टाइप की गई लैम्ब्डा कैल्कटी एक दिए गए जटिलता के नीचे * सभी * एल्गोरिदम को व्यक्त कर सकती है?

मुझे पता है कि वाई कॉम्बिनेटर आदिम के बिना टाइप किए गए लंबोदी की अधिकांश किस्मों की जटिलता को बांधा जाता है, अर्थात बंधे हुए जटिलता के केवल कार्यों को व्यक्त किया जा सकता है, बाउंड बड़ा होने के साथ ही टाइप सिस्टम की जटिलता बढ़ती है। मुझे याद है कि, उदाहरण के लिए, कंक्लेक्टस ऑफ़ कंस्ट्रक्शंस सबसे दोगुनी घातीय जटिलता पर व्यक्त कर सकते हैं।

मेरा प्रश्न यह चिंता करता है कि क्या टाइप किया हुआ लंबो गणना एक निश्चित जटिलता से नीचे सभी एल्गोरिदम को व्यक्त कर सकता है , या केवल कुछ? उदाहरण हैं कि लैंबडा क्यूब में किसी भी औपचारिकता द्वारा व्यक्त किए गए कोई घातांक-समय के एल्गोरिदम नहीं हैं? जटिलता अंतरिक्ष का "आकार" क्या है जो पूरी तरह से क्यूब के विभिन्न चक्करों से ढंका है?

— jkff
स्रोत

मुझे लगता है कि उत्तर हां है: हम बंधे हुए समय के सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन को व्यक्त कर सकते हैं।

— केव

क्या आप दोगुनी घातीय ऊपरी सीमा के बारे में निश्चित हैं? अगर मैं सही ढंग से याद, सीओसी सबसे अर्थपूर्ण लैम्ब्डा घन के "कोने" है, जो यह प्रणाली एफ (यानी बहुरूपी शामिल मतलब है

λ

$\lambda$ -calculus) है, जो चला जाता है जिस तरह से परे दोगुना घातीय ... वैसे भी, इस सवाल का जवाब निश्चित रूप से हां में है , उदाहरण के लिए मेरे जवाब यहाँ देखें । यदि आप चाहें तो मैं और अधिक विस्तृत उत्तर पोस्ट कर सकता हूं।

— डेमियानो माज़ा

क्षमा करें, मैं आपके प्रश्न को गलत मानता हूं , आप कुछ टाइप किए गए

λ

$\lambda$ -culculi के बारे में नहीं पूछ रहे हैं, लेकिन विशेष रूप से लंबा क्यूब के टाइप किए गए

λ

$\lambda$ -culculi के बारे में । मुझे डर है कि वहाँ कोई दिलचस्प जटिलता नहीं है कर रहा हूँ, वे सब, हालांकि मैं केवल प्रणाली एफ और प्रणाली एफ के लिए सटीक जवाब पता कर रहे हैं अभी तक बहुत अभिव्यक्तिपूर्ण,

।

_{ω}

$_\omega$

— दामियानो मजाज़

Ackermann फ़ंक्शन को कंस्ट्रक्शन के कलन में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए यह सही नहीं हो सकता है कि एक बस दोगुना घातीय है।

— कन्या बाउर

मुझे लगता है कि मैं Coq'Art पुस्तक में उस बाध्यता के बारे में पढ़ता हूं लेकिन मुझे बहुत गलत लगता है। धन्यवाद!

— jkff

जवाबों:

मैं आंशिक उत्तर दूंगा, मुझे उम्मीद है कि अन्य लोग रिक्त स्थान को भर देंगे।

में टाइप -calculi, एक डेटा के सामान्य निरूपण करने के लिए एक प्रकार दे सकते हैं ( चर्च के लिए (एकल) पूर्णांकों, द्विआधारी तार के लिए, Booleans के लिए) और आश्चर्य क्या कार्यों की जटिलता है / टाइप किए गए शब्दों द्वारा समस्याओं / प्रतिनिधित्व योग्य / निर्णायक। मैं केवल कुछ मामलों में एक सटीक asnwer जानता हूं, और बस टाइप किए गए मामले में यह "प्रतिनिधित्व योग्य / निर्णायक" को परिभाषित करते समय उपयोग किए जाने वाले सम्मेलन पर निर्भर करता है। किसी भी तरह, मुझे किसी भी मामले का पता नहीं है जिसमें एक दोगुना घातीय ऊपरी सीमा है। $\lambda$ $\mathsf{Nat}$ $\mathsf{Str}$ $\mathsf{Bool}$

सबसे पहले, लैम्ब्डा क्यूब पर एक संक्षिप्त पुनरावृत्ति। इसकी 8 गणना केवल टाइप किए गए -calculus (STLC) के शीर्ष पर निम्न 3 प्रकार की निर्भरता को सक्षम या अक्षम करके प्राप्त की जाती है : $\lambda$

बहुरूपता : शब्द प्रकारों पर निर्भर हो सकते हैं;
आश्रित प्रकार : शब्द शर्तों पर निर्भर हो सकते हैं;
उच्च आदेश : प्रकार प्रकार पर निर्भर हो सकते हैं।

(शर्तों पर निर्भरता हमेशा रहती है)।

यहाँ बहुरूपता पैदावार जोड़ना प्रणाली एफ, आप के साथ चर्च पूर्णांकों टाइप कर सकते हैं , और इसी तरह बाइनरी स्ट्रिंग्स और बुलियन के लिए। गिरार्ड ने साबित किया कि सिस्टम एफ टाइप की शर्तें बिल्कुल संख्यात्मक कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है जिनकी समग्रता दूसरे क्रम में पीनो अंकगणितीय में साबित होती है। यह बहुत ज्यादा रोजमर्रा की गणित है (किसी भी प्रकार के विकल्प के बिना), इसलिए वर्ग बहुत बड़ा है, एकरमैन फ़ंक्शन इसमें एक प्रकार का छोटा सूक्ष्म जीव है, जो अकेले कार्य करते हैं $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$ $\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ । मुझे किसी भी "प्राकृतिक" संख्यात्मक कार्य का पता नहीं है, जिसे सिस्टम एफ में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। उदाहरण आमतौर परविकर्णीकरणद्वारा बनाए जाते हैं, या दूसरे ऑर्डर पीए, या अन्य स्व-संदर्भ चाल की स्थिरता को एन्कोडिंग करते हैं (जैसेसिस्टम मेंअसमान लंबाईतय करना)एफ खुद)। सिस्टम एफ में निश्चित रूप से आप यूनी पूर्णांकबीचऔर उनके बाइनरी प्रतिनिधित्वपरिवर्तित कर सकते हैं, और फिर उदाहरण के लिए परीक्षण कर सकते हैं कि क्या पहला बिट 1 है, इसलिए डिसेडेबल समस्याओं का वर्ग (प्रकारके प्रकार से) समान रूप से विशाल है। $2^{2^n}$ $\beta$ $\mathsf{Nat}$ $\mathsf{Str}$ $\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

लैम्ब्डा घन के अन्य 3 पथरी जो बहुरूपता शामिल इसलिए कर रहे हैं प्रणाली एफ के रूप में अर्थपूर्ण रूप में कम से कम ये शामिल प्रणाली एफ (बहुरूपता + उच्च आदेश) है, जो वास्तव में उच्च आदेश पीए में provably कुल कार्यों व्यक्त कर सकते हैं, और की पथरी कंस्ट्रक्शंस (सीओसी), जो क्यूब का सबसे स्पष्ट गणना है (सभी निर्भरता सक्षम हैं)। मैं अंकगणितीय सिद्धांतों या सेट सिद्धांतों के संदर्भ में सीओसी की अभिव्यक्ति का लक्षण वर्णन नहीं जानता, लेकिन यह बहुत भयावह होना चाहिए :-) $_\omega$

मैं केवल आश्रित प्रकार (अनिवार्य रूप से मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत बिना समानता और प्राकृतिक संख्या), उच्च क्रम प्रकार या दोनों को सक्षम करके प्राप्त की गई गणना के बारे में अधिक अज्ञानी हूं। इन गणनाओं में, प्रकार शक्तिशाली होते हैं लेकिन शब्द इस शक्ति तक नहीं पहुंच सकते हैं, इसलिए मुझे नहीं पता कि आपको क्या मिलता है। कम्प्यूटेशनल रूप से, मुझे नहीं लगता कि आपको सरल प्रकारों की तुलना में बहुत अधिक अभिव्यक्ति मिलती है, लेकिन मुझसे गलती हो सकती है।

इसलिए हम STLC के साथ रह गए हैं। जहां तक मुझे पता है, यह दिलचस्प (यानी, राक्षसी रूप से बड़ा नहीं) जटिल ऊपरी घावों के साथ घन का एकमात्र कलन है। TCS.SE पर इसके बारे में एक अनुत्तरित प्रश्न है , और वास्तव में स्थिति थोड़ी सूक्ष्म है।

सबसे पहले, यदि आप एक परमाणु ठीक करते हैं और से परिभाषित करते हैं , तो वहां Schwichtenberg का परिणाम होता है (मुझे पता है कि वेब पर उस पेपर का अंग्रेजी अनुवाद कहीं है, लेकिन मुझे यह नहीं मिल रहा है अब) जो आपको बताता है कि प्रकार के कार्यों वास्तव में विस्तारित बहुपद हैं (साथ अगर-तो-और कुछ)। आप कुछ "ढीला" अनुमति देते हैं, यानी आप पैरामीटर की अनुमति देने के होगा पर instantiated जा करने के लिए और प्रकार के मामले पर विचार $X$ $\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$ $\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ $X$ with मनमाना, बहुत अधिक प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, exponentials के किसी भी टावर (ताकि आप दोगुना घातीय परे अच्छी तरह से जा सकते हैं) के साथ ही पूर्ववर्ती समारोह, लेकिन अभी भी कोई घटाव (यदि आप द्विआधारी कार्यों पर विचार करने और साथ उन्हें टाइप करने की कोशिश )। तो एसटीएलसी में प्रतिनिधित्व करने वाले संख्यात्मक कार्यों का वर्ग थोड़ा अजीब है, यह प्राथमिक कार्यों का एक सख्त सबसेट है लेकिन अच्छी तरह से ज्ञात किसी भी चीज के अनुरूप नहीं है। $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$ $A$ $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

इसके बाद के संस्करण के साथ स्पष्ट विरोधाभास में, वहाँ इस पत्र Mairson द्वारा जो शो कैसे एक के संक्रमण समारोह एन्कोड करने के लिए मनमाने ढंग से ट्यूरिंग मशीन , जिसमें से आप प्रकार की अवधि प्राप्त कुछ प्रकार के लिए ( के आधार पर ), जो, एक चर्च पूर्णांक दी इनपुट के रूप में, के निष्पादन simulates फार्म के कई कदम के लिए एक निश्चित प्रारंभिक विन्यास से शुरू $M$ $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$ $A$ $M$ $n$ $M$

2^{2^{⋮^{2^{n}}}},

$2^{2^{\vdots^{2^n}}},$ टावर की ऊंचाई तय होने के साथ। यह नहीं है पता चलता है कि हर प्राथमिक समस्या STLC द्वारा डिसाइडेबल है, वहाँ (के प्रकार के एक द्विआधारी स्ट्रिंग परिवर्तित करने का कोई रास्ता नहीं है STLC में क्योंकि

) के इनपुट का प्रतिनिधित्व

के विन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया प्रकार के

में Mairson की एन्कोडिंग। तो एन्कोडिंग किसी भी तरह से "गैर-समान" है: आप प्रत्येक इनपुट के लिए एक अलग शब्द का उपयोग करके, एक निश्चित इनपुट से प्राथमिक रूप से लंबे समय के निष्पादन को अनुकरण कर सकते हैं, लेकिन कोई भी शब्द ऐसा नहीं है जो मनमाना इनपुट को संभालता हो।

S t r

$\mathsf{Str}$

M

$M$

M

$M$

वास्तव में, यह "समान रूप से" तय कर सकता है कि एसटीएलसी बेहद कमजोर है। हमें भाषाओं के वर्ग को टाइप की शर्तों के अनुसार टाइप करने योग्य कहा जाता है कुछ (जैसे ऊपर, आप टाइपिंग में "सुस्त" होने की अनुमति देते हैं)। जहां तक मुझे पता है, का एक सटीक लक्षण वर्णन गायब है। हालांकि, हमें पता है कि $\mathcal C_{ST}$ $\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$ $A$ $\mathcal C_{ST}$ $\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$ (निर्धारक रैखिक समय)। दोनों की मौजूदगी और तथ्य यह है कि यह सख्त है, बहुत ही स्वच्छंद तर्क द्वारा दिखाया जा सकता है (परिमित सेट की श्रेणी में STLC के मानक डिमोनेटिक शब्दार्थ का उपयोग करके)। पूर्व को हाल ही में तेरुई द्वारा दिखाया गया था । उत्तरार्द्ध अनिवार्य रूप से स्टेटमैन के पुराने परिणामों का सुधार है। में समस्या का एक उदाहरण बहुमत है (एक द्विआधारी स्ट्रिंग को देखते हुए, बताओ कि क्या यह 0s से सख्ती से अधिक 1s शामिल हैं)। $\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

(बहुत) बाद में एड-ऑन: मैं बस पता चला कि वर्ग मैं फोन वास्तव में ऊपर है एक सटीक लक्षण वर्णन है, जो इसके अलावा अत्यंत सरल है। में इस खूबसूरत 1996 कागज , Hillebrand और Kanellakis साबित अन्य बातों के अलावा, कि $\mathcal C_{ST}$

प्रमेय। ( पर नियमित भाषाएं )। $\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$ $\{0,1\}$

(यह उनके पेपर में प्रमेय 3.4 है)।

मुझे यह दोगुना आश्चर्यजनक लगता है: मैं स्वयं परिणाम से आश्चर्यचकित हूं (यह मेरे लिए कभी नहीं हुआ कि कुछ "साफ" के अनुरूप हो सकता है) और यह कितना कम ज्ञात है। यह भी मनोरंजक है कि अपर बाउंड के तेरुई के प्रमाण में हिलेब्रांड और कैनेलैकिस द्वारा नियोजित समान विधियों का उपयोग किया गया है (बस सेट-टाइप किए गए -calculus को फाइन सेट की श्रेणी में व्याख्या करना )। दूसरे शब्दों में, तेरुई (और स्वयं) आसानी से इस परिणाम की खोज कर सकते थे कि क्या यह इस तथ्य के लिए नहीं था कि हम किसी भी तरह से "अजीब" वर्ग होने से खुश थे :-) $\mathcal C_{ST}$ $\mathrm{LINTIME}$ $\lambda$ $\mathcal C_{ST}$

(संयोग से, मैंने "अज्ञात प्रमेयों" के बारे में एक एमओ प्रश्न के उत्तर में अपने आश्चर्य को साझा किया )।

— डैमियानो मजाज़
स्रोत

केवल उस नाम को फिर से देखने के लिए उत्तर को पढ़ना समाप्त कर दिया। मुझे लगता है कि आपने पहले ही मुझे अपने प्रोफेसरों से ज्यादा पढ़ाया है। इंटरनेट एक खूबसूरत चीज है। धन्यवाद।

— MaiaVictor

@ डामियानो मजाज़। अपना जवाब पसंद आया, लेकिन "एकरूपता" की धारणा इतनी तुच्छ नहीं है, है ना?

— एंड्रिया असपरती

हाय @Andrea, धन्यवाद। यहां "एकरूपता" सिर्फ इस तथ्य की है कि आप सभी संभावित आदानों के लिए काम करने वाले एकल प्रोग्राम का उपयोग करके एक भाषा तय करते हैं, जैसा कि कार्यक्रमों के एक अनंत परिवार के माध्यम से एक भाषा तय करने के विपरीत है, प्रत्येक केवल एक निश्चित लंबाई के इनपुट पर काम कर रहा है (या, बदतर, प्रत्येक इनपुट के लिए एक कार्यक्रम, जैसा कि मेयरसन के पेपर में है)। एकरूपता में आदर्श है

-calculus (

-नियम, अभी तक बहुत शक्तिशाली गैर वर्दी के लिए प्रयोग की जाने वाली दृष्टिकोण हैं जब तक कि एक मानता है इस तरह के linearity / आत्मीयता के रूप में प्रतिबंध) भावना यह "तुच्छ" है में तो। लेकिन शायद मैं अपनी टिप्पणी समझ नहीं कर रहा हूँ ...

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— डेमियानो माज़ा

एक प्रश्न का उत्तर दामियानो ने अपने उत्कृष्ट उत्तर में उठाया:

मैं केवल आश्रित प्रकार (अनिवार्य रूप से मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत बिना समानता और प्राकृतिक संख्या), उच्च क्रम प्रकार या दोनों को सक्षम करके प्राप्त की गई गणना के बारे में अधिक अज्ञानी हूं। इन गणनाओं में, प्रकार शक्तिशाली होते हैं लेकिन शब्द इस शक्ति तक नहीं पहुंच सकते हैं, इसलिए मुझे नहीं पता कि आपको क्या मिलता है।

निर्भर प्रकारों को जोड़ने से सिद्धांत की स्थिरता शक्ति में बदलाव नहीं होता है। साधारण आश्रित प्रकारों में एक समान स्थिरता शक्ति होती है जैसे कि केवल टाइप किए गए लंबोदर, और कंस्ट्रक्शन के कलन में सिस्टम एफ के समान स्थिरता शक्ति होती है । $_\omega$

वास्तव में, शुद्ध मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत (लंबो -घन में ) यह साबित नहीं कर सकता है कि 0 = 1 गलत है। ऐसा करने के लिए, आप कम से कम एक ब्रह्मांड की जरूरत है - और ब्रह्मांडों gigantically सिद्धांत की ताकत बढ़ाने। आगमनात्मक निर्माणों की गणना (मोटे तौर पर बोलना, प्लस आगमनात्मक प्रकारों के साथ-साथ कई सार्वभौमिक रूप से) ZFC के लिए सुसंगतता के बराबर है जिसमें कई दुर्गम कार्डिनल्स हैं। $\lambda{P}$ $\lambda{P}\omega$

मुझे नहीं पता है कि निर्माणों के आसन्न पथरी की ताकत क्या है, यदि आप आगमनात्मक प्रकार और बड़े उन्मूलन जोड़ते हैं।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

धन्यवाद @ नील! मुझे लगता है कि अब हमारे पास पूरी तस्वीर है।

— दामियानो मजाज़

मैं दमिआनो के उत्कृष्ट उत्तर के पूरक की कोशिश करूँगा।

सामान्य तौर पर एक टाइप किए गए -calculus को एक निश्चित तर्क के लिए Realizers की भाषा के रूप में उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से 2 क्रम के लिए वास्तविकताओं की एक भाषा है अंकगणितीय । अनौपचारिक प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है $\lambda$ $F$ $\mathrm{HA}_2$

के मामले एक कलन लिख दिया, तो एक तर्क के लिए realizers हैं , तो definable कार्यों में प्रतिनिधित्व करते हैं वास्तव में provably कुल में कार्यात्मक संबंध । $\cal{T}$ $\cal{L}$ $\cal{T}$ $\cal{L}$

विवरण निश्चित रूप से अधिक मुखर हैं, और में कम से कम अंकगणित होना है, लेकिन इस विचार का अनुप्रयोग देता है $\cal{L}$

प्रणाली में निश्चित कार्य में उल्लेखनीय रूप से कुल कार्य हैं (इसमें एकरमन फ़ंक्शन शामिल हैं, और बहुत कुछ, बहुत तेजी से बढ़ते कार्य) $F$ $\mathrm{HA}_2$
सिस्टम में निश्चित कार्य (पीनो अंकगणितीय) में कुल कार्य हैं । इसमें एकरमन फ़ंक्शन भी शामिल है (लेकिन सिस्टम तुलना में बहुत कम शामिल है )! $T$ $\mathrm{PA}$ $F$

कुछ टाइप किए गए -calculi हैं जो वास्तव में अभिकलन को कैप्चर करते हैं । ये आमतौर पर दोहराव को नियंत्रित करने के लिए रैखिक प्रकार की प्रणालियों को शामिल करते हैं । ऐसा ही एक उदाहरण बिलोट और तेरुई द्वारा दिया गया है । $\lambda$ $\mathrm{PTIME}$

सामान्य तौर पर यह अनुसंधान का एक बड़ा हिस्सा है, इसलिए मैं अपने पिछले उत्तरों में से एक का संदर्भ लूंगा ।

— कोड़ी
स्रोत

सी एफ स्टीफन कुक और अलसादेयर अर्कहार्ट की " व्यावहारिक रूप से रचनात्मक अंकगणित की कार्यात्मक व्याख्या ", 1993 में एक जटिलता सिद्धांतवादी संस्करण के लिए।

— केव