मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत का न्यूनतम विनिर्देश

Question

मैं मार्टिन-लोफ्स प्रकार के सिद्धांत ( HoTT पुस्तक के परिशिष्ट ) की औपचारिक प्रस्तुति पढ़ रहा हूं । लेखकों ने ब्रह्मांडों के एक पदानुक्रम का परिचय दिया, फिर और साथ ही -ypypes के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं (संवेदी रूप से और माध्यम से )। अंततः वे उच्च प्रेरक प्रकार भी जोड़ते हैं।$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

लेकिन फिर मुझे आश्चर्य है कि सिद्धांत विनिर्देश में करना क्यों आवश्यक है । नहीं करता और और बीजीय डेटा प्रकार, होने के अवतार में -types, पर्याप्त इसे सेट अप करने के लिए? प्रारंभिक बीजगणित दृष्टिकोण के साथ जैसे । (या कम से कम हम MLTT से HoTT में पास होने के बाद आगमनात्मक प्रकार होते हैं - आखिरकार, पूर्णांक सिद्धांत के भीतर सर्कल type समरूप समूह के रूप में उभरता है।)$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

या यह हमारी शुरुआत से ही आदिम पुनरावृत्ति की आवश्यकता है, जो प्रस्तुति में ठीक बगल में परिभाषित किया गया है? यह एक विचार है जो मेरे पास है क्योंकि मुझे नहीं पता है कि उस रूपरेखा में "परिभाषा कैसे परिभाषित की जाती है", या औपचारिक रूप से भाषा कैसे काम करती है। मैं जोड़ सकता हूं कि मैं जानता हूं कि कम से कम संख्याओं की अनौपचारिक धारणा और "अधिक" का उपयोग पहले से ही किया जाता है जब ब्रह्मांडों के पदानुक्रम को परिभाषित किया जाता है।$\mathbb N$

यदि कोई व्यक्ति को छोड़ सकता है और विनिर्देश कम से कम नहीं है, तो क्या अन्य वस्तुएं, सिद्धांत रूप में, ड्रॉप हो सकती हैं? उदाहरण के लिए, मैं और उसके बाद कुछ संयोजन से आ सकता है , लेकिन मैं ऐसा करने में सक्षम नहीं था।$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

Answer 1

HoTT पुस्तक के परिशिष्ट में वर्णित प्रणाली का उद्देश्य कुछ ऐसा पेश करना है जो पुस्तक द्वारा उपयोग किए जाने वाले से मेल खाता है। पुस्तक शैक्षिक होने का लक्ष्य है। इसलिए सब कुछ न्यूनतम तरीके से करना एक बुरा विचार होगा। उदाहरण के लिए, हम अलग से परिचय देते हैं क्योंकि यह देखना अनुदेशात्मक है कि एक परिचित मामले में आगमनात्मक निर्माण कैसे काम करते हैं।$\mathbb{N}$

आप पूरी तरह से सही हैं, सामान्य -types से आगमनात्मक प्रकारों को कूदने के लिए आपको केवल और आवश्यकता है । आपको तुरंत से रूप में मिलता है , और आपको और से मिलता है । आपके पास एक बार, आप सभी परिमित रकम । इस बिंदु पर सामान्य बीजीय डेटाटाइप्स करना आसान है।$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

यदि आप छोड़ते हैं , तो आप , , और , तो आपको वापस नहीं मिल सकता क्योंकि आपके द्वारा बनाया गया हर प्रकार का निवास होगा।$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

मान लीजिए कि आपके पास केवल , , और । फिर आप नहीं बना सकते क्योंकि आप दिखा सकते हैं कि आपके द्वारा किया गया हर निर्माण आपको या वापस देता है । वास्तव में, आप किसी भी दिलचस्प आश्रित परिवार को बिल्कुल भी नहीं बना सकते हैं। प्रकारों का एक बड़ा परिवार जो कि , , और तहत बंद है , लेकिन शामिल नहीं है -types (प्रस्ताव)।$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$

Comments

ठीक है, उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि उस फ्रेमवर्क में संभव है की परिभाषा के अनुसार संभव है । यद्यपि वह फ़ंक्शन जो कभी तर्क नहीं लेगा, अजीब है। ${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$$\Pi$$\lambda x.x$

— निकोलज-के

यह जोड़ना उपयोगी हो सकता है कि -types जानबूझकर सिद्धांत में कुछ तकनीकी चेतावनी पेश करते हैं: उदाहरण के लिए देखें अवलोकन समानता, अब! । इनमें से कुछ (सभी?) अनुपस्थित हैं जब यूनीकनेस स्वयंसिद्ध मौजूद है। $W$

— कोड़ी

मैं आज फिर इस सवाल के बारे में सोच रहा था। दरअसल, जब हम MLTT या HOTT की बात करते हैं, तो हमारे पास सभी प्रकार के लिए समानता है, मुझे लगता है, इसलिए हम और , है ना? ${\bf 0}$${\bf 1}=_U{\bf 2}$

— निकोलज-के

आप इस तरह प्राप्त कर सकते हैं , लेकिन ध्यान दें कि एक ब्रह्मांड को संदर्भित करता है । और तो परिभाषित है, अजीब, अगले ब्रह्मांड में। $0$$1 =_U 2$$U$$0$

— बाउर

मैं भ्रमित हूँ "यदि आप छोड़ते हैं , तो आप , , और , तो आपको वापस नहीं मिल सकता क्योंकि आपके द्वारा बनाया गया हर प्रकार का निवास होगा।" चूंकि निर्माण के शुद्ध कलन में खाली प्रकार का निर्माण करना संभव है, जिसमें केवल । $0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$$\Pi$

— user833970