BosonSampling पेपर जटिल मैट्रिस के आसान वर्गों से कैसे बचता है?

Question

में रेखीय प्रकाशिकी के कम्प्यूटेशनल जटिलता ( ECCC TR10-170 ), स्कॉट आरोनसन और एलेक्स अर्खिपोव का तर्क है कि क्वांटम कंप्यूटर कुशलतापूर्वक शास्त्रीय कंप्यूटर से प्रेरित किया जा सकता है तो बहुपद पदानुक्रम तीसरे स्तर तक गिर। प्रेरक समस्या एक रैखिक-ऑप्टिकल नेटवर्क द्वारा परिभाषित वितरण से नमूना है; इस वितरण को एक विशेष मैट्रिक्स के स्थायी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। शास्त्रीय मामले में मैट्रिक्स की सभी प्रविष्टियाँ गैर-ऋणात्मक हैं, और इसलिए एक संभाव्य बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म मौजूद है, जैसा कि मार्क जेरुम, एलिस्टेयर सिनक्लेयर, और एरिक विगोडा (जेएसीएम 2004, डीओआई) द्वारा दिखाया गया है: 10.1145 / 1008731.1008738)। क्वांटम मामले में प्रविष्टियाँ जटिल संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में (जब प्रविष्टियों को गैर-नकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं होती है) वैलेंट के क्लासिक 1979 के परिणाम से स्थायी को एक स्थिर कारक के भीतर भी अनुमानित नहीं किया जा सकता है।

कागज वितरण को परिभाषित करता है एक मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित एक , और एक नमूना समस्या$D_A$$A$

BosonSampling
इनपुट: मैट्रिक्स नमूना: वितरण डी $A$
$D_A$

कठोरता परिणाम का उपयोग करना शास्त्रीय और क्वांटम दुनिया के बीच एक अलगाव के लिए कमजोर साक्ष्य प्रतीत होता है, क्योंकि यह संभव है कि विशिष्ट क्वांटम सेटअप में मेट्रिक्स का वर्ग सभी विशेष रूप से होगा। उनके पास जटिल प्रविष्टियां हो सकती हैं, लेकिन फिर भी बहुत सारी संरचना हो सकती है। इसलिए ऐसे मेट्रिस के लिए एक कुशल नमूना प्रक्रिया मौजूद हो सकती है, भले ही सामान्य समस्या # पी-हार्ड हो।

पेपर में BosonSampling का उपयोग आसान कक्षाओं से कैसे बचा जाता है?

कागज बहुत सारी पृष्ठभूमि का उपयोग करता है जो मेरे पास क्वांटम जटिलता में नहीं है। इस साइट पर सभी क्वांटम लोगों को देखते हुए, मैं वास्तव में सही दिशा में एक सूचक की सराहना करता हूं। तर्क कैसे पकड़ेंगे यदि किसी को पता था कि एक विशिष्ट प्रयोगात्मक सेटअप में देखे गए जटिल-मूल्यवान मैट्रिस के वर्ग वास्तव में वितरण के एक वर्ग के अनुरूप हैं जो कि नमूना से आसान था? या क्या क्वांटम प्रणाली में कुछ निहित है जो गारंटी देता है कि ऐसा नहीं हो सकता है?

Answer 1

आपके प्रश्न के लिए धन्यवाद! दो जवाब हैं, इस पर निर्भर करता है कि क्या आप सटीक या अनुमानित बॉसनसम्पलिंग के लिए कठोरता परिणाम में रुचि रखते हैं ।

सटीक स्थिति में, हम यह साबित करते हैं कि किसी भी n-by-n कॉम्प्लेक्स मैट्रिक्स ए को देखते हुए, आप एक ऑप्टिकल प्रयोग का निर्माण कर सकते हैं जो कि संभावना के अनुपात में एक विशेष आउटपुट का उत्पादन करता है। Per (A) ^२ । यह बदले में, इसका अर्थ है कि कोई भी शास्त्रीय बहुपद-काल एल्गोरिदम ऑप्टिकल वितरण के समान वितरण से नमूना ले सकता है (इनपुट के रूप में प्रयोग का विवरण दिया गया है), जब तक कि P ^#P = BPP ^{NP नहीं} । वास्तव में हम इसे मजबूत कर सकते हैं, एक एकल वितरण D _n (केवल इनपुट लंबाई n पर निर्भर करता है) देने के लिए जिसे पाली (n) आकार के एक ऑप्टिकल प्रयोग का नमूना लिया जा सकता है, लेकिन इसे पाली (n) में शास्त्रीय रूप से नमूना नहीं लिया जा सकता है ) समय जब तक पी ^# पी = बीपीपी ^एनपी ।

अनुमानित मामले में, स्थिति अधिक जटिल है। हमारा मुख्य परिणाम यह कहता है कि, यदि कोई शास्त्रीय बहुपद-काल एल्गोरिथ्म है जो ऑप्टिकल प्रयोग को भी लगभग अनुकरण करता है (आउटपुट पर प्रायिकता वितरण से नमूने के अर्थ में 1 / पाली (भिन्नता दूरी में) -लोक), तो BPP में ^एनपी , आप अनुमानित कर सकते हैं | प्रति (ए) | ² , 0 और विचरण 1 के साथ iid गाऊसी के एन-बाय-एन मैट्रिक्स ए पर उच्च संभावना के साथ।

हम अनुमान लगाते हैं कि उपरोक्त समस्या # पी-हार्ड (बहुत कम से कम, बीपीपी ^एनपी में नहीं ) है, और हमारे पेपर के पृष्ठ 57-82 सभी उस अनुमान के लिए सबूत हैं।

बेशक, हो सकता है कि हमारा अनुमान गलत हो, और कोई वास्तव में पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म को आईड गॉसियन मैट्रिसेस के स्थायित्व के बारे में बता सकता है। यह एक अभूतपूर्व परिणाम होगा! हालाँकि, हमने जो 85% काम किया, उसका पूरा बिंदु हर चीज को एक अनुमान के आधार पर तैयार करना था जो जितना संभव हो उतना साफ, सरल और "क्वांटम-मुक्त" था। दूसरे शब्दों में, धारणा के बजाय

"हमारे प्रयोग में उत्पन्न होने वाले कुछ अजीब, विशेष मैट्रिस के स्थायी अनुमान लगाना # पी-हार्ड है।"

हम दिखाते हैं कि यह धारणा बनाने के लिए पर्याप्त है

"आईड गॉसियन मैट्रिसेस के परमानेंट को # पी-हार्ड करना है।"

Comments

हमेशा मुझे खुशी होती है जब एक कागज का लेखक कागज के बारे में सवालों के जवाब देता है :)

— सुरेश वेंकट