सिद्धांतों की कोलमोगोरोव जटिलता की तुलना करना

Question

चैतीन की अपूर्णता प्रमेय कहती है कि अंकगणित का कोई पर्याप्त रूप से मजबूत सिद्धांत सिद्ध कर सकता है, जहाँ K ( s ) स्ट्रिंग s की Kolmogorov जटिलता है और L एक पर्याप्त रूप से बड़ा स्थिरांक है। एल है पर्याप्त रूप से बड़े अगर यह एक सबूत चेकिंग मशीन (पीसीएम) के टुकड़े में आकार से बड़ा है। सिद्धांत के लिए एक पीसीएम टी इनपुट के रूप में एक पूर्णांक के रूप में एन्कोडेड एक स्ट्रिंग लेता है और 1 को आउटपुट करता है यदि स्ट्रिंग टी की भाषा में एक वैध प्रमाण है ।$K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

मान लें कि सिद्धांत के लिए टी एक ऊपरी की जटिलता के लिए बाध्य है टी । सिद्धांतों के निम्नलिखित पदानुक्रम पर विचार करें: आधार सिद्धांत को रॉबिन्सन अंकगणित ( Q ) होने दें। बहुपद सीमाबद्ध प्रेरण के तेजी से मजबूत स्वयंसिद्धों के साथ ऑगमेंट क्यू । चलो क्यू * साथ प्रमेयों साध्य के सिद्धांत होना क्यू और इन घिरे प्रेरण सूक्तियों के किसी भी। मान लें कि हम परिभाषित कर सकते हैं एल ( क्यू ) और एल ( क्यू $L(T) > |PCM_T|$$T$$T$$Q$$Q$$Q^*$$Q$$L(Q)$ प्रत्येक सिद्धांत के लिए पीसीएम को परिभाषित करके।$L({Q^*})$

मैं लिए एक बढ़ी हुई प्रूफ जाँच मशीन (EPCM) पर विचार करना चाहता हूँ । यह EPCM सिर्फ एक ईसीएम की तरह इनपुट के रूप में एक स्ट्रिंग लेता है और एक दूसरे इनपुट जो पद और की एक उप-सिद्धांत के स्तर को परिभाषित है क्यू * । इनपुट स्ट्रिंग में मान्य प्रमाण है क्यू * EPCM तो सर्वोच्च पद और प्रेरण के स्तर का इस्तेमाल किया निर्धारित करने के लिए सबूत के चरणों के माध्यम से चला जाता है। यह EPCM तब 1 लिखता है यदि इनपुट वाक्य Q ∗ के निर्दिष्ट उप-सिद्धांत में एक वैध प्रमाण है ।$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

क्या बढ़ाया प्रूफ चेकर मैं संभव है? यदि हां, तो इस EPCM के आकार होगा एक ऊपरी बस की जटिलता के लिए नहीं बाध्य , लेकिन यह भी एक ऊपरी के किसी भी उप-सिद्धांत की जटिलता पर बाध्य क्यू * ?$Q^*$$Q^*$

क्या यह कहना उचित है कि और उसके सभी उप-सिद्धांतों की जटिलता पर एक निरंतर ऊपरी सीमा है ?$Q^*$

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यह प्रश्न नेल्सन द्वारा अंकगणित की असंगति के असफल प्रमाण से प्रेरित था। मैंने पहले इस बात की ओर ध्यान नहीं दिया क्योंकि कुछ लोगों को लगता है कि प्रमाण में गड़बड़ी है। मेरी प्रेरणा एक दिलचस्प सवाल पूछना है। CSTheory इस प्रश्न के लिए सही मंच है। की जटिलता और इसके सभी उप-सिद्धांत या तो एक निरंतर या अनबाउंड से बंधे हैं। या तो उत्तर अधिक प्रश्नों की ओर ले जाता है।$Q^*$

उप-सिद्धांतों की जटिलता असीम है कि हम क्या सबसे कमजोर उप सिद्धांत है जैसे सवाल पूछ सकते हैं तुलना में अधिक जटिल क्यू * ? या पीए और जेडएफसी की तुलना में अधिक जटिल है? इस सवाल के बारे में सोचने से मुझे पहले से ही पता चल गया है कि इस बात की गंभीर सीमा है कि स्ट्रिंग्स के कोलमोगोरोव जटिलता के बारे में एक सिद्धांत कितना साबित कर सकता है। तो क्यू * इसके उप-सिद्धांतों के अनुरूप तो कोई भी साबित कर सकते हैं है कश्मीर ( रों ) > एल ( क्यू * ) किसी भी स्ट्रिंग के लिए। इसका मतलब यह है कि वास्तव में मजबूत उप-सिद्धांत भी साबित नहीं कर सकते हैं कि कुछ बहुत कमजोर उप-सिद्धांत की तुलना में अधिक जटिल तार हैं जहां कमजोर सिद्धांत क्यू से अधिक जटिल है$Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ ।$Q^*$

Comments

जहां तक ​​यह सही है, यह सही है, लेकिन निश्चित रूप से अतिरिक्त इनपुट ( , कहते हैं) इंडक्शन स्कीमा पर प्रतिबंध की जांच करने के लिए आवश्यक नहीं है, इसलिए यह जटिल है, इसलिए यह सुझाव देना कुछ भ्रामक है कि आपने इन जटिलताओं को समान रूप से बांधा है । $n$

$log(n)$$n \le L$$L > c+log(L)$

आपका अंकन कुछ हद तक अशांत है कि अंकगणित की विसंगति को साबित करने के इस गलत प्रयास की याद दिलाता है । क्या आप अपनी प्रेरणाओं को स्पष्ट कर सकते हैं?

— कोड़ी

हाय रसेल। यह मुझे बहुत दिलचस्प लगता है। यदि आप कभी चैट करना चाहते हैं, तो कृपया मुझे बताएं। आपका दिन शुभ हो! :)

— माइकल वीहर

हां, इस तरह के टीएम का उपयोग किसी सिद्धांत की जटिलता को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। मैं पूछ रहा हूं कि क्या इस टीएम के आकार में कोई सीमा है जब हमारे पास कई सिद्धांत हैं।

— रसेल ईस्टर

Answer 1

मैं कोशिश करूँगा और इस प्रश्न का उत्तर दूंगा, और सवाल के सटीक रूप के रूप में कुछ भ्रम को दूर करने का प्रयास करूँगा।

$L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$। तर्क बहुत सरल है: अगर वहां मौजूद ऐसा है कि तो परिकल्पना द्वारा।$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

बहरहाल, यह केवल सच है अगर है पूर्ण Chaitin निरंतर। विशेष रूप से, यदि साबित होता है , तो $L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

चैतीन के तर्क को आंतरिक करके। हालांकि , एक ठोस जिसके लिए$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

सामान्य रूप से बराबर नहीं होगा$L(T)$ । विशेष रूप से यह आम तौर पर के लिए आनुपातिक बहुत बड़ा हो सकता है, के सबूत के आकार में$\mathrm{Con}(T)$$T'$ । इसे प्रमेय के प्रमाण में आसानी से देखा जा सकता है, जो कि की संगति पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है ।$T$

अतः बाउंड इंडक्शन के साथ सिस्टम की स्थिरता साबित कर सकता है, इन साक्ष्यों की लंबाई लंबी हो जाती है जो आपको के करीब मिलता है । अभिव्यक्ति में एक तरीका (अपूर्णता प्रमेयों को समझने का एक तरीका यह है कि आपके द्वारा तक पहुंचने पर लंबाई अनंत हो जाती है। , इस प्रकार इसका कोई परिमित प्रमाण नहीं है ही)। इस प्रकार एक ही पर विभिन्न ऊपरी सीमा पर लागू होता है आंतरिक रों प्रत्येक उप-सिद्धांत के लिए वर्णन कर सकते हैं।$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

तो यहाँ आपके प्रश्न का संक्षिप्त उत्तर है: के सभी उप- वर्गों के लिए समान रूप से बाध्य है , लेकिन स्वयं यह नहीं दिखा सकता है कि यह बाध्य ऐसे सभी उप-सिद्धांतों के लिए है। यह नेल्सन द्वारा की गई महत्वपूर्ण गलती थी (औपचारिकता की कई परतों के नीचे दफन) और ताओ ने यहां बताया ।$L(T)$$Q^*$$Q^*$

Comments

PRA साबित हो सकता है । क्या इस प्रमाण का आकार की जटिलता पर एक ऊपरी बाध्य है और यह सब उप-सिद्धांत (स्वयंसिद्ध, वाक्य, आदि के संगत एन्कोडिंग मानते हुए) है? $Con(Q^*)$$Q^*$

— रसेल ईस्टर

PRA उप-सिद्धांतों में से प्रत्येक के लिए लिए एक समान बाउंड दे सकता है । चूँकि और किसी भी उप-सिद्धांत के लिए , , और इसलिए यह दिखाना कठिन नहीं है कि लिए बाध्य (PRA के भीतर) के लिए भी काम करता है । $L$$\mathrm{PRA}\vdash \mathrm{Con}(Q^*)$$T$$Q^*$$\mathrm{PRA}\vdash\mathrm{Con}(Q^*)\rightarrow\mathrm{Con}(T)$$Q^*$$T$

— कोड़ी

तक किसी भी उप-सिद्धांत मैं निश्चित रूप से कोई भी उप-सिद्धांत है जो पीआरए में ऐसा होना सिद्ध किया जा सकता है का मतलब है। $Q^*$

— कोड़ी

हे कोड़ी, उत्तर के लिए धन्यवाद। आशा है सब ठीक है। :)

— माइकल वीहर

धन्यवाद माइक! यह एक मजेदार सवाल था। तथ्य नेल्सन ने खुद को विवरणों में उलझा दिया, यह बताता है कि रास्ते में कुछ सूक्ष्म नुकसान हुए हैं ...

— कोड़ी