यह समस्या की जटिलता का जवाब नहीं है, लेकिन यह कम से कम यह दर्शाता है कि जटिलता के पास एक मौका है कि यह अनैतिक है: यह एक घन ग्राफ का एक उदाहरण है जिसे पथ और पंजे में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
(स्रोत: uci.edu )
इसके प्रत्येक तीन पालियों के भीतर, पथों और पंजों में कोई भी विभाजन केवल सात किनारों में से छह का उपयोग कर सकता है। शेष छह केंद्रीय किनारों को उप-विभाजित प्रत्येक किनारे के साथ एक पंजे का रूप लेते हैं, जिसे पथ और पंजे में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
ईटीए : ऊपर दिखाया गया ग्राफ एक परिपूर्ण मिलान के बिना क्यूब ग्राफ के उदाहरण के रूप में अधिक प्रसिद्ध है। लेकिन एक पूर्ण मिलान के साथ प्रत्येक घन ग्राफ में पथों में अपघटन होता है (किसी पंजे का उपयोग नहीं भी)। कोनिग के प्रमेय द्वारा इसमें सभी क्यूबिक द्विपदीय आलेख शामिल हैं और पीटरसन के प्रमेय के तहत टिप्पणियों में जोसेफ मल्केविच के एक प्रश्न का उत्तर देते हुए सभी क्रूर घन आलेख शामिल हैं।
इसका प्रमाण बहुत सरल है: यदि M एक घन ग्राफ में एक पूर्ण मिलान है, M का निष्कासन 2-नियमित ग्राफ़ छोड़ता है, जो कि चक्रों का एक अलग संघ है। प्रत्येक चक्र को मनमाने ढंग से ओरिएंट करें, और चक्र के किनारों के लिए एम के प्रत्येक किनारे को संलग्न करें जो उनके चक्र के झुकाव में यू और वी का पालन करते हैं।
दूसरी दिशा में, यदि पथ में एक अपघटन मौजूद है, तो एक परिपूर्ण मिलान मौजूद है: प्रत्येक पथ के मध्य किनारों का मिलान होना चाहिए क्योंकि कोई भी दो मध्य किनारा एक डिग्री-तीन शीर्ष साझा नहीं कर सकते हैं।
(डिस्क्लेमर: यह विचार जीडी 2010 में कार्स्टन थॉमासेन की आमंत्रित वार्ता में पहले से ही मौजूद हो सकता है, जो इस प्रकार के ग्राफ अपघटन समस्या के बारे में था।)
(डिस्क्लेमर के अलावा (एंथोनी लैब्रा के द्वारा): जोन्गेर, रेनेल्ट और पुलीब्लांक द्वारा इस पेपर में एक पूर्ण मिलान से पथों में जाने के लिए "अभिविन्यास विचार" दिखाई देता है , जो इसे डब्ल्यूएच कनिंघम को विशेषता देता है।)