निर्णायक प्रमाण की समानता?

Question

मैं यह जानना चाहता हूं कि क्या एक ही प्रस्ताव के दो निर्णायक सबूतों की समानता की निर्णायक गणना के किसी भी अतिरिक्त स्वयंसिद्धों के बिना साबित हो सकता है।

विशेष रूप से, मैं जानना चाहता हूं कि क्या यह कोक में किसी भी अतिरिक्त स्वयंसिद्ध के बिना सच है।

$$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$$

धन्यवाद!

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Comments

आपने जो लिखा है उससे कोई मतलब नहीं है। यदि एक प्रस्ताव है तो एक प्रमाण है, और आप नहीं बना सकते । क्या आपका मतलब है अपने परिकल्पना होने के लिए के बजाय , यानी, " डिसाइडेबल है"? $P$$p : P$$p \lor \lnot p$$P \lor \lnot P$$p \lor \lnot p$$P$

— लेडी बाउर

क्षमा करें, मेरा मतलब था कि परिकल्पना " डिसिडेबल है", यानी$P$$P \vee \neg P$

— एडम बराक

लो होने के लिए , और बयान गलत है, के बाद से आप कर सकते हैं आसानी से निवास with , और फ़ंक्शन तुल्यता स्पष्ट रूप से अनिर्दिष्ट है। क्या आपके मन में पर कोई अन्य शर्तें हैं? $P$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$$P$

— नील कृष्णास्वामी

P को एक प्रस्ताव होना चाहिए। (वास्तव में, मेरे विकास में, मैं पहले से ही कार्यात्मक बहुआयामी का उपयोग करता हूं, इसलिए बयान अभी भी मेरे लिए पकड़ में आ सकता है, लेकिन आइए अब कार्यात्मक / प्रस्तावक बाह्यता की उपेक्षा करें)।

— एडम बराक

कार्यशीलता का यह अर्थ नहीं है कि फ़ंक्शन तुलनीयता निर्णायक है ... और नील का उत्तर सामान्य मामले को सुलझाता है: यदि P एक (आबाद) अनंत प्रकार है (जिसमें कुछ प्रकार के प्रस्ताव शामिल हैं यदि कोई अतिरिक्त स्वयंसिद्ध शामिल नहीं है), तो निहितार्थ विफल रहता है लिए रोकें । $P\rightarrow P$

— कोडी

Answer 1

जैसा कि नील बताते हैं कि यदि आप "प्रस्ताव प्रकार हैं" के तहत काम करते हैं, तो आप आसानी से एक प्रकार के साथ आ सकते हैं, जिसकी समानता को निर्णायक नहीं दिखाया जा सकता है (लेकिन यह निश्चित रूप से यह मानने के लिए संगत है कि सभी प्रकार में निर्णायक समानता है), जैसे कि $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$।

यदि हम "प्रस्ताव" को अधिक प्रतिबंधित प्रकार के प्रकार के रूप में समझते हैं, तो इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि वास्तव में हमारा क्या मतलब है। यदि आप एक Propतरह के निर्माण के कलन में काम कर रहे हैं, तो आप अभी भी यह नहीं दिखा सकते कि निर्णायक प्रस्तावों में निर्णायक समानता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह Propएक प्रमाण-संगत प्रकार के ब्रह्मांड के साथ बराबरी करने के लिए निर्माणों की गणना में सुसंगत है, इसलिए आप सभी जानते हैं Propकि इसमें कुछ ऐसा है$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$। इसका मतलब यह भी है कि आप कोक की धारणा के लिए अपना प्रमेय साबित नहीं कर सकते Prop।

लेकिन किसी भी मामले में, सबसे अच्छा जवाब होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत से आता है। वहाँ एक प्रस्ताव एक प्रकार है$P$ जो संतुष्ट करता है

$$\forall x, y : P \,.\, x = y.$$ यही है, एक प्रस्ताव में अधिकांश एक तत्व होता है (जैसे कि अगर इसे प्रमाण-अप्रासंगिक सत्य मूल्य के रूप में समझा जाना चाहिए)। इस मामले में उत्तर निश्चित रूप से सकारात्मक है क्योंकि प्रस्ताव की परिभाषा का तात्पर्य यह है कि इसकी समानता निर्णायक है।

मैं यह जानने के लिए उत्सुक हूं कि "प्रस्ताव" से आपका क्या मतलब है।

Comments

आपके पास कैसे होगा? $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$अंदर Prop? धन्यवाद!

— एडम बराक

निर्माण की गणना में कुछ भी नहीं है जो रोकता है $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$, है?

— प्रेमिका बाउर

यहाँ भ्रम यह है कि "कोक प्रणाली" का क्या मतलब है। यदि यह "निर्माणों की गणना" है, तो$\mathtt{Prop=Set=Type}$। यदि अधिक सटीक "1 अप्रत्यक्ष ब्रह्मांड के साथ प्रेरक निर्माणों की गणना"$\mathtt{Type}$ब्रह्मांड स्तर के एनोटेशन के बिना अर्थहीन है। जहाँ तक मुझे पता है,$\mathtt{Type_1=Prop}$एक सुसंगत स्वयंसिद्ध है (हालांकि सूक्ष्म कारणों से ईएम के साथ असंगत)।

— कोड़ी

यकीन है, हम पर एक सूचकांक से निपटने के लिए है $\mathtt{Type}$। @AdamBarak को समझने की बात यह है: क्योंकि$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ Coq में कोई विरोधाभास नहीं होता है, हम दिखा सकते हैं कि Coq में कुछ ऐसा नहीं किया जा सकता है कि यह दिखा सके कि यह विरोधाभास पैदा करेगा अगर हमारे पास भी था $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$।

— एंड्रेज बॉयर

अभी भी काफी सही नहीं है, क्योंकि Coq में हम यह नहीं दिखा सकते हैं कि कार्यात्मक तुलनीयता अनिर्दिष्ट है। बयान "पर समानता$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ यह निर्णायक है "मार्टिन एस्कोर्डो एक रचनात्मक वर्जना कहते हैं: यह न तो साबित हो सकता है और न ही Coq में अव्यवस्थित। इसलिए सही तर्क है: यदि $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ फिर $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ एक प्रस्ताव है, और बयान "पर समानता $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ निर्णायक है "सिद्ध नहीं है। (जबकि आपने कहा था: और बयान" पर समानता $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$is decidable "false) है।

— Andrej Bauer