क्या शिफ्ट-चेन दो-रंगीन हैं?

Question

के लिए निरूपित द्वारा की सबसे छोटी तत्व ।$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

दो -element सेट के लिए, , हम कहते हैं कि अगर हर ।$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

एक -uniform hypergraph एक कहा जाता है बदलाव श्रृंखला यदि कोई hyperedges के लिए, , हमारे पास या । (इसलिए एक बदलाव-श्रृंखला में अधिकांश हाइपरेजेज हैं।)$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

हम कहते हैं कि यदि कोई हाइपरग्राफ दो-रंगीय है (या उसके पास गुण B है) यदि हम इसके रंगों को दो रंगों से रंग सकते हैं, तो कोई हाइपर-मोनोक्रोमैटिक नहीं है।${\mathcal H}$

यह सही है कि पाली-चेन दो संभाव्य हैं बड़ा पर्याप्त है?$k$

टिप्पणियों। मैंने पहले इस समस्या को mathoverflow पर पोस्ट किया था , लेकिन किसी ने भी इस पर टिप्पणी नहीं की।

कुछ आंशिक परिणामों के लिए 1 Emlektabla कार्यशाला में समस्या की जांच की गई थी, पुस्तिका देखें ।

प्रश्न उत्तल आकृतियों के अनुवाद द्वारा विमान के कई आवरणों के अपघटन से प्रेरित है, इस क्षेत्र में कई खुले प्रश्न हैं। (अधिक जानकारी के लिए, मेरी पीएचडी थीसिस देखें ।)

के लिए वहाँ एक छोटी सी counterexample है: (12), (13), (23)।$k=2$

एक कंप्यूटर प्रोग्राम के साथ रैडोस्लाव फुलेक द्वारा लिए एक बहुत ही जादुई प्रतिरूप दिया गया था :$k=3$

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789)।

यदि हम हाइपरग्राफ को दो शिफ्ट-चेन्स (एक ही क्रम के साथ) के मिलन की अनुमति देते हैं, तो किसी भी लिए एक प्रतिरूप है ।$k$

अद्यतन करें। मैं हाल ही में यह दिखाने में कामयाब रहा हूं कि इस प्रीप्रिंट में शिफ्ट-चेन के अधिक प्रतिबंधित संस्करण दो-रंगीन हैं ।

स्थायी इनाम! मैं एक समाधान के लिए 500 इनाम देने के लिए खुश हूँ कभी भी!

Comments

प्रॉपर्टी बी को आमतौर पर 2-कोलॉराबिलिटी कहा जाता है।

— कॉलिन मैकक्लिअन

@Colin McQuillan: मैंने ऐसा इसलिए भी सोचा क्योंकि मैंने कभी भी "प्रॉपर्टी बी" नाम नहीं सुना था। हालाँकि, ऐसा लगता है कि "संपत्ति बी" साहित्य में एक सामान्य नाम है। en.wikipedia.org/wiki/Property_B

— त्सुयोशी इतो

मुझे सही साबित होना है। मैंने अपना गलत उत्तर भी हटा दिया है।

— कॉलिन मैकक्विलन

Answer 1

यह कोई उत्तर नहीं है। इस प्रकार एक सरल प्रमाण है कि k = 3 के लिए निर्माण वास्तव में एक प्रतिरूप है। मुझे लगता है कि प्रश्नकर्ता इस सबूत को जानता है लगता है, लेकिन मैं वैसे भी यह पोस्ट करेंगे क्योंकि सबूत अच्छा है और इस उपयोगी हो सकता है, जब लोग बड़े के मामले पर विचार कश्मीर ।

यह सत्यापित करना आसान है कि यह एक शिफ्ट-चेन है। बताते हैं कि इसके पास प्रॉपर्टी बी नहीं है।

वास्तव में, सबहिपरग्राफ {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} पहले से ही प्रॉपर्टी बी को संतुष्ट करने में विफल रहता है। यह देखने के लिए, मान लें कि इस हाइपरग्राफ में 2-कलरिंग है और c _i को वर्टेक्स i का रंग है । तीन हाइपरेजेज (145), (245), (345) को देखें। यदि सी ₄ = सी ₅ , तो 1, 2 और 3 के सभी को सी ₄ के विपरीत रंग होना चाहिए , लेकिन यह एक मोनोक्रोमैटिक हाइपरेज (123) देगा। इसलिए, यह मामला है कि होना चाहिए ग ₄ ≠ ग ₅ । इसी तरह,

• c ₃ ges c ₄ तीन हाइपरेजेस (345), (346), (347) की तुलना करके और एक हाइपरेज (567) नोट करके।
• c ₆ ges c ₇ तीन हाइपरेजेस (367), (467), (567) की तुलना करके और हाइपरेज (345) को नोट करके।
• c ₅ ges c ₆ तीन हाइपरेजेस (567), (568), (569) की तुलना करके और एक हाइपरेज (789) को नोट करके।

इसलिए, हम है ग ₃ ≠ ग ₄ ≠ ग ₅ ≠ ग ₆ ≠ ग ₇ । लेकिन इसका तात्पर्य c ₃ = c ₅ = c _{7 है} , जो हाइपरेज (357) मोनोक्रोमैटिक बनाता है। यह 2-रंग की धारणा का खंडन करता है।

Comments

बहुत अच्छी तरह से, पूछने वाला आपके प्रमाण को पसंद करता है। इसे लिखने के लिए धन्यवाद!

— डोमोटरप

Answer 2

शायद मुझे कुछ याद आ रहा है, लेकिन मुझे लगता है कि संभावनावादी पद्धति के साथ एक अच्छी निचली सीमा है:

$1/2$$2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$

$$k(n-k)+1 \leq \dfrac{2^{k-1}}{e}-1.$$ $k = \Omega(\log(n))$$n \log(n)$$n^c$$n$

की एक बेहतर सीमा है$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$

Comments

आप सही हैं कि यदि k n की तुलना में पर्याप्त बड़ा है, तो कथन सत्य है (उदाहरण k = n तुच्छ रूप से)। समस्या यह साबित करने के लिए है कि यदि k कुछ निरपेक्ष स्थिर से बड़ा है, अर्थात 4, तो कथन हर n के लिए सही है।

— डोमोटरप

ठीक है, तो बस जवाब को नजरअंदाज कर दें :)

— मार्क बूरी