बड़ी खुली जटिलता अंतराल के साथ समस्याएं

Question

यह सवाल उन समस्याओं के बारे में है जिनके लिए ज्ञात निचली बाउंड और अपर बाउंड के बीच एक बड़ा खुला जटिलता अंतराल है, लेकिन खुद जटिलता कक्षाओं पर खुली समस्याओं के कारण नहीं।

अधिक सटीक होना, चलो एक समस्या है का कहना है कि खाई कक्षाएं (के साथ एक ⊆ बी , विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं) करता है, तो एक एक अधिक से अधिक वर्ग जिसके लिए हम साबित कर सकते हैं यह है एक -हार्ड, और बी एक न्यूनतम में जाना जाता ऊपरी बाध्य है , यानी हमारे पास समस्या को हल करने में बी में एक एल्गोरिथ्म है। इस का मतलब है कि अगर हम समस्या यह है कि यह जानने खत्म सी -Complete साथ एक ⊆ सी ⊆ बी , सामान्य रूप में, यह प्रभाव जटिलता नहीं सिद्धांत होगा के रूप में एक पाने के लिए विरोध के रूप में पी एक के लिए एल्गोरिथ्म एन पी -Complete समस्या।$A,B$$A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

मैं के साथ समस्याओं में दिलचस्पी नहीं है और बी = एन पी , क्योंकि यह पहले से ही की वस्तु है इस सवाल का ।$A\subseteq P$$B=NP$

मैं गैप वर्गों के साथ समस्याओं के उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं जो यथासंभव दूर हैं। गुंजाइश और सटीक प्रश्न सीमित करने के लिए, मैं विशेष रूप से के साथ समस्याओं में दिलचस्पी है और बी ⊇ ई एक्स पी टी मैं एम ई , में दोनों सदस्यता अर्थ पी और -completeness, वर्तमान ज्ञान के साथ सुसंगत हैं जाना जाता कक्षाएं पतन बनाने के बिना ( इस सूची में से कक्षाएं कहिए )।$A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Comments

किसी समस्या के वर्गों से आपका क्या तात्पर्य है? मान लें कि समस्या SAT है, आप कक्षाओं को कैसे परिभाषित करते हैं?

— आरबी

सैट एनपी-पूर्ण है इसलिए हम ले सकते हैं और यहां कोई अंतराल नहीं है, क्योंकि एसएटी की जटिलता वास्तव में पहले से ही ज्ञात वर्ग से मेल खाती है। SAT की जटिलता पर कोई नया परिणाम दिखाना (अर्थात् छोटी कक्षा से संबंधित) जटिलता सिद्धांत में एक सफलता होगी। दी गई सवाल पूरी तरह से परिभाषित नहीं है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करता है कि किस जटिलता वर्ग को "मुख्यधारा" माना जाता है, और ए , बी को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है। विशिष्ट प्रश्न हालांकि अच्छी तरह से परिभाषित है: उन भाषाओं के उदाहरण जिनके लिए यह वर्तमान ज्ञान के साथ सुसंगत है कि वे पी या अतिरिक्त-पूर्ण हैं। $A=B=NP$$A,B$

— डेनिस

वास्तव में "गैर-ढहने" के कारण अभी भी पूरी तरह से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए यह "प्रसिद्ध वर्ग" की धारणा पर निर्भर करता है। स्पष्ट रूप से एक PSPACE- पूर्ण समस्या आवश्यकता के अनुरूप नहीं है, हालांकि P या EXPTIME-complete में होना वर्तमान ज्ञान के साथ सुसंगत है। उदाहरण के लिए इस सूची का उपयोग "प्रसिद्ध" वर्ग के लिए संदर्भ के रूप में किया जा सकता है: en.wikipedia.org/wiki/List_of_complexity_classes

— Denis

यह आपके विशिष्ट प्रश्न के बिल में बिल्कुल फिट नहीं है, लेकिन सभी दिखावे के लिए वास्तविक रूप से अस्तित्व के सिद्धांत को सख्ती से एनपी-हार्ड और PSPACE (जेएफ कैनी के 1988 के बाद के परिणाम के बाद) के भीतर किसी भी आगे के वर्गीकरण का समर्थन करता है। en.wikipedia.org/wiki/Existential_theory_of_the_reals

— anemone

Answer 1

द नॉट इक्वेलेंस प्रॉब्लम ।

विमान में खींची गई दो गांठों को देखते हुए, क्या वे स्थैतिक रूप से समान हैं? इस समस्या को निर्णायक रूप से जाना जाता है, और इसके P में होने के लिए कोई संगणकीय जटिलता अवरोध प्रतीत नहीं होता है। वर्तमान में अपने समय की जटिलता पर ज्ञात सबसे अच्छी ऊपरी सीमा ऊँचाई c n के s का एक टॉवर लगती है , जहाँ c = 10 10 6 , और n गाँठ चित्र में क्रॉसिंग की संख्या है। यह कायर और लेकेन्बी द्वारा एक सीमा से आता है रिडेमिस्टर की संख्या पर एक गाँठ को एक बराबर एक तक ले जाने के लिए आवश्यक है। लेकेन्बी का और हालिया पेपर देखें$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ कुछ और हालिया संबंधित परिणामों के लिए और बाध्यता के स्पष्ट रूप के लिए मैं ऊपर देता हूं (पृष्ठ 16)।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। क्या आप वर्तमान सीमा को जानते हैं? क्या आप कला की वर्तमान स्थिति बताते हुए एक संदर्भ की ओर इशारा कर सकते हैं? मुझे एक स्पष्ट खोजने में परेशानी हो रही है।

— डेनिस

मैं यहाँ Hass, Lagarias, और Pippenger के 1998 के पेपर की तुलना में हाल ही में कुछ खोजने की कोशिश कर रहा हूँ । यह बताता है कि गाँठ के समतुल्यता की समस्या को निर्णायक माना जाता है। मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर किसी ने दिखाया था कि यह तब से EXPTIME में था, लेकिन मैं इससे बेहतर कुछ भी नहीं जानता जो ज्ञात है, और यह निश्चित रूप से स्पष्ट नहीं है कि यह पी में नहीं है। मुझे पूरा यकीन है कि कोई भी नहीं परिणाम दिखा रहा है कि यह तय करना कि क्या कुछ लिखा है, एनपी में इस अधिक सामान्य समस्या का विस्तार है।

— पीटर शोर

यह एमओ प्रश्न संबंधित है: mathoverflow.net/questions/77786/… विशेष रूप से, हाल के परिणामों का उपयोग करते हुए Lackenby द्वारा लोगों में ..ms.s.ox.ac.uk / lackenby / ekt11214.pdf , जो किसी भी गाँठ प्रकार K के लिए प्राप्त करता है। यह निर्धारित करना कि किसी दिए गए गाँठ K के बराबर है NP में (ध्यान दें कि यह गाँठ समतुल्यता समस्या में सुधार नहीं करता है)

— अरनौद

@Arnaud: वास्तव में, यह मेरे लिए इन परिणामों की तरह दो चित्र के लिए साबित होता है कि के साथ सबसे अधिक n क्रॉसिंग पर, गाँठ तुल्यता समस्या समय में अधिक से अधिक ऊंचाई के 2 के एक टावर हल किया जा सकता लग रहा है , जहां सी एक विशाल स्थिर है । मुझे इसकी जाँच करनी चाहिए और अपना उत्तर संपादित करना चाहिए। $c^n$$c$

— पीटर शोर

@PeterShor हाँ वास्तव में। मैं अधिक हाल के परिणाम पर ध्यान केंद्रित कर रहा था क्योंकि यह प्रकाशित होने पर एक बेहतर बाध्य हो सकता है, अगर वास्तविक बहुपद का पता लगाया जाता है।

— अरनौद

Answer 2

यहां न्यूनतम सर्किट आकार की समस्या (MCSP) का एक संस्करण दिया गया है: बूलियन फ़ंक्शन की बिट सत्य तालिका दी गई है , क्या इसका आकार अधिकतम 2 n / 2 है ?$2^n$$2^{n/2}$

ज्ञात नहीं । एन पी में निहित । आमतौर पर यह माना जा करने के लिए एन पी -हार्ड, लेकिन यह खुला है। मेरा मानना ​​है कि यह A C 0 [ 2 ] -हार्ड भी नहीं है। दरअसल, कोडी मरे (CCC'15 में प्रदर्शित होने के लिए) के साथ हालिया काम से पता चलता है कि समानता से MCSP तक कोई समान NC0 कमी नहीं है।$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

Answer 3

एक अपरिमेय बीजीय संख्या का एक सा (बाइनरी में निर्दिष्ट) कंप्यूटिंग (जैसे की जटिलता ) सबसे अच्छा ऊपरी के लिए बाध्य में जाना जाता है पी पी पी पी पी पी पी समस्या के लिए एक कमी के माध्यम से बी मैं टी एस एल पी जो इस ऊपरी बाध्य के लिए जाना जाता[ABD14]। दूसरी ओर हम यह भी नहीं जानते हैं कि क्या यह समस्याnबिट्सकी समता की गणना करने की तुलना में कठिन है- हम सभी जानते हैं कि यह समस्याA C 0 में हो सकती है। ध्यान दें कि हम जानते हैं कि कोई परिमितऑटोमेटोनएक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या के बिट्स की गणना नहीं कर सकता है[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Answer 4

पीटर शोर के जवाब की भावना के समान एक और प्राकृतिक सामयिक समस्या, आर 3 में 2-आयामी अमूर्त सरलीकृत परिसरों की अंतर्निहितता है$\mathbb{R}^3$ । सामान्य तौर पर यह पूछना स्वाभाविक है कि हम कब प्रभावी ढंग से / कुशलता से यह तय कर सकते हैं कि एक सार -dimensional सरल जटिल $k$ में एम्बेड किया जा सकता है । के लिए कश्मीर = 1 और डी = 2 यह है ग्राफ planarity समस्या और एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म है। के लिए कश्मीर = 2 और घ = 2 वहाँ भी एक है रैखिक समय एल्गोरिथ्म । $\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ , d = 3 मामला पिछले साल तक खुला था, जब इसेMatousek, Sedgwick, Tancer, और Wagner द्वारा दिखायागया था। वे कहते हैं कि उनके एल्गोरिथ्म में एकआदिम पुनरावर्तीसमय बाध्य है, लेकिनघातांक के एक टॉवर से बड़ा है। दूसरी ओर वे अनुमान लगाते हैं कि समस्या को एनपी में रखना संभव हो सकता है, लेकिन इससे आगे जाना चुनौतीपूर्ण होगा। हालाँकि, ऐसा कोई पुख्ता सबूत नहीं है कि कोई पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म असंभव हो।$k=2$$d=3$

बाद के पेपर में आगे पढ़ने के लिए कई संदर्भ हैं।

Answer 5

मल्टीकाउंटर ऑटोमेटा (MCAs) काउंटर के साथ सुसज्जित परिमित ऑटोमेटा है जिसे एक चरण के भीतर बढ़ाया और घटाया जा सकता है लेकिन संख्याओं के रूप में केवल पूर्णांक = = 0 ही लेते हैं। मिन्स्की मशीनों (उर्फ काउंटर ऑटोमेटा) के विपरीत, एमसीए को यह परीक्षण करने की अनुमति नहीं है कि क्या एक काउंटर शून्य है।

MSCs से संबंधित एक बड़ी खाई के साथ एल्गोरिथम समस्याओं में से एक है, रीबैचबिलिटी समस्या। उदाहरण के लिए, क्या ऑटोमेटन प्रारंभिक राज्य और सभी काउंटरों के साथ एक कॉन्फ़िगरेशन से पहुंच सकता है, एक स्वीकार राज्य के साथ एक कॉन्फ़िगरेशन, और सभी काउंटर फिर से शून्य।

समस्या कठिन है (जैसा कि 1976 में रिचर्ड लिप्टन द्वारा दिखाया गया है), डेसीडेबल (अर्नस्ट मेयर, 1981) और Fω3 में सॉल्वेबल (धन्यवाद, सिल्वेन, इसे इंगित करने के लिए)। एक बड़ा अंतर।

Comments

हाय थॉमस, हाल ही के एक arxiv पेपर में एक स्पष्ट (और सबसे अधिक संभावना नहीं तंग) जटिलता ऊपरी का दावा है: arxiv.org/abs/1503.00745 । ऊपरी में बंधे प्रस्तावित जटिलता वर्गों मूल पोस्टर में रुचि थी परे रास्ता तथापि है।$\mathbf{F}_{\omega^3}$

— सिल्वेन

@ सिल्वेन कूल! इसे साझा करने के लिए धन्यवाद। :)

— माइकल वीहर

@Sylvain सबसे अच्छा ज्ञात निम्न बाध्य है?

— माइकल वीहर

@ मिचेल: निर्णय समस्या पर सबसे अच्छा निचली सीमा वास्तव में EXPSPACE (लिपटन, 1976, cpsc.yale.edu/sites/default/files/files/tr63.pdf ) है। हालाँकि, एल्गोरिथ्म by Mayr (1981, dx.doi.org/10.1145/800076.802477 ) , कोसरजू (1982, dx.doi.org/10.1145/800070.802201 ), और लैंबर्ट (1992, dx.doi.org/10.1016/0304-304 3975 (92) 90173-डी ) में वर्णित एक्सएक्सवी पेपर का विश्लेषण करने के लिए कम से कम एकरमैनियन (यानी, ) समय की आवश्यकता होती है । $\mathbf{F}_\omega$

— सिल्वेन

@Sylvain Thank you very much for all of the additional information. I really appreciate it. :)

— Michael Wehar

Answer 6

$\mathsf{QMA}(2)$ (Quantum Merlin-Arthur with two unentangled provers): certainly $\mathsf{QMA}$-hard, but only known to be in $\mathsf{NEXP}$.

Answer 7

The computational problem associated to Noether's Normalization Lemma for explicit varieties ("explicit" in the sense of this paper [freely available full version]). Best known upper bound is $\mathsf{EXPSPACE}$ (note, SPACE, not TIME!) but it is conjectured to be in $\mathsf{P}$ (and indeed, its being in $\mathsf{P}$ is essentially equivalent to derandomizing PIT).

Comments

Can you provide more info on this in an explicit form? looks like some kind of bpp-complete problem?

@Arul: Neither PIT nor this problem is BPP-complete in any sense that I am aware of. (In fact, showing that BPP-complete problems exist is still open, and requires non-relativizing techniques - a result going back to Sipser.) However, derandomizing either has a hardness-randomness trade-off, in that their derandomization is essentially equivalent to lower bounds. Aside from the paper linked in the answer ("GCT 5"), lookup hardness-randomness and Kabanets-Impagliazzo.

— Joshua Grochow

I will do that but I was interested in this phrase 'and indeed, its being in P is essentially equivalent to derandomizing PIT' which seems to say PIT is some kind of proxy complete problem

@Arul: Yes, to see why PIT is such a "proxy complete problem," see the things I referred to in my previous comment.

— Joshua Grochow

why does he use 'Dedicated to Sri Ramakrishna' in many of his works?

Answer 8

The Skolem problem (given a linear recurrence with integer base cases and integer coefficients, does it ever reach the value 0) is known to be NP-hard and not known to be decidable. As far as I know anything in between would be consistent with our current knowledge without any collapses of standard complexity classes.