लोअर का आकलन पर बाध्य

मैं जानना चाहता हूं ( इस अन्य प्रश्न से संबंधित ) यदि निम्न परीक्षण समस्या के लिए निम्न सीमाएं जानी जाती थीं: किसी को गैर-नकारात्मक संख्याओं के अनुक्रम तक क्वेरी एक्सेस दी जाती है और , इस वादे के साथ कि या तो या । $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

कम से कम संभावना वाले दो मामलों के बीच अंतर करने के लिए (अनुकूली) यादृच्छिक एल्गोरिथ्म के लिए कितने प्रश्न (लुकअप) पर्याप्त और आवश्यक हैं ? $2/3$

मुझे एक पिछली पोस्ट मिली है जो राशि के अनुमान लगाने की संबंधित समस्या के लिए एक लघुगणकीय ( ) ऊपरी सीमा देता है, और नियतात्मक एल्गोरिदम के लिए उस समस्या पर एक मोटे तौर पर मिलान वाली निचली सीमा; लेकिन मैं (विशेष रूप से, यादृच्छिक एल्गोरिदम) पर विचार कर रहा हूँ विशिष्ट समस्या के लिए एक परिणाम नहीं मिल सका। $n$

संपादित करें: नीचे दिए गए उत्तर के बाद, मुझे लगता है कि मुझे स्पष्ट होना चाहिए था: ऊपर (और विशेष रूप से निचले बाउंड के लिए एसिम्पोटिक्स में), "मुख्य" मात्रा है जिसे अनन्तता में जाने के रूप में देखा जाता है, जबकि एक है (मनमाने ढंग से) छोटा) स्थिर। $n$ $\varepsilon$

reference-request randomized-algorithms property-testing

— क्लेमेंट सी।
स्रोत

मुझे लगता है कि आपका मतलब

।

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— RB

वास्तव में - यह तय किया।

— क्लेमेंट सी।

खैर, आदेश के बिना

पर निर्भरता आवश्यक होगी, मैं (नमूनाकरण के साथ या बिना) प्रतिध्वनित करता हूं। एक "बुरा" उदाहरण (दृश्यों की जोड़ी) उदाहरण के लिए के साथ सभी एक दृश्य होगा

के के बराबर किया जा रहा है

n

$n$

a_{k}

$a_k$

, एक को छोड़कर (अनियंत्रित, यादृच्छिक)

ऐसा कि

या तो

(पहले क्रम में) और

(दूसरे में) केबराबर है। बिना

प्रश्नों, दो दृश्यों के अलावा यह नहीं बताया जा सकता है ...

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— क्लेमेंट सी

मुझे लगता है क्वेरी मॉडल आप चयन कर सकते हैं

जिसके लिए आप क्वेरी

, क्या यह सही है?

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— कोडालू

हां (आपको "खुलासा" करने के लिए जो भी बिंदु चुनना हो)।

— क्लेमेंट सी।

जवाबों:

यहाँ निचले सीमाएँ हैं जिन्हें मैं दिखा सकता हूँ। मैं अनुमान है कि एक निश्चित के लिए , सही बाध्य कम है , लेकिन स्वाभाविक रूप से मैं गलत हो सकता है। $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

मैं एक घटते क्रम का उपयोग करने जा रहा हूं (सिर्फ सुविधा के लिए)। बुनियादी तंत्र अनुक्रम को ब्लॉक में तोड़ रहा है । में वें ब्लॉक वहाँ होने जा रहे हैं तत्वों (यानी, )। $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

निम्नलिखित में, हम एल्गोरिथ्म चाहते संभावना के साथ सफल होता है करने के लिए , कुछ पैरामीटर के लिए । $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

पहले निचले बाउंड: । $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

वें ब्लॉक है तत्वों, इसलिए । हमने वें ब्लॉक में सभी तत्वों का मान निर्धारित किया है , जहाँ एक चर है जो कि या । जाहिर है, इस क्रम का कुल योग है $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$ प्रत्येक उठा कल्पना कीजिएसंभावना के साथहोने के लिएऔरअन्यथा। अनुमान लगाने के लिए, हम का एक विश्वसनीय अनुमान जरूरत। कण में, हम आधार भेद करने में सक्षम होना चाहता हूँऔर, कहते हैं,।

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

अब, इन रैंडम वेरिएबल्स के सैंपलिंग की कल्पना करें, और सैंपल वेरिएबल होने दें। सेटिंग्स (ध्यान दें, कि हम की राशि ले जा रहे हैं पूरक चर), हमारे पास है है, और Chernoff असमानता हमें बताता है कि अगर $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ , तो है, और असफलता की संभावना है की तुलना में इस मात्रा को छोटा करने के लिए $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

, हम की जरूरत

δ

$\delta$

।

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

मुख्य अवलोकन यह है कि चेरनॉफ असमानता तंग है (किसी को सावधान रहना होगा, क्योंकि यह सभी मापदंडों के लिए सही नहीं है, लेकिन यह इस मामले में सही है), इसलिए आप इससे बेहतर (स्थिरांक तक) नहीं कर सकते।

दूसरा बाध्य कम: । $\Omega( \log n / \log \log n)$

सेट वें ब्लॉक आकार होने के लिए , जहां ब्लॉक की संख्या है। वें ब्लॉक में एक तत्व का मान । तो अनुक्रम में मानों का कुल योग । $i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

अब, हम एक मनमाना ब्लॉक लेने, कहने के लिए तय कर सकते हैं वें एक है, और अपने ब्लॉक में सभी मूल्यों को निर्धारित होने की (के बजाय )। इससे th ब्लॉक का योगदान से बढ़ जाता है, और अनुक्रम का कुल द्रव्यमान (लगभग) बढ़ जाता है । $j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

अब, अनौपचारिक रूप से, किसी भी यादृच्छिक एल्गोरिदम को प्रत्येक एक ब्लॉक में मूल्य की जांच करनी चाहिए। इस प्रकार, इसे अनुक्रम के कम से कम मानों को पढ़ना चाहिए । $L$

संभावना के साथ, ऊपर तर्क और अधिक औपचारिक बनाने के , द्रव्यमान का मूल अनुक्रम देना इनपुट के रूप में (हम मूल इनपुट के रूप में इस को देखें)। अन्यथा, बेतरतीब ढंग से उस ब्लॉक का चयन करें जिसमें वृद्धि हुई मान (संशोधित इनपुट) है। जाहिर है, अगर यादृच्छिक एल्गोरिथ्म जो एक राशि, कम पढ़ता प्रविष्टियों, यह संभावना (मोटे तौर पर) है एक संशोधित इनपुट पता लगाने के लिए। जैसे, यह एल्गोरिथ्म की संभावना विफल रहती है, अगर यह से कम प्रविष्टियाँ पढ़ता है तो कम से कम $p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

पुनश्च मैं पैरामीटर के बारे में और अधिक सावधान होने से लगता है, पहली बाध्य करने के लिए सुधार किया जा सकता कम । $\Omega(1/\epsilon^2)$

— सरियल हर-पेलेड
स्रोत

इसके लिए शुक्रिया! मेरे पास पहले,

lb (अधिक विशेष रूप से संभव द्विघात सुधार) के संबंध में एक छोटा सा प्रश्न है । हम यहाँ है के बाद से एक तरफा वादा समस्या, जिसका मतलब है कि जैसे ही एल्गोरिथ्म के रूप में "देखता है" किसी भी मूल्य है कि किसी भी सबूत है कि देता है

, इसके बारे में एक अधिक सटीक अनुमान प्राप्त किए बिना निष्कर्ष निकाल सकते हैं

: नहीं है मतलब है कि कि

इस निर्माण के लिए इष्टतम है, जैसा कि मूल रूप से एक उम्मीद होती है सभी या तो

1, या कम से कम एक होने के लिए की

अंश होने के लिए नहीं?

Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

— क्लेमेंट सी।

हाँ। यदि आप रैली केवल 1 और 1-एप्सिलॉन के बीच अंतर करना चाहते हैं, तो निश्चित रूप से आप निचली सीमा में सुधार नहीं कर सकते हैं ... मैं अन्य श्रेणियों को अलग करने की कोशिश करने के बारे में सोच रहा था ... s

— Sariel Har-Peled

निम्न परिबंध

कम से कम दो मामलों को अलग करने के लिए प्रश्न आवश्यक हैं। $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

अनुक्रम पर विचार करें द्वारा दिए गए , साथ ताकि चुना । विशेष रूप से, हम ले जा सकते हैं $a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ । $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

अब एक नया अनुक्रम का निर्माण घटाकर ऊपर अनुक्रम का एक एक तत्व को संशोधित करके । दूसरे शब्दों में, , , आदि, सिवाय इसके कि । सूचना है कि । $a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

कितने जांच अलग करने के लिए ले करता है से ? खैर, वे केवल एक ही तत्व (में मतभेद है , वें तत्व) तो यह लेता है भेद की एक निरंतर संभावना प्राप्त करने के लिए जांच। अब याद है कि $a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ ; हम पाते हैं कि $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ जांच की जरूरत है। $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

ऊपरी सीमा

मुझे लगता है कि आप का उपयोग कर दो मामलों को अलग कर सकते प्रश्नों। मुझे नहीं पता कि क्या यह इष्टतम है। $O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

ऐसे। आइए इस भाग को रूप में विभाजित करें : $[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

इसलिए प्रत्येक यह एक विभाजन है मान को उसी के ऊपर श्रृंखलाओं में से एक में गिर चाहिए। हम विभाजन करेंगे जो करने के लिए लेकर वे में हैं अनुसार मूल्यों। प्रत्येक मान को उसी इन श्रृंखलाओं में से एक में गिर जाता है, और वे जो किसी विशेष रेंज में आते हैं सब अपने क्रमबद्ध क्रम में लगातार दिखाई देते हैं। इसलिए, किसी भी श्रृंखला के लिए , हम सूचकांक पा सकते हैं ऐसी है कि $a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ द्विआधारी खोज का उपयोग करना। इसके लिए बाइनरी आवश्यकता होती है । हमने मान लिया है कि $O(\lg(n/\epsilon))$

अब, हम प्रत्येक श्रेणी में मानों के योग का अनुमान लगाएंगे। पहली सीमा को बाकी सभी से अलग संभाला जाएगा:

पहली श्रेणी के लिए , हम दोनों के बीच कहीं है कि रेंज में मानों का योग बाध्य कर सकते हैं और , जहां मानों उस सीमा के भीतर गिर की संख्या है। चूंकि , इस में निरपेक्ष त्रुटि बाध्य ज्यादा से ज्यादा हो जाएगा । $[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
$\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— DW
स्रोत

धन्यवाद - यह दिलचस्प लग रहा है (जहां तक मैं बता सकता हूं, यह उतना ही दृष्टिकोण नहीं है जितना कि ऊपर लिखे गए पेपर / चर्चा में इस्तेमाल किया गया है), और मैंने जो लिखा है उस पर आपकी गहरी नजर होगी। हालाँकि, मैं ऊपरी बाउंड के बजाय कम बाउंड की तलाश कर रहा हूं - यानी, कितने प्रश्न आवश्यक हैं ।

— क्लेमेंट सी।

(जैसा कि समय समाप्त हो गया है, मैं फिर भी जवाब के लिए "इनाम" प्रदान कर रहा हूं - हालांकि मैं अभी भी एक कम बाध्य के लिए एक संदर्भ की तलाश कर रहा हूं, अगर वहां कहीं एक है।)

— क्लेमेंट सी।

@ClementC।, मैंने आपके अनुरोध के अनुसार, एक निचली सीमा जोड़ी है।

— डीडब्ल्यू

n

$n$

ε

$\varepsilon$