क्यों mod_m द्वार दिलचस्प हैं?

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रेयान विलियम्स ने एसीसी पर अपनी निचली बाउंड को पोस्ट किया , उन समस्याओं का वर्ग जो निरंतर फैन-इन और गेट्स के साथ निरंतर गहराई वाले सर्किट हैं और सभी संभावित मी के लिए OR, NOT और MOD_m हैं।

MOD_m फाटकों के बारे में क्या खास है?

वे किसी भी रिंग Z_m पर अंकगणित अनुकरण करने की अनुमति देते हैं।
रियान के परिणाम से पहले, मिश्रण को MOD_m फाटकों को फेंकने के लिए प्रथम श्रेणी दी गई थी, जिसके लिए ज्ञात निम्न सीमा काम नहीं करती थी।

क्या MOD_m द्वार का अध्ययन करने का कोई अन्य प्राकृतिक कारण है?

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

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एक प्राकृतिक जटिलता वर्ग है। $ACC^0$

1) Barrington गैर व्याख्या करने योग्य monoids कब्जा खत्म हो गया है कि गणना से पता चला , जबकि व्याख्या करने योग्य monoids से अधिक पर कब्जा । $NC^1$ $ACC^0$

$ACC^0$ $NC^1$

$S_4$

प्लानरिटी पर, कोई यह मानना चाहेगा कि सूचनाओं के प्रवाह में प्लेनरिटी प्रतिबंध / अड़चनें ला सकती है। यह हमेशा सच नहीं होता है: उदाहरण के लिए, प्लानर 3 एसएटी की विविधताएं एनपी-पूर्ण होने के लिए जानी जाती हैं। हालांकि, छोटी कक्षाओं में, इन प्रतिबंधों को रखने की अधिक "संभावना" है।

इसी तरह की नस में, विगडरसन ने पृथक लैम्मा का उपयोग करके एनएल / पाली = उल / पाली दिखाया। हम नहीं जानते कि एनएल = यूएल प्राप्त करने के लिए मनमाने ढंग से डीएजी पर अलगाव लेम्मा को कैसे व्युत्पन्न किया जाए, लेकिन हम जानते हैं कि प्लानर डीएजी के लिए ऐसा कैसे करना है ।

— वी विनय
स्रोत

1

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

7

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

@ विन: क्या आप सुनिश्चित हैं कि परिणाम NL / पाली = उल / पाली विगडरसन के कारण है?

— दाई ले

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$\bmod m$ $m$ $\bmod p$

लगातार गहराई सर्किट कि मिलकर बनता है के वर्ग पर विचार केवल की पत्ते पर फाटक, और इनपुट और स्थिरांक। फिर, कोई भी आसानी से दिखा सकता है कि OR फ़ंक्शन (उदाहरण के लिए) की गणना सर्किट के आकार की परवाह किए बिना ऐसे सर्किट द्वारा की जा सकती है। (ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसा कोई भी सर्किट पर एक कम डिग्री बहुपद की गणना करता है , और OR की डिग्री )। $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

हालाँकि, अगर हम ऐसे सर्किटों पर विचार करते हैं जिनमें केवल gates होते हैं जहाँ में कम से कम दो अलग-अलग कारक होते हैं, तो OR फ़ंक्शन के लिए गहराई सर्किट (घातीय आकार का) होता है। $\bmod m$ $m$ $2$

और रयान के परिणाम से पहले, मैं सबसे छोटी श्रेणी का अनुमान लगा रहा था जिसके लिए हमारे पास कोई कम निचला सीमा नहीं थी। $AC^0[\bmod 6]$

— रामप्रसाद
स्रोत

1

अंतिम वाक्य के लिए परिशिष्ट: यह पहले से ही ज्ञात था कि को निरंतर गहराई वाले सर्किट का उपयोग करके AND, OR, NOT, और फाटकों के लिए primes के लिए फाटकों की एक घातीय संख्या की आवश्यकता थी। (अपेक्षाकृत प्राइम कंपोजिट का भी विस्तार है।) चूंकि 6 दो अलग-अलग primes का सबसे छोटा संयुक्त है, "सबसे आसान" -कंप्यूट फ़ंक्शन है जो किसी भी घातीय निचले बाउंड के लिए ज्ञात नहीं था।

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

— डैनियल एपोन

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बस अपने दो बिंदुओं पर विस्तार से बताएं:

अगर हम समझ के व्यवसाय में हैं, तो मॉड्यूलर काउंटिंग हमारी समझ के मोर्चे में से एक है। मॉड्यूलर गणना गणना में सबसे सरल और सबसे प्राकृतिक घटनाओं में से एक है, फिर भी हम इसके बारे में बहुत कम समझते हैं। हम इस संभावना से इंकार नहीं कर सकते हैं कि बहुपद के आकार के 3 सर्किट सिर्फ मॉड 6 गेट्स के साथ एनपी में प्रत्येक फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं। यह अनुमान लगाया गया है कि इस तरह के सर्किट केवल बड़े समर्थन आकार के साथ कार्यों की गणना कर सकते हैं और इसलिए AND जैसे बहुत ही सरल कार्य की गणना नहीं कर सकते हैं। ऊपरी बाउंड साइड पर स्थिति समान है, हमारे पास कोई गैर-तुच्छ परिणाम नहीं है।

ये प्रश्न विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से भी बहुत दिलचस्प हैं क्योंकि वे Z_m से अधिक बहुपद और मैट्रिसेस के बारे में बहुत ही स्वाभाविक प्रश्नों से जुड़े हैं। एक उदाहरण देने के लिए, हमारे पास Z_6 पर एक nxn कोडियागल मैट्रिक्स की रैंक के लिए अच्छे निचले सीमा नहीं हैं। एक कोडिएगोनल मैट्रिक्स में विकर्ण और गैर-अक्ष पर विकर्ण पर 0s होता है।

— aada
स्रोत

: "समग्र सापेक्ष बनाम प्रधानमंत्री" में रुचि रखने वालों विन्स Grolmusz के मुख पृष्ठ की जाँच करनी चाहिए grolmusz.pitgroup.org

— Stasys