क्या चेगर स्थिर

Question

मैंने बेशुमार लेखों में पढ़ा है कि एक ग्राफ़ के Cheeger स्थिरांक का निर्धारण $\mathsf{NP}$ -hard है। यह एक लोक प्रमेय प्रतीत होता है, लेकिन मुझे इस कथन के लिए कभी कोई उद्धरण या प्रमाण नहीं मिला। मुझे इसका श्रेय किसको देना चाहिए? एक पुराने पेपर में (ग्राफ के Isoperimetric नंबर, जे। कंबोडिया। थ्योरी बी, 1989) मोहर केवल इस जोर को "कई किनारों के साथ रेखांकन के लिए" साबित करता है।

Answer 1

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$)। मैं थोड़ी देर के लिए यह पता नहीं लगा सका कि वे किस बात का हवाला दे रहे हैं क्योंकि संदर्भित कागज में बढ़त के विस्तार का कोई उल्लेख नहीं है। मैंने इस बारे में एवी विगडरसन के साथ संवाद किया। अंत में यह ट्रांसपेर हुआ कि कोई मैक्स-कट की कठोरता का उपयोग कर सकता है जैसा कि गैरी एट अल पेपर में दिखाया गया है कि अपेक्षाकृत आसानी से दिखाया जा सकता है कि किनारे-विस्तार कठिन है। मैं अब विवरण भूल गया हूं लेकिन इसे फिर से बनाना मुश्किल नहीं होना चाहिए। यह जाँचने की कठोरता पर ब्लम एटल का पेपर कि क्या एक ग्राफ सुपरकेंटरसेंटर है, सीधे किनारे विस्तार की कठोरता का संकेत नहीं देता है। वे तकनीकी रूप से एक ही समस्या नहीं हैं।

Comments

मेरा पेपर जो एज एक्सपेंशन हार्डनेस का उपयोग करता है, वह onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract के नीचे एक है । हम बढ़त विस्तार की कठोरता के लिए लेटन-राव पेपर और गैरी, जॉनसन, स्टॉकमेयर का उल्लेख करते हैं।

— चंद्रा चकुरी

धन्यवाद! तो तकनीकी रूप से चेगर स्थिरांक को निर्धारित करने की कठोरता बोलना साहित्य में अप्रमाणित है?

— डेलियो एम।

@DelioM। मोहम्मद के जवाबों में से एक में कैबेल संदर्भ का एक पूर्ण प्रमाण है। यह सिर्फ गैरी-जॉनसन-स्टॉकमेयेर के अनवीटेड मैक्स कट से लेकर मिनिमल बाइसेक्शन तक की कमी है, इस बात का एक छोटा सा प्रमाण है कि कम कटौती के कारण उत्पन्न रेखांकन में बाइसेक्शन होता है।

— साशो निकोलोव

हालाँकि, मुझे स्वीकार करना चाहिए कि मैं हार गया हूँ। मैंने हमेशा सोचा था कि अधिकतम-कटौती एक ग्राफ "कितने द्विपद" के रूप में चिह्नित करने के मुद्दे से संबंधित है। यह कैसे एक ग्राफ "कैसे जुड़ा" खोजने में मदद कर सकता है? समान रूप से, सिग्नललेस लाप्लासियन के दूसरे सबसे कम प्रतिजन को लैपेलियन के दूसरे सबसे कम प्रतिजन को कैसे बांधा जा सकता है? यह एक कम बाध्य पकड़ स्पष्ट है, लेकिन एक ऊपरी बाध्य है?

— डेलियो एम।

@DelioM। अधिकतम कट को पहले बिसात जोड़कर और परिणामस्वरूप ग्राफ के पूरक को घटाकर मैक्स बिसन में कम किया जाता है । तो यह कमी संबंधित है कि एक ग्राफ के कितने करीब है कि एक और ग्राफ कैसे जुड़ा है (पहले के पूरक से संबंधित)। $n$

— साशो निकोलेव

Answer 2

अधिकतम कटौती (या प्रमेय 2 देखें) से तकनीकी रिपोर्ट में काइबेल द्वारा कॉइगर निरंतर (या बढ़त विस्तार) की गणना के -हार्डनेस का वास्तविक प्रमाण दिया गया था । इसका प्रमाण गैरी , जॉनसन, और स्टॉकमेयर द्वारा कुछ सरल एनपी-पूर्ण ग्राफ़ समस्याओं में दी गई समान समस्या के भार के प्रमाण का विस्तार है ।$NP$$NP$

वी। काइबेल: 0/1-पॉलीटॉप्स के रेखांकन के विस्तार पर। तकनीकी रिपोर्ट arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : नीचे दिए गए तर्क गलत है , जैसा कि चकुरी ने बताया है, और शैक्षिक उद्देश्य के लिए छोड़ दिया है।

यह एक संदर्भ नहीं है जैसा आपने अनुरोध किया था लेकिन यह कठोरता परिणाम के लोककथाओं की स्थिति की व्याख्या करता है।

यहाँ यह तय करने का CoNP- पूर्णता का एक प्रमाणिक विचार है कि क्या एक कनेक्टेड क्यूब ग्राफ एज-एक्सपेंडर है और इसलिए Cheeger constant का निर्धारण करना CoNP-hard है।$h(G)$

न्यूनतम द्विभाजन समस्या है -Complete$NP$ जुड़े घन रेखांकन के लिए। यहां हम यह तय करना चाहते हैं कि क्या पूर्णांक साथ एक ग्राफ को दो समान आकार के भागों में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि कट किनारों की संख्या से कम है ।$G$$k$$k$

ध्यान दें कि इस समस्या का पूरक यह तय करने के बराबर है कि ग्राफ विस्तारक है या नहीं ( प्रत्येक संतुलित विभाजन में किनारों को से अधिक काट दिया गया है )।$G$$V$$k$

इस सेमिनार में पी एस अरोड़ा कहा गया है कि यह पहचान करने के लिए हार्ड -expander ग्राफ (किनारे विस्तार)। http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx$CoNP$$\alpha$

Comments

यह प्रमाण या तो काम नहीं करता है, क्योंकि मिनट के आकार का आकार अपने आप में बढ़त के विस्तार के बारे में कुछ नहीं कहता है। उदाहरण के लिए, कोने पर डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ में न्यूनतम द्विभाजन । $2n$$(n-2)^2$

— साशो निकोलेव

ग्राफ जुड़ा हुआ है घन ग्राफ और इस वर्ग के लिए न्यूनतम द्विभाजन समस्या एनपी-पूर्ण है। $G$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@SashoNikolov मैंने कभी किसी को डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ़ के विस्तार में दिलचस्पी नहीं देखी।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

अरोरा, अरोरा नहीं। मुझे संदेह नहीं है कि तय करना coNP कठिन है। लेकिन दो उत्तरों में आपने न तो प्रमाण के साथ संदर्भ दिया है, न ही प्रमाण के साथ। डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ़ केवल आपको यह दिखाने के लिए हैं कि आपके तर्क फर्जी हैं। आपका "फिक्स" या तो काम नहीं करता है। मैं आपको आसानी से बड़े न्यूनतम द्वि घातुमान के साथ एक जुड़ा हुआ घन ग्राफ दिखा सकता हूं और चीगर निरंतर मनमाने ढंग से शून्य के करीब हूं। दो समस्याएं संबंधित हैं, लेकिन आपके द्वारा सुझाए जा रहे तुच्छ तरीके से नहीं । $h(G) \geq \alpha$

— शाशो निकोलेव

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: दो जुड़े हुए ब्रिजलेस क्यूब ग्राफ हैं, जो विस्तारक हैं, एक 2n कोने के साथ और दूसरा n कोने के साथ और उप-विभाजन 3 किनारों के साथ प्रत्येक पक्ष पर कुछ 3 नए कोने जोड़कर उन्हें तीन किनारों से जोड़ते हैं। अब min-bisection बड़ा ( ) होने जा रहा है क्योंकि आपको बड़े विस्तारक का एक अच्छा हिस्सा काट देना होगा लेकिन विस्तार छोटा है क्योंकि आप केवल 3 किनारों को काटकर दो विस्तारकों को विभाजित कर सकते हैं। $\Omega(n)$

— चंद्रा चकुरी