क्या भविष्यवाणी (सीमा में) कम्प्यूटेशनल दृश्यों को हॉल्टिंग समस्या के समान कठिन है?

Question

प्रश्न : क्या भविष्यवाणी करना (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है) कम्प्यूटिंग अनुक्रमों को रोकने की समस्या जितनी कठिन है?

विस्तार : "भविष्यवाणी" का अर्थ सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करना है, जिसका अर्थ है कि पिछले n-1 बिट्स तक पहुंच दिए गए अनुक्रम के n-वें बिट की भविष्यवाणी करने की कोशिश करने के कार्य पर केवल बहुत सारी त्रुटियां हैं (पहले बिट से शुरू होकर संपूर्ण अनंत कम्प्यूटेशनल अनुक्रम)।

एक सरल विकर्ण तर्क है (लेग 2006 के कारण) कि किसी भी ट्यूरिंग मशीन पूर्वसूचक पी के लिए, एक कम्प्यूटेशनल अनुक्रम है जिस पर यह असीम रूप से कई त्रुटियां करता है। (एक क्रम का निर्माण करें, जो इसके nth शब्द के रूप में है, जो p के पूर्ववर्ती n-1 शब्द को अनुक्रम में दिया गया है।) इसलिए कोई भी गणना योग्य भविष्यवक्ता नहीं है जो प्रत्येक कम्प्यूटेशनल अनुक्रम की भविष्यवाणी करता है। एक रुकने का तांडव ऐसे भविष्यवक्ता के निर्माण की अनुमति देगा। लेकिन क्या आप दिखा सकते हैं कि इस तरह के भविष्यवक्ता आपको हॉल्टिंग समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं?

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परिभाषा (लेग)
एक भविष्यवक्ता पी एक ट्यूरिंग मशीन है जो पिछले n-1 बिट्स के लिए दिए गए अनुक्रम S के n-वें बिट की भविष्यवाणी करने की कोशिश करता है। यदि अनुक्रम के n-वें बिट से मिलान करने में भविष्यवाणी विफल हो जाती है, तो हम इसे एक गलती कहते हैं । हम कहेंगे कि p, S की भविष्यवाणी करता है, यदि p केवल S पर बहुत अधिक गलतियाँ करता है। दूसरे शब्दों में, p, S की भविष्यवाणी करता है, यदि प्रत्येक m> M के लिए अनुक्रम में कुछ संख्या M है, M, p सही रूप से S के m-th बिट की भविष्यवाणी करता है पहले m-1 बिट्स तक पहुंच दी गई।

औपचारिक रूप से, हम एक भविष्यवक्ता मशीन को तीन टेपों के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। अनुक्रम को एक टेप पर इनपुट बिट-बाय-बिट के रूप में दर्ज किया जाता है, अगले बिट के लिए भविष्यवाणियां एक दूसरे टेप पर की जाती हैं (मशीन केवल इस टेप पर सही तरीके से आगे बढ़ सकती है), और फिर एक काम टेप है जिस पर मशीन दोनों दिशाओं में आगे बढ़ सकते हैं।

सरल परिणाम
उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, एक भविष्यवक्ता है जो सभी तर्कसंगत संख्याओं की भविष्यवाणी करता है। (युक्तियों के मानक ज़िग-ज़ैग गणन का उपयोग करें। सूची में 1 तर्कसंगत की भविष्यवाणी करके प्रारंभ करें, यदि कोई गलती है, तो अगले तर्कसंगत पर जाएँ।) इसी तरह के तर्क से, N की पहुंच प्रदान करने वाला एक प्रेडिक्टर सेंट है, जो N के बराबर या उससे कम कोलोमोगोरोव जटिलता के सभी दृश्यों की भविष्यवाणी करने में सक्षम है। समानांतर में सभी एन-बिट मशीनों को चलाएं और मशीन की भविष्यवाणी को पहले लें। । आप केवल बहुत सारी त्रुटियां कर सकते हैं)।

प्रशस्ति पत्र शेन लेग 2006 http://www.vetta.org/documents/IDSIA-12-06-1.pdf (इस बैंक के लेखक नहीं)

Answer 1

वास्तव में यह रुकने की समस्या को हल करने से ज्यादा आसान है।

चलो एक समारोह है कि सभी गणना कर सका कार्यों पर हावी है, यानी, सब कुल गणनीय कार्यों के लिए हो सकता है , हमारे पास है कि सभी लेकिन परिमित कई के लिए , । यह एक मानक तथ्य है कि ऐसे कार्य मौजूद हैं, जिनमें हॉल्टिंग समस्या की तुलना में ट्यूरिंग की डिग्री कम है, उदाहरण के लिए सोर की पुस्तक रिकर्सिवली एनुमेरबल सेट्स एंड डिग्रीज । इन्हें उच्च ट्यूरिंग डिग्री कहा जाता है ।$f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$g:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$n$$g(n)\le f(n)$

Let , में आंशिक गणना योग्य कार्यों की एक मानक सूची से ।$\varphi_e$$e\in\mathbb N$$\mathbb N$$\{0,1\}$

अब, का उपयोग करके हम एक भविष्यवक्ता निर्माण करते हैं ।$f$$p$

$p(a_0,\ldots,a_{k-1})$ को कुछ संख्या रूप में चुना जाता है ताकि अनुक्रम बनाने के लिए with न्यूनतम संभव । चूँकि हम रुकने के लिए संभावित रूप से लटकने वाली गणनाओं की प्रतीक्षा नहीं कर सकते हैं, हम केवल संगणनाओं की निगरानी तब तक करते हैं जब तक कि चरण ( कई अभिकलन चरण)। यदि ऐसा कोई नहीं तो हम मनमाने ढंग से सेट करते हैं (कहें )।$a_{k}\in \{0,1\}$$a_0,\ldots,a_k$$\varphi_t(0),\ldots,\varphi_t(k)$$t\le k$$f(k)$$f(k)$$t$$a_{k}$$=0$

अब मान लीजिए कि न्यूनतम है जैसे कि कम्प्यूटेशनल अनुक्रम की गणना करता है जो वास्तव में मनाया जाता है। फिर हम सभी के लिए, लेकिन बारीक से बहुत से उपयोग और इसलिए सही , क्योंकि लिए रनिंग टाइम फ़ंक्शन पर हावी है , अर्थात् सबसे कम चरण जहां है रुका।$q$$\varphi_q$$k$$t=q$$a_{k}$$f$$\varphi_q$$s(n)=$$\varphi_q(n)$

Comments

यह वास्तव में एक वर्चस्व कार्य करने के लिए समान रूप से समतुल्य है ।