तीन रंगीनता के शून्य ज्ञान प्रमाण के लिए न्यूनतम संचार लागत

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गोल्डीच एट अल। का प्रमाण है कि तीन रंगक्षमता में शून्य ज्ञान प्रमाण हैं, प्रत्येक दौर में ग्राफ के पूरे रंग के लिए बिट प्रतिबद्धता का उपयोग करता है [1]। यदि ग्राफ़ में कोने और किनारों हैं, तो एक सुरक्षित हैश में बिट्स हैं, और हम त्रुटि संभावना तलाश करते हैं, कुल संचार लागत है $n$ $e$ $b$ $p$

O (b e n \log (1 / p))

$O(ben \log(1/p))$

ओवर राउंड। धीरे-धीरे प्रकट किए गए मर्कल ट्री का उपयोग करके, कुल राउंड को लिए राउंड की संख्या बढ़ाने की लागत पर में घटाया जा सकता है । $O(1)$ $O(be \log n \log (1/p))$ $O(\log n)$

क्या कुल संचार या राउंड की संख्या के मामले में, इससे बेहतर करना संभव है?

http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/X/gmw1j.pdf

संपादित करें : के लापता कारक को इंगित करने के लिए रिकी डेमर का धन्यवाद । $e$

communication-complexity zero-knowledge

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

3

तो यहाँ मेरे उद्देश्यों के लिए सही कागज है:

जो किलियन, "कुशल शून्य-ज्ञान प्रमाण और तर्कों पर एक नोट।" http://people.csail.mit.edu/vinodv/6892-Fall2013/efficientargs.pdf

सबसे मजबूत परिणाम प्राप्त करने के लिए, हमें प्रमाणों के बजाय शून्य ज्ञान के तर्क को स्वीकार करने की आवश्यकता है (कम्प्यूटेशनल रूप से बंधे हुए प्रोवर); ये वही हैं जो मैं दिलचस्पी लेता हूं लेकिन शब्दावली नहीं जानता था।

पर्याप्त क्रिप्टोग्राफ़िक मान्यताओं को मानते हुए, कागज कुल संचार के साथ शून्य ज्ञान तर्क देता है । $O(b \log^c n \log (1/p))$ $c = O(1)$

इस परिणाम को ईशाई एट अल।, "कुशल शून्य-ज्ञान पीसीपी पर", http://www.cs.virginia.edu/~mohammad/files/papers/13%20ZPPCPs.pdf द्वारा राउंड के लिए कड़ा कर दिया गया है । $O(1)$

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

मुझे लगता है कि इस उत्तर को हटाना बेहतर है और अपने मूल को अपडेट करके सही उत्तर होना चाहिए।

— केव

2

अद्यतन : यह उत्तर मेरे अन्य उत्तर के अनुसार है, जो उपयुक्त संदर्भों से पूरी तरह से पॉलीग्लारिथमिक सीमा के साथ है।

दूसरे विचार पर, धीरे-धीरे मर्कल ट्री को प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए कम संचार संस्करण को अतिरिक्त राउंड की आवश्यकता नहीं है। संचार कदम हैं

नीतिवचन पी अपने रंग को यादृच्छिक बनाता है, इसे एक (नमकीन) मर्कल ट्री में बदल देता है, और रूट को सत्यापनकर्ता वी को भेजता है।
$e$
$e$

$O(be \log n \log (1/p))$ $O(1)$

$2^a$ $b$ $2^{a+1}-1$ $b$

पहले दौर में, नीतिवचन केवल रूट वैल्यू भेजता है, जो रूट के नॉन के साथ हैशेड होने के बाद से कोई जानकारी नहीं देता है। तीसरे राउंड में, बाइनरी ट्री में किसी भी अनपेक्षित नोड के बारे में कोई भी जानकारी नहीं दी गई है, क्योंकि इस तरह के नोड को उस नोड पर नॉनस के साथ धोया गया था। यहाँ मैं कह रहा हूँ कि नीतिवचन और सत्यापनकर्ता दोनों कम्प्यूटेशनल रूप से बंधे हुए हैं और हैश को तोड़ नहीं सकते हैं।

संपादित करें : ई के लापता कारक को इंगित करने के लिए रिकी डेमर का धन्यवाद $e$

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

स्टेप 1 प्रोफ़ायर को प्रोवर के रंग पर किसी भी अनुमान का परीक्षण करने के लिए एक उच्च सटीकता वाला तरीका देगा, प्रति प्रोवेर के चरण -1 के प्रति अनुमान के केवल 6 गुना का उपयोग करके।

$\:$ इसके अलावा, मैं एक तर्क से एक सबूत के बिना जाने के बिना किसी भी prover द्वारा गणना की गई मर्कल ट्री का उपयोग करने का कोई तरीका नहीं देखता ।

$\;\;\;\;$

एक रंग में अनुमान लगाने के लिए एक नमकीन मर्कल पेड़ का उपयोग कैसे किया जा सकता है?

— ज्योफ्री इरविंग

1

मैंने एक उत्तर पोस्ट करते हुए कहा कि मुझे क्यों लगता है कि नमकीन मर्कल ट्री विचार काम नहीं करता है।

$\:$ इसके बजाय आपको रंगों के यादृच्छिककरण के लिए प्रतिबद्धताओं को मर्कल ट्री में बदलना चाहिए ।

$\:$ मैं यह भी ध्यान देता हूं कि आपको संचार जटिलता में एक नंबर_ऑफ_जैड्स कारक याद आ रहा है।

$\hspace{.48 in}$

1

खैर, कोई इस वादे पर विचार कर सकता है कि असाइनमेंट या तो वैध 3-रंग है या [कम से कम

δ \cdot e

$\: \delta \cdot \hspace{-0.02 in}e\:$ किनारों में एक समान रंग के कोने होते हैं]।

$\;\;\;$ यह संचार जटिलता को गिरा देता है

O (((b \cdot n) / δ) \cdot \log (n))

$\: O\hspace{.02 in}(((b\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n)/\delta) \cdot \log(n))\;$ ।

$\;\;\;$ (जारी ...)

1

... (जारी है)

$\;\;\;$ अगला, कोई उस वादे-संबंध के मानक 3-रंग संबंध को कम करने के लिए पीसीपी मशीनरी लागू कर सकता है ।

$\;\;\;$ फिर, उस विचार को अपने चरम पर ले जाना, शून्य-ज्ञान सार्वभौमिक तर्क देता है ।

$\;\;\;\;\;\;\;\;$

1

सक्सेस नॉन-इंटरेक्टिव जीरो नॉलेज के तर्कों में हाल ही में वृद्धि हुई है। यह उदाहरण के लिए जाना जाता है कि सर्किट-सैट के लिए एक NIZK तर्क का निर्माण कैसे किया जाता है जहां तर्क लंबाई समूह तत्वों की एक बहुत छोटी निरंतर संख्या है (देखें ग्रोथ 2010, लिप्मा 2012, जेनारो, जेंट्री, आदि, यूरोकक्रिप्ट 2013, आदि)। एनपी-कमी के आधार पर आप स्पष्ट रूप से एक ही संचार के साथ 3-colorability के लिए एक तर्क का निर्माण कर सकते हैं।

बेशक यह आपके मूल प्रश्न की तुलना में एक अलग मॉडल है - उदाहरण के लिए, उन तर्कों में, सीआरएस की लंबाई सर्किट आकार में रैखिक है, और कुछ अर्थों में संचार के एक भाग के रूप में सोचा जा सकता है (हालांकि इसमें पुन: उपयोग किया जा सकता है) कई अलग-अलग तर्क)।

— क्रिप्टोकैट
स्रोत

0

(यह एक टिप्पणी में फिट नहीं है।)

मुझे लगता है कि मैं अब यह दिखाता हूं कि यह कैसे दिखाना है कि आपका नमस्कार जरूरी नहीं कि
ईमानदारी-शून्य ज्ञान प्रदान करे। $\:$ $H_0$ $\:$
$H_0$ $H_1$ $H_0$
$H_1$ $H_0$
$||$ $\:$ $H_2$

$x$ $z$ $\; ((3\hspace{-0.05 in}\cdot \hspace{-0.05 in}b)\hspace{-0.03 in}+\hspace{-0.02 in}6)$ $\;$ $y$
$m$ $\;\;\;\;\; m \:\: = \:\: x\:||\:111...[b\text{ of them}].\hspace{-0.04 in}.\hspace{-0.04 in}.111\:||\:y\:||\:z \;\;\;\;\;$ ,
एक है $\;\;\;\;\; H_2(m) \;\; = \;\; x\:||\:\:111...[b\text{ of them}].\hspace{-0.04 in}.\hspace{-0.04 in}.111\:||\:H_{\hspace{-0.02 in}1}(m)\:||\:z \;\;\;\;\;$

$x$ $r\hspace{-0.02 in}$ $m$ $x$ $r\hspace{-0.02 in}$ $m$
$\;\;\;\;\; H_2(m) \:\: = \:\: x\:||\:\:111...[b\text{ of them}].\hspace{-0.04 in}.\hspace{-0.04 in}.111\:||\:H_{\hspace{-0.02 in}1}(m)\:||\:x \;\;\;\;\;$

$m$
$H_2(m) \:\: =$
$[b\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.05 in}3 \text{ bits whose values don't matter}]\:||\:H_{\hspace{-0.02 in}1}(m)\:||\:[3 \text{ bits whose values don't matter}]\;\;\;\;\;$ ।

।

$H_1$ $H_2$ $H_1$ $\:$ $H_1$
$H_0$ $\:$ $H_0$ $H_2$

$1/(2^{(b-1)})$

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके नोटेशन का पालन करता हूं, लेकिन ऐसा लगता है कि आप बहस कर रहे हैं कि आप मेरा स्केच ले सकते हैं और स्पष्ट रूप से मूर्खतापूर्ण तरीके से विवरण भर सकते हैं, इस प्रकार एक असुरक्षित प्रणाली का उत्पादन कर सकते हैं। मैं अपने उत्तर के विवरणों का क्लीनर सुरक्षित संस्करण जोड़ूंगा।

— ज्योफ्री इरविंग

H_{2}

$H_2$

$\:$ बाकी सब कुछ था

$\hspace{1.71 in}$ जो मैंने ईमानदारी से सोचा था उसका मतलब है।

$\;\;\;\;$

कृपया मुझे बताएं कि क्या मेरे उत्तर में जोड़ा गया यह स्पष्ट है। यह काफी संभव है कि मुझे कुछ याद आ रहा है और मेरा निर्माण वास्तव में टूट गया है।

— ज्योफ्री इरविंग