ रहा है, और धीमी गति से से बढ़ रहा है । फ़ंक्शन पर विचार करें $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

यह फ़ंक्शन रूप में तेजी से बढ़ रहा है , इसलिए तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ रहा है । अब मैं पर और मूल्यांकन करूंगा : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~चूँकि , तुलना में बहुत तेजी से बढ़ रहा है । $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
स्रोत

अल्फा ^ * और k (n) के बीच क्या संबंध है? (ध्यान दें कि कश्मीर की परिभाषा में (n) मैं नोटेशन का उपयोग करता हूं Alpha_k (n) उस लिंक में परिभाषित किया गया है जो मेरे पास था)

— दाना मोशकोविट्ज़

ओह, मुझे क्षमा करें, मैंने आपके रूप में पढ़ा !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— जप्पल