कंप्यूटर विज्ञान के लिए टोपोलॉजी के अनुप्रयोग

Question

मैं कंप्यूटर विज्ञान में टोपोलॉजी के अनुप्रयोगों पर एक सर्वेक्षण लिखना चाहता हूं। मैं कंप्यूटर विज्ञान में सामयिक विचारों के इतिहास को कवर करने की योजना बना रहा हूं और कुछ वर्तमान विकास को भी उजागर करता हूं। यह बहुत उपयोगी होगा अगर कोई भी नीचे दिए गए किसी भी प्रश्न के बारे में इनपुट दे सके।

1. कंप्यूटर विज्ञान में टोपोलॉजी के उपयोग के कालक्रम का वर्णन करने वाले कोई पेपर या नोट्स हैं?

2. Topology to Computer Science में परिणामों का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग क्या हैं?

3. वर्तमान कार्य के सबसे दिलचस्प क्षेत्र क्या हैं जो संगणना में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग करते हैं?

धन्यवाद!

Comments

इस अन्य प्रश्न के कई उत्तर यहां प्रासंगिक हैं: cstheory.stackexchange.com/questions/1920/…

— जोशुआ ग्रोचो

टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट्स की गणना के लिए एल्गोरिदम पर काम करने या मॉडल डेटा के लिए टोपोलॉजिकल कंस्ट्रक्शन का उपयोग करने के बारे में क्या? क्या वह माना जाएगा ?

— सुरेश वेंकट

यह एक लंबी सर्वेक्षण होने जा रहा है ।

— जेफ

क्या आप सफल हुए हैं? अपने सर्वेक्षण wold के लिए एक कड़ी की सराहना की!

— टार्क

यह प्रोग्रामिंग के लिए टोपोलॉजी के एक सुंदर अनुप्रयोग पर एक पोस्ट है: math.andrej.com/2007/09/28/…

— होल्डन ली

Answer 1

व्यक्तिगत रूप से, मुझे लगता है कि टोपोलॉजी का सबसे दिलचस्प अनुप्रयोग हेरली और शविट द्वारा किया गया कार्य था। उन्होंने बीजगणितीय टोपोलॉजी का उपयोग किया अतुल्यकालिक वितरित संगणना को चिह्नित करने के लिए और महत्वपूर्ण ज्ञात परिणामों के नए प्रमाण दिए और कई लंबे समय तक खुली समस्याओं को खटखटाया। उन्होंने उस काम के लिए 2004 गोडेल पुरस्कार जीता।

मौरिस हेरालि और निर शेविट, एसीएम के जर्नल, वॉल्यूम द्वारा "द टॉपोलॉजिकल स्ट्रक्चर ऑफ़ एसिंक्रोनस कंप्यूटेशन"। 46 (1999), 858-923,

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"सबसे दिलचस्प" ? अब उन्हें वहाँ 'शब्दों की लड़ाई है! :)

— सुरेश वेंकट

Answer 2

टोपोलॉजी एक ऐसा परिपक्व अनुशासन है जिसमें ज्यामितीय, बीजगणितीय, मीट्रिक, बिंदु-सेट और (स्वयं पदावनत) निरर्थक टोपोलॉजी सहित विभिन्न उपक्षेत्रों के साथ। कंप्यूटर विज्ञान भी काफी व्यापक है और इसमें कई गणितीय उप-क्षेत्र हैं, इसलिए मुझे सीएस में सामयिक विचारों के बहुत से अनुप्रयोगों की उम्मीद होगी। मार्शल स्टोन ने कहा कि "अपेक्षित रूप से हमेशा टॉपोलोगीज़" और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के पास अपेक्षित पृष्ठभूमि होती है। पर्याप्त कुछ उदाहरण।

ये उदाहरण टोपोलॉजी द्वारा हल की गई कठिन सीएस समस्याओं के नहीं हैं। कभी-कभी एक टोपोलॉजिकल धारणा सीएस सेटिंग में बहुत अच्छी तरह से स्थानांतरित हो जाती है या सीएस के एक उप क्षेत्र के लिए आधार देती है।

1. प्रपोजल लॉजिक की कॉम्पैक्टिस प्रमेय, टायकोनॉफ की प्रमेय का परिणाम है। पहले आदेश तर्क के लिए कॉम्पैक्टनेस आमतौर पर अलग तरह से साबित होती है। क्लासिक मॉडल सिद्धांत में कॉम्पैक्टनेस एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

2. बूलियन बीजगणित के लिए पत्थर का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रपोजल लॉजिक, बूलियन बीजगणित और कुछ सामयिक स्थानों के मॉडल से संबंधित है। बीजीय तर्क और प्रोग्रामिंग भाषा के शब्दार्थों में प्रयुक्त संरचनाओं के लिए पत्थर के प्रकार के द्वैत परिणाम प्राप्त किए गए हैं।

3. निक पिप्पेन्जर ने नियमित भाषाओं के बुलियन बीजगणित में स्टोन के प्रमेय को लागू किया और नियमित भाषाओं के बारे में कई तथ्यों को साबित करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग किया। भाषा सिद्धांत में टोपोलॉजी पर अधिक हालिया काम के लिए जीन-एरिक पिन की टिप्पणी देखें।

4. औपचारिक तरीकों में, सुरक्षा और वफादारी संपत्ति की धारणाएं हैं। प्रत्येक रैखिक-समय की संपत्ति को एक सुरक्षा और एक अस्तर संपत्ति के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमाण प्राथमिक टोपोलॉजी का उपयोग करता है।

5. मार्टिन एस्कार्डो ने अनंत सेटों की खोज के लिए एल्गोरिदम और लिखित कार्यक्रम विकसित किए हैं। मेरा मानना ​​है कि कॉम्पैक्टनेस उस काम का एक प्रमुख घटक है।

6. पोलिश टोपोलॉजिस्ट (जैसे कुरताओस्की) के काम ने हमें क्लोजर ऑपरेटर दिया। लैटिस पर क्लोजर ऑपरेटर अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, जो स्थैतिक कार्यक्रम विश्लेषण को रेखांकित करता है।

7. क्लोजर ऑपरेटर और अन्य टोपोलॉजिकल विचार गणितीय आकारिकी के आधार हैं।

8. मॉडल लॉजिक्स के स्वयंसिद्धीकरण में पोलिश स्कूल से आंतरिक ऑपरेटरों की धारणा भी महत्वपूर्ण है।

9. कंप्यूटर विज्ञान का एक बहुत ग्राफ आधारित संरचनाओं पर आधारित है। कुछ अनुप्रयोगों के लिए जुड़ाव और प्रवाह की समृद्ध धारणा की आवश्यकता होती है जो ग्राफ और टोपोलॉजी द्वारा प्रदान की गई प्राकृतिक अगला कदम है। यह मेरे कंसर्टिकुलम सिद्धांत में वैन ग्लेबेक के उच्च-आयामी ऑटोमेटा और एरिक गोबल्ट के समवर्ती कार्यक्रमों के शब्दार्थ के लिए ज्यामितीय टोपोलॉजी के अनुप्रयोग को पढ़ना है।

10. संभवतः सबसे अधिक प्रेस को प्राप्त होने वाला अनुप्रयोग टोपोलॉजी (प्रारंभिक रूप से बीजगणितीय, हालांकि अधिक दहनशील प्रस्तुतियाँ भी मौजूद हैं) वितरित कंप्यूटिंग में कुछ दोष-सहिष्णुता परिदृश्यों को चिह्नित करने के लिए है। ऊपर उल्लिखित हेरलहि और शावित के अलावा, बोरोस्की और गफनी, और साक्स और ज़हरौगलौ ने भी इस तरह की पहली सफलता के लिए प्रस्ताव दिया। अतुल्यकालिक कम्प्यूटेबिलिटी फ्रेमवर्क ने इस तरह के अधिक परिणाम उत्पन्न किए।

11. ब्रूवर के निश्चित बिंदु प्रमेय ने कई समस्याओं को जन्म दिया है जिनका हम अध्ययन करते हैं। हाल ही में एल्गोरिदमिक गेम थ्योरी के अध्ययन में, जटिलता वर्ग PPAD और निश्चित बिंदु समस्याओं की जटिलता वर्ग FixP है।

12. बोर्सुक-उलम प्रमेय में रेखांकन और मीट्रिक एम्बेडिंग के लिए कई अनुप्रयोग हैं। ये जिउ मटुक की किताब में शामिल हैं।

ये वहाँ से बाहर क्या है पर अल्प पिकरिंग हैं । सौभाग्य!

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क्या शानदार सूची है!

— डेव क्लार्क

Answer 3

डोमेन थ्योरी प्रकृति में अत्यधिक सामयिक है, और टोपोलॉजी का एकतरफा अनुप्रयोग होने के नाते, यह कमोबेश टोपोलॉजी का अपना क्षेत्र है। प्रोग्रामिंग भाषाओं, विशेष रूप से कार्यात्मक लोगों के डेनोटेशनल सेमेंटिक्स में इसका आवेदन निश्चित रूप से कंप्यूटर विज्ञान में टोपोलॉजी के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है। मूल्यों (कार्यों सहित) को डीसीपीओ (निर्देशित-पूर्ण आंशिक आदेश) या इस तरह की संरचना के संदर्भ में शब्दार्थ दिए गए हैं। पुनरावर्ती डोमेन समीकरण जैसे को इस सेटिंग में हल किया जा सकता है, बेजोड़ जैसे जानवरों को शब्दार्थ दे रहा है$D\cong [D\to D]$$\lambda$-calculus। शब्दार्थ मौलिक रूप से अंदाज़े की धारणा पर आधारित होते हैं, जो क्रम से दिए जाते हैं, और समीकरणों के कम से कम निश्चित बिंदु समाधान, और समाधान आम तौर पर अस्तित्व की गारंटी होते हैं।

डीनोटेशनल शब्दार्थ से स्टेमिंग अमूर्त व्याख्या और कार्यक्रम विश्लेषण और सत्यापन के साथ संबंध हैं।

वर्तमान शोध में संगामिति के लिए और क्वांटम भाषाओं के लिए अर्थ संबंधी शब्दार्थ प्रदान करना शामिल है।

अब्रामस्की और जंग मुख्य विचारों का एक अच्छा सर्वेक्षण देते हैं: डोमेन थ्योरी ।

Answer 4

जुड़े हुए घटकों की संख्या पर सीमाएं, और आमतौर पर बेट्टी संख्या, अर्ध-बीजगणितीय किस्मों और हाइपरप्लेन की व्यवस्था (और उनके पूरक) का उपयोग बीजगणितीय गणना और निर्णय पेड़ों पर कई कम सीमा के लिए किया गया है। कुछ बड़े संदर्भों के लिए, देखें:

माइकल बेन-या, बीजीय संगणना पेड़ों के लिए निचली सीमा, STOC 1983, पीपी। 80-86।

एंड्रयू ची-ची यओ, निर्णय वृक्ष की जटिलता और बेट्टी संख्या, जे। कम्प्यूट। प्रणाली विज्ञान। 55 (1997), नहीं। 1, भाग 1, 36-43 (STOC 1994)।

एंडर्स ब्योर्नर और लास्ज़लो लोवाज़, रैखिक निर्णय पेड़, उप-व्यवस्था की व्यवस्था और मोबियस कार्य, जे आमेर। गणित। समाज। 7 (1994), नहीं। 3, 677-706।

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एक अलग लेकिन कुछ हद तक संबंधित नस में, स्मैल ने टोपोलॉजी का इस्तेमाल काफी दिलचस्प तरीके से किया (विशेष रूप से, ब्रैड समूह का सह-विज्ञान) ब्लम-शुब-स्मेल मॉडल में जड़-खोज की जटिलता को कम करने के लिए:

स्मेल, एस। एल्गोरिथम की टोपोलॉजी पर, IJ जटिलता, 3 (2): 81-89, 1987।

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वे संदर्भ अपेक्षाकृत पुराने लगते हैं। क्या शोध का सिलसिला जारी है, या ये काफी हद तक एकतरफा परिणाम थे?

— मार्क रीटब्लेट

खैर, मैं उन्हें एकतरफा नहीं कहूंगा, क्योंकि इन तकनीकों का उपयोग करके परिणामों का एक गुच्छा था। मुझे लगता है कि अधिक आधुनिक परिणाम (पिछले दशक से कहते हैं) या तो पूरी तरह से अलग तकनीकों का उपयोग करते हैं, या वे सामयिक पहलू की तुलना में अर्ध-बीजगणितीय ज्यामिति पहलू का अधिक उपयोग करते हैं।

— जोशुआ ग्रोको

(मुझे मार्क के सवाल के बारे में नहीं पता है कि स्मेल का परिणाम क्या है।)

— जोशुआ ग्रोचो

Answer 5

कम्प्यूटेशनल विश्लेषण और पर कम्प्यूटेबिलिटी ।$2^{\omega}$

यह डेव के उत्तर और डोमेन सिद्धांत से संबंधित है। यहां मूल तर्क यह है कि कम्प्यूटेशनलता स्थानीय संचालन और परिमित टिप्पणियों पर आधारित है । आप टोपोलॉजी की परिष्कृत धारणा के रूप में संगणना के बारे में सोच सकते हैं। सबसे स्पष्ट उदाहरण यह है कि:

सभी (oracle Turing) अभिकलन कार्य निरंतर होते हैं। दूसरी ओर, प्रत्येक निरंतर कार्य एक उपयुक्त ओरेकल के साथ कम्प्यूटेशनल ट्यूरिंग ट्यूरिकल है।

आप क्लाऊस वेहराच की पुस्तक "कम्प्यूटेशनल एनालिसिस" में अधिक पा सकते हैं। आप स्टीवन विकर्स की अच्छी किताब "लॉजिक विद लॉजिक" भी देख सकते हैं।

Answer 6

दो अन्य कागजात जो आपके सर्वेक्षण के लिए प्रासंगिक हो सकते हैं ...

एम। गेहरके, एस। ग्रिगोरिएफ़, जे.ई. पिन, मान्यता के लिए एक सामयिक दृष्टिकोण, आईसीएएलपी 2010, भाग II, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स 6199, स्प्रिंगर वर्लग, (2010), 151-162।

एम। गेहरके, एस। ग्रिगोरिएफ़, जे.ई. पिन, नियमित भाषाओं का द्वंद्व और समतामूलक सिद्धांत, ICALP 2008 का सर्वश्रेष्ठ पेपर पुरस्कार, ट्रैक बी, ICALP 2008, भाग II, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स 5126, स्प्रिंगर वर्लाग, (2008), 246-257।

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स्वागत हे! मैंने आपके सर्वेक्षण लेख "ऑटोमैटिक थ्योरी में लाभदायक तरीके" का बहुत आनंद लिया।

— नील कृष्णस्वामी 13

Answer 7

कांसेर अनुमान और कान्हा / सक्सेस / स्ट्रेटवेंट प्रूफ़ को Aandera-Rosenberg-Karp अनुमान के लिए मत भूलना।

Answer 8

पूर्व में इलिनोइस में रॉबर्ट Ghrist का उल्लेख नहीं देखा गया था , लेकिन अब U पेन में सेंसर नेटवर्क और रोबोटिक्स जैसे सामान के लिए टोपोलॉजी लागू किया गया। यहाँ एक अच्छा साक्षात्कार है।

डेटा विश्लेषण के लिए टोपोलॉजी लागू करने पर गुन्नार कार्ल्ससन एट अल के काम से भी संबंधित ।

शायद STOC / FOCS TCS नहीं, लेकिन निश्चित रूप से कंप्यूटर विज्ञान।

Answer 9

संगामिति और मॉडलिंग समवर्ती संगणना को समझने के सिद्धांतों को सर्वश्रेष्ठ रूप से समझा जाता है। पहले उत्तर में उल्लिखित async संगणना की सामयिक संरचना पर Herlihy और Shavit द्वारा प्रसिद्ध कार्य के अलावा- Eric goubault ने ज्यामिति के साथ मॉडलिंग की संगति पर काम किया है और Stanford Concurrency समूह में संगति पर Chu के अनुप्रयोगों पर Pratt का काम भी दिलचस्प है। हालाँकि मैं उनके काम से परिचित नहीं हूँ।

Answer 10

Kitaev द्वारा सामयिक सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटर में टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण पर शुरू किए गए सभी कार्य। उदाहरण के लिए, केतव का मूल पेपर देखें या, जॉन प्रेस्किल के व्याख्यान नोट्स ।

Answer 11

किसी ने अभी तक निर्देशित बीजीय टोपोलॉजी का उल्लेख नहीं किया है , जो वास्तव में संगामिति के अध्ययन के लिए एक उपयुक्त बीजीय टोपोलॉजिकल टूलबॉक्स प्रदान करने के लिए विकसित किया गया था।

गणना के सिद्धांत में विषयों के कई निम्न आयामी सामयिक दृष्टिकोण भी हैं, सभी काफी नए हैं:

• ब्रैड्स के सिद्धांत के आधार पर दोष-सहिष्णु एओनिक क्वांटम अभिकलन के विभिन्न दृष्टिकोण। यहाँ देखें यहाँ और यहाँ । इसके अलावा यहां एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटर्स के नेटवर्क भी हैं ।
• लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए डायग्रामेटिक टोपोलॉजी-आधारित औपचारिकताएं (जैसे HERE , पृष्ठ 46-48 और HERE ) और मिल्नर पीआई कैलकुलस ( HERE ) के लिए।
• मॉडल पुनरावृत्ति और मार्कोव श्रृंखलाओं के लिए रंगीन टेंगल्स के संघनन का उपयोग करना। यहाँ देखें यहाँ और यहाँ । वास्तव में यह सिद्ध (अप्रकाशित) है कि किसी भी ट्यूरिंग मशीन की गणना और किसी भी आवर्तक प्रथम-क्रम तंत्रिका नेटवर्क को इस तरह से मॉडल किया जा सकता है।
• क्वांटम कम्प्यूटेशन के लिए एक उच्च श्रेणी की सैद्धांतिक औपचारिकता है जिसमें टोपोलॉजिकल चित्र कम्प्यूटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं, और टोपोलॉजिकल-समतुल्य चित्र समान कम्प्यूटेशनल सामग्री के साथ विभिन्न प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। देखें यहाँ ।

Answer 12

कुछ अनुप्रयोग मीट्रिक एम्बेडिंग के लिए।

इस पुस्तक को Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html द्वारा देखें

ये कागजात भी देखें:

• Bi-Lipschitz निम्न-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान में एम्बेड करता है, जे। Matousek (1990) (वह एक कम बाध्य साबित करने के लिए वैन कंपेन प्रमेय का उपयोग करता है)
• R ^ d, J. Matousek और A. Sidiropoulos में मीट्रिक एम्बेडिंग के लिए अनुपयुक्तता

Answer 13

इस किताब को पढ़ें:

इसका संग्रहीत वेबपृष्ठ देखें

Comments

मैं नहीं जानता कि कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी वास्तव में वह क्या है जिसकी वह तलाश कर रहा है। क्या वहाँ कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी के बाहर आवेदन हैं?

— मार्क रीटब्लेट

Ummm। हाँ। अफ़रा की पुस्तक स्पष्ट रूप से सतह के पुनर्निर्माण और टोपोलॉजिकल शोर को हटाने (जिसमें कंप्यूटर ग्राफिक्स में अनुप्रयोग हैं) पर चर्चा करती है, लेकिन उच्च-आयामी डेटा विश्लेषण, कई गुना सीखने, कंप्यूटर दृष्टि, छवि प्रसंस्करण, आयाम में कमी, सूचना पुनर्प्राप्ति, गति में कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी के अनुप्रयोग भी हैं। नियोजन, आदि आदि

— जेफε नोव

Answer 14

इस पुस्तक की जाँच करें, कम्प्यूटेशनल जटिलता: एक मात्रात्मक परिप्रेक्ष्य, यह संसाधन-बद्ध टोपोलॉजिकल टूल का उपयोग करके कुछ जटिलता वर्गों के आकार का अध्ययन करता है।

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$

Comments

वास्तव में, पी-माप और पी-श्रेणी (जो कि टर्कीस्टनी का जिक्र है) पर बहुत काम किया गया है। जैक लुट्ज़ ने इस विचार को पेश किया, और आप उसे देख कर, कोउथर्स के लिंक और आगे के संदर्भों के साथ एक टन कागज पा सकते हैं।

— जोशुआ ग्रोको 20