N- रानियों की जटिलता-पूर्णता?

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शास्त्रीय पूछता समस्याओं -queens, एक सकारात्मक पूर्णांक दी , एक सरणी है या नहीं निम्न स्थितियों में संतोषजनक पूर्णांकों का: $n$ $n$ $Q[1..n]$

सभी के लिए $1\le Q[i] \le n$ $i$
सभी के लिए $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
सब के लिए $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
सब के लिए $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

प्रत्येक पूर्णांक शतरंज की वीं पंक्ति पर एक रानी की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है ; अड़चनें इस आवश्यकता का सामना करती हैं कि कोई भी रानी किसी अन्य रानी पर हमला न करे। यह साबित करना आसान है कि या होने पर कोई समाधान नहीं है , और अन्य सभी मूल्यों के लिए बंद-फॉर्म समाधान ज्ञात हैं । इस प्रकार, एक निर्णय समस्या के रूप में, -ens की समस्या पूरी तरह से तुच्छ है। $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

के लिए मानक बैक ट्रैकिंग एल्गोरिथ्म का निर्माण एक -queens समाधान अनुमान के आधार पर पंक्तियों की एक उपसर्ग पर क्वीन्स स्थानों और फिर रिकर्सिवली शेष पंक्तियों पर क्वीन्स के एक कानूनी नियुक्ति है कि क्या वहाँ निर्धारित करता है। पुनरावर्ती उपप्रकार को इस प्रकार औपचारिक रूप दिया जा सकता है: $n$

पूर्णांक और अरेंजर्स एक सरणी को देखते हुए , एक सरणी का उपसर्ग है जो -queens समस्या के समाधान का वर्णन करता है? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

क्या यह अधिक सामान्य निर्णय समस्या एनपी-कठिन है?

आस-पास के कई प्रश्नों को एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है, जिसमें लैटिन स्क्वायर पूर्णता [ कोलबोन 1984 ], सुडोकू पूर्णता [ यतो और सेता 2002 ], और टोकन्स का एक अलग सामान्यीकरण [ मार्टिन 2007 ] शामिल है, लेकिन यह विशिष्ट प्रश्न बच गया लगता है कोई गंभीर ध्यान। $n$

संबंधित cstheory.se प्रश्न:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
स्रोत

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अगर मैं सुडोकू के मौजूदा एनपी-पूर्णता प्रमाण, लैटिन वर्ग पूरा होने, (और इसी तरह की अन्य समस्याओं के टन) के बारे में सोच रहा हूँ ... वास्तव में उदाहरणों के रसीला / विरल प्रतिनिधित्व के साथ संबंधित है (जैसे लैटिन स्क्वायर समापन एनपीसी सबूत, कोलोन में "एनपी में सदस्यता तत्काल है" लेकिन वह किसी भी उदाहरण के एन्कोडिंग मुद्दे का उल्लेख नहीं करता है)।

— मार्जियो डी बियासी

1

@ मार्ज़ियो: ये सबूत प्रतिनिधित्व पर अत्यधिक निर्भर हैं, और (भले ही यह आमतौर पर भी उल्लेख नहीं किया गया है) यह अक्सर एनपी में सदस्यता स्थापित करने के लिए भी तुच्छ नहीं है, उदाहरण के लिए cstheory.stackexchange.com/a-5559/109

— András देखें सालमन

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वर्षों लग गए लेकिन इस पोस्ट ने हमें एक पेपर लिखने के लिए प्रेरित किया जो आज सामने आया है।

इसका उत्तर यह है कि n क्वींस कंप्लीशन एनपी-कम्प्लीट है। हालांकि पूर्ण प्रकटीकरण के लिए हमें समस्या का एक मामूली प्रकार हल करना चाहिए। हमारे मामले में रानियों के सेट को पूर्ण सेट का उपसर्ग नहीं होना चाहिए। इसलिए तकनीकी रूप से हमने यहां पूछी गई सटीक समस्या का समाधान नहीं किया है। हालाँकि यह बेहद आश्चर्यजनक होगा यदि इस प्रश्न से n क्वींस कंप्लीशन का संस्करण भी NP-Complete नहीं था।

मैं इस सवाल को उठाने के लिए जेफ को पेपर में दिए गए धन्यवाद को दोहराना चाहता हूं।

एन कन्सन कंप्लीशन जर्नल ऑफ़ एआई रिसर्च गेंट, जेफरसन, नाइटिंगेल डोई की जटिलता: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— इयान जेंट
स्रोत

अच्छा लगा। बधाई हो!

— जेफ

n - 1

$n-1$

n

$n$

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(यह कुछ संबंधित परिणामों की ओर इशारा करता है। मैंने शुरू में सोचा था कि संबंधित परिणाम बहुत संबंधित हैं, लेकिन मैं अंतराल को जल्दी से नहीं भर सकता हूं, इसलिए शायद वे सब के बाद इतने संबंधित नहीं हैं। शायद अभी भी उपयोगी हैं।)

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग के आर्ट के .2.२.२.२ सेक्शन के ड्राफ्ट में ११ का प्रयोग एक समान समस्या को देखता है। समाधान में, नूथ एक लेख का श्रेय देता है जो बदले में क्रेडिट करता है

गार्डनेरा, ग्रिट्जमैनब, प्रानगेनबर्ग, अपने एक्स-रे , 1999 से जाली सेट के पुनर्निर्माण की कम्प्यूटेशनल जटिलता पर

$[2]=\{0,1\}$

$r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

यह मुझे स्पष्ट नहीं है कि आपकी समस्या को कैसे कम किया जाए। एक अवलोकन जो मदद कर सकता है वह यह है कि आपकी समस्या का आउटपुट भी केवल रकम पर निर्भर करता है, न कि रानियों की सटीक स्थिति पर। ([रिविन में प्रमेय 2.4 देखें, एन-क्वींस समस्या, 1992 के लिए एक गतिशील प्रोग्रामिंग समाधान ], हालांकि शायद यह देखना आसान है।)

नुथ ने साबित किया है कि बायिनरी डिजिटल टॉमीग्राफी एनपी-पूर्ण है जो बायिनरी कॉन्टिनेंस प्रोब्लेम से कमी के द्वारा पूरा होता है। यह 3 आयामों को छोड़कर और विकर्णों के बिना एक बहुत ही समान समस्या है।

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

$x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

गार्डनेरा एट अल द्वारा लेख। अधिक मानक एनपी-पूर्ण समस्याओं से कम करने के लिए लगता है। मैं इसे समझने के लिए या तो कमी को अच्छी तरह से समझ नहीं पा रहा हूँ, इसलिए यदि आप चाहें तो मैं आपके लिए ऊपर से पॉइंटर्स छोड़ दूँगा।

यह सब बेकार हो सकता है, जब तक कि कोई व्यक्ति BINARY DIGITAL TOMOGRAPHY को कम करने के तरीके का पता नहीं लगाता।

— राडू ग्रिगोर
स्रोत