दो CNF समाधानों की समान संख्या की जाँच करने की जटिलता

दो CNF को देखते हुए, यदि उनके पास उन्हें सच करने के लिए समान संख्या में असाइनमेंट हैं, तो "हां" का उत्तर दें, अन्यथा "नहीं" का उत्तर दें।

यह देखना आसान है कि यह , क्योंकि अगर हम इन दो सीएनएफ के समाधानों की सही संख्या जानते हैं, तो हम उन्हें केवल प्रचार करते हैं और "हां" या "नहीं" का जवाब देते हैं। $P^{\#P}$

इस समस्या की जटिलता क्या है?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— माइक चेन
स्रोत

जवाबों:

समस्या coNP -hard है ; आप इस समस्या के लिए UNSAT समस्या को आसानी से कम कर सकते हैं।

एक अधिक सटीक लक्षण वर्णन यह है कि समस्या C ₌ P -complete है। वास्तव में, वर्ग C ₌ P की एक परिभाषा यह है कि यह उन समस्याओं का वर्ग है जो बहुपत्नी-समय कई हैं-एक यह बहुत ही समस्या का निवारण है (आमतौर पर यह परिभाषा GapP फ़ंक्शन के संदर्भ में बताई गई है)। लेकिन चूंकि यह ज्यादा नहीं बताता है, इसलिए मुझे इस वर्ग को दूसरे तरीके से परिभाषित करने दें।

C ₌ P उन समस्याओं का वर्ग हो सकता है जो बहुपद-समय कई-एक रिड्यूसबल हैं निम्नलिखित समस्या के लिए: एक बूलियन सर्किट ean और एक पूर्णांक K (बाइनरी में) दिया गया, यह तय करें कि क्या φ के संतोषजनक असाइनमेंट की संख्या K के बराबर है । एक मानक कमी जो # 3SAT की # पी पूर्णता से पता चलता करके, हम सीमित कर सकते हैं φ वर्ग को प्रभावित किए बिना एक 3CNF सूत्र किया जाना है। वर्ग C ₌ P में US नामक एक वर्ग होता है , जिसमें UP और coNP दोनों होते हैं ।

इस परिभाषा के साथ, आपकी समस्या C ₌ P- पूर्ण है। दरअसल, सी ₌ पी-कठोरता को कक्षा सी ₌ पी की परिभाषा से देखना आसान है (जो 3 सीएनएफ फॉर्मूलों का उपयोग करता है)।

सी में सदस्यता साबित करने के लिए ₌ पी, मान लीजिए कि हम दिए गए दो CNF सूत्रों तय करने के लिए कर रहे हैं φ ₁ और φ ₂ कार्य या नहीं को संतुष्ट करने का एक ही नंबर है। सामान्यता के नुकसान के बिना हम यह मान सकते हैं कि दो सूत्रों के चर समान संख्या में हैं, एन कहते हैं । एक बूलियन सर्किट का निर्माण φ जो लेता है n इनपुट के रूप में +1 बिट्स ताकि के कार्य संतोषजनक की संख्या φ के बराबर है ग ₁ + (2 ⁿ - सी ₂ ), जहां सी ₁ और सी ₂के कार्य को संतुष्ट करने का नंबर हो φ ₁ और φ ₂ क्रमशः। तब φ के संतोषजनक कार्य की संख्या 2 ^{n के} बराबर है यदि और केवल अगर c ₁ = c ₂ ।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

@Kaveh: क्या आप विस्तृत कर सकते हैं?

— त्सुयोशी इतो

@ केव: नहीं, वह नहीं है जो हम चाहते हैं। हम यह तय करना चाहते हैं कि क्या φ_1 और to_2 में संतोषजनक असाइनमेंट की समान संख्या है, जरूरी नहीं कि समान असाइनमेंट्स ही हों।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी:

की आपकी परिभाषा के आधार पर जीआई

? मुझे लगता है कि कम से कम सैनिक

।

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— माइक चेन

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

$O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

$M$ $\varphi$ $\varphi$

$M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

$M^O$

— एमएस डौस्ती
स्रोत

मेरी अज्ञानता को क्षमा करें, लेकिन आप पूर्व-निर्दिष्ट संख्या के समाधान के साथ एक सूत्र कैसे उत्पन्न करते हैं?

— जियोर्जियो कैमरानी

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

ध्यान दें कि यह तय करना पीपी-पूर्ण है कि क्या दो CNF फॉर्मूले f_1 और f_2 दिए गए हैं, f_1 में f_2 की तुलना में अधिक संतोषजनक असाइनमेंट हैं या नहीं।

— त्सुयोशी इतो

@ मिकेरो: आह, मुझे बेवकूफ! मुझे इसकी कल्पना करनी चाहिए थी। आपके रोशन स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— जियोर्जियो कैमरानी

ऐसा लगता है कि यह कम से कम एनपी-कठिन है क्योंकि एक आसानी से सिर्फ एक समाधान के साथ एक एसएटी सूत्र का निर्माण कर सकता है। फिर वैलिएंट-वज़िरानी प्रमेय द्वारा, हर सैट फॉर्मूला से यूनीक-सैट समस्याओं के एक सेट में एक संभाव्य कमी है (यह निर्धारित करते हुए कि क्या फॉर्मूला का कोई यूनिक सॉल्यूशन है) और उन यूनीक-सैट की समस्याओं की तुलना सैट के फॉर्मूले से सिर्फ एक समाधान से की जाए आपको विचार के तहत SAT सूत्र की संतोषजनकता निर्धारित करने में सक्षम बनाता है।

— चुनना
स्रोत

सटीक होने के लिए, पहले वाक्य में "रैंडमाइज्ड रिड्यूसबिलिटी के तहत" का उल्लेख होना चाहिए (हालाँकि आप इसका उल्लेख दूसरे वाक्य में करते हैं)।

— त्सुयोशी इतो