अंकगणित सर्किट के बहुस्तरीयकरण का मूल्यांकन?

चलो एक क्षेत्र पर गुणांक के साथ एक बहु variate बहुपद हो । की multilinearization , द्वारा सूचित किया जाता , बार-बार की जगह प्रत्येक का परिणाम है के साथ से । परिणाम स्पष्ट रूप से एक बहुपत्नी बहुपद है। $p(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $p$ $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: अंकगणितीय सर्किट दी से अधिक और भी क्षेत्र तत्वों , गणना । $C(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $a_1,\ldots,a_n$ $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

प्रश्न: मान लें कि क्षेत्र-अंकगणित इकाई समय में किया जा सकता है, क्या इसके लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिदम है? बाद में जोड़ा गया: मुझे उस विशेष मामले में भी दिलचस्पी होगी जहां वास्तव में एक सूत्र है (फैन-आउट का एक सर्किट )। $C$ $1$

cc.complexity-theory polynomials

— slimton
स्रोत

यह एक बंद सर्किट के आउटपुट की गणना करने के बराबर क्यों होगा? समस्या मैं का सामना करना पड़ रहा सर्किट एक इनपुट से संबंध तोड़ना पथ हो सकता है है

कई आंतरिक गुणा नोड्स, और उन आंतरिक गुणा नोड्स में से हर एक के मूल्यांकन की जगह की आवश्यकता होगी

द्वारा

एक रास्ते में और द्वारा

अन्य में । रास्तों की एक घातीय संख्या वाले सर्किट में, ऐसा लगता है कि देखभाल करने के लिए मामलों की घातीय संख्या है।

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

a_{i}

$a_i$

1

$1$

— स्लिमटन

@Kaveh: मुझे नहीं मिला। सर्किट को देखो

। तुम सिर्फ के इनपुट नोड की जगह तो

मूल्य के साथ एक नोड द्वारा

और मानक तरीके से मूल्यांकन आप लौटने अंत

के बजाय

। गणना का मॉडल: ट्यूरिंग मशीनों पर सामान्य बहुपद समय। यदि आप चाहें, तो क्षेत्र को

रूप में

।

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— स्लिमटन

@Kaveh: मुझे समझ में नहीं आता है कि इस तरह के एक एल्गोरिदम का क्या मतलब है जो आप कहते हैं, लेकिन यह अंकगणित सर्किट जटिलता में एक आम परिकल्पना का खंडन करता है: कि स्थायी में कोई पॉली-आकार अंकगणित सर्किट नहीं है (F_2 के अलावा अन्य)। बहुपद पर विचार करें

। Multilinear हिस्सा

इस बहुपद की संपत्ति है कि अपने उच्चतम डिग्री (है

) हिस्सा सिर्फ

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

। यदि एक छोटा अंकगणित सर्किट कंप्यूटिंग

, तो कोई यह दिखा सकता है कि एक छोटा अंकगणित सर्किट कंप्यूटिंग

।

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— श्रीकांत

@ श्रीकांत: मैंने अपना उत्तर पोस्ट करने से पहले आपकी टिप्पणी नहीं देखी (जो कि आपकी टिप्पणी में आपके द्वारा दिए गए निर्माण के समान है)। मैंने तब से अपना उत्तर हटा दिया है, और आपको अपनी टिप्पणी एक उत्तर के रूप में पोस्ट करनी चाहिए।

— जोशुआ ग्रोको

@ जोशुआ: मैंने अपनी टिप्पणी को एक उत्तर के रूप में नहीं जोड़ा है क्योंकि मुझे समझ में नहीं आता है कि केव का निर्माण क्यों काम करता है। मुझे लगता है कि अंकगणित सर्किट एक बहुपद है कि सभी आदानों पर multilinearization के साथ सहमत हैं गणना करता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह गणना करता हूँ औपचारिक रूप से दिए गए बहुपद का multilinearization (कावेह के जवाब के बाद मेरी टिप्पणी देखें)। मेरा निर्माण (और तुम्हारा) यह मानता है कि बहु-निर्माण की औपचारिक रूप से गणना की जाती है।

— श्रीकांत

जवाबों:

इस मामले में कि फ़ील्ड का आकार कम से कम , मुझे लगता है कि यह समस्या कठिन है। अधिक विशेष रूप से, मुझे लगता है कि अगर इस बड़े के लिए कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है , तो सीएनएफ-एसएटी में कुशल यादृच्छिक एल्गोरिदम हैं। कहते हैं कि हम एक CNF सूत्र दिया जाता है । एक आसानी से एक अंकगणित सर्किट के साथ आ सकते हैं है कि एक `` arithmetization '' की गणना करता है के , जहां बहुपद फार्मूला के साथ सहमत हैं पर - आदानों। Multilinearization पर विचार करें के । ध्यान दें कि $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ के साथ सहमत हैं और इसलिए पर । $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

मैं दावा है कि गैर-शून्य है iff संतुष्टि योग्य है। जाहिर है, अगर , तो संतुष्ट नहीं किया जा सकता है। ऐंठन के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि कोई भी गैर-शून्य मल्टीलाइनर बहुपद सभी पर गायब नहीं हो सकता है । इसका मतलब है कि एक गैर शून्य (और इसलिए इसी ) में कुछ इनपुट पर गायब नहीं करता है । $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

इसलिए, के satisfiability के लिए जाँच चेकिंग के बराबर है, तो है गैर-शून्य है। अब, यह कहें कि हम एक बड़े क्षेत्र पर मूल्यांकन कर सकते हैं । फिर, Schwartz-Zippel Lemma का उपयोग करते हुए, हम एक कुशल यादृच्छिक एल्गोरिदम का उपयोग करके पहचान-परीक्षण कर सकते हैं और जांचें कि क्या यह शून्य बहुपद है ( का आकार Schwartz-Zippel Lemma में त्रुटि को ऊपरी करने के लिए उपयोग किया जाता है)। $\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— श्रीकांत
स्रोत

यह मुझे लगता है कि एफ एक निश्चित क्षेत्र है क्योंकि इनपुट में ऐसा कुछ भी नहीं है जो एफ निर्दिष्ट करता है। यह भी ध्यान दें कि प्रश्न मानता है कि फ़ील्ड संचालन में इकाई समय लगता है।

— केवह

धन्यवाद श्रीकांत जैसा कि केव ने अनुमान लगाया था कि मैं निश्चित परिमित क्षेत्र के मामले में वास्तव में दिलचस्पी रखता था, लेकिन आपने जो उत्तर दिया वह मुझे प्रश्न को थोड़ा बेहतर समझने में मदद करता है।

— स्लिमटन

मान लें कि वहाँ polytime एल्गोरिथ्म है कि दिए गए और के बहु-linearization का परिणाम गणना की पर । (मैं wlog समझेंगे कि उत्पादन का एक वेक्टर हो जाएगा द्विआधारी संख्या -बिट है iff एक है।) $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

$P \subseteq P/poly$ $M$

$C$ $M$ $C$

$F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

$F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

$F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

$F_p$ $C$ $C$

— कावेह
स्रोत

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— श्रीकांत

M

$M$

M

$M$ $C$