बस टाइप किया गया लैम्ब्डा कैलकुलस और उच्चतर ऑर्डर लॉजिक

बस टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस और उच्चतर ऑर्डर लॉजिक के बीच क्या संबंध है?

करी-हावर्ड के तहत ऐसा लगता है कि बस टाइप किए गए लंबो कैलकुलस प्रपोजल लॉजिक से मेल खाते हैं। यह उच्च श्रेणी के तर्क से कैसे संबंधित है? Geuvers के इस ट्यूटोरियल के अनुसार: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf HOL की भाषा STT प्रतीत होती है। यह PROP नहीं होना चाहिए? इसका क्या मतलब है?

क्या एसटीटी को परिभाषित करने पर चर्च के एचओएल के दिमाग में था?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
स्रोत

हाँ, चर्च के मन में HOL था। फ़ंक्शन एप्लिकेशन और फ़ंक्शन एब्स्ट्रक्शन के अलावा, एसटीटी से एचओएल प्राप्त करने की चाल समानता का उपयोग करना है। तो फिर तुम लिख सकते हैं

के रूप में

, दूसरों के बीच। मुझे एसटीटी के लिए एक परिचय के रूप में "सरल प्रकार के सिद्धांत के सात गुण" पसंद हैं, जो इस प्रकार के प्रश्नों को संबोधित करता है। शायद मुझे एक उत्तर लिखना चाहिए ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— थॉमस क्लिम्पेल 23

तो, जब करी-हावर्ड के बारे में बात कर रहे हैं, तो एसटीटी के बराबर सही तर्क क्या होगा? HOL या PROP?

— lambda2

करी-हावर्ड के संबंध में, ऐसा नहीं लगता कि यह एचओएल होगा। हो सकता है कि यह अंतर्विरोधी PROP का गुणक टुकड़ा हो, यानी "या" के बिना अंतर्ज्ञानवादी PROP। लेकिन वह CCC (कार्टेशियन बंद श्रेणी) के लिए था, और मैं इस समय थोड़ा थक गया हूं। लैंबडा को संभवतः "निहितार्थ" के रूप में अनुवादित किया जाएगा, जो सीसीसी में "घातीय" था। CCC का "उत्पाद" "और" था, इसलिए आपको इसके लिए एसटीटी में एक "जोड़ी" की आवश्यकता होगी। और "या" एसटीटी में एक "योग" प्रकार होगा, यानी एक असंतुष्ट संघ, शायद एक "ए" तो "बी" और "सी" ऐसा करता है।

— थॉमस क्लिम्पेल

मुझे लगता है कि मैं कुछ (या सब कुछ) भ्रमित कर रहा हूं। यदि STT ~ = PROP (करी-हावर्ड के माध्यम से), और STT भी HOL है, तो मैं कुछ अर्थों में PROP का उपयोग HOL कर सकता हूं?

— lambda2

@ThomasKlimpel: आपको अपनी टिप्पणियों को एक उत्तर में बदलना चाहिए।

— कोड़ी

भेद यह है: यदि STLC को एक प्राथमिक भाषा के रूप में टाइप-लेवल जोड़ने वाले कंस्ट्रक्टर्स के रूप में लिया जाता है और एक छोटी संख्या का एक्सिओम्स आपको HOL की पूर्ण अभिव्यंजक शक्ति देने के लिए पर्याप्त है।

$\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

$\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— कोड़ी
स्रोत

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

क्या वे चतुर स्वयंसिद्ध हैं, कृपया? मुझे लगता है कि यह समानता साबित करने का एक तरीका प्रदान करने के साथ करना है ... इसके अलावा, क्या आप जानते हैं कि एचओएल एक्सटेंशन के स्तरों को स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए एक नाम है? (समानता के साथ, फिर बहुरूपी प्रकार के साथ, फिर निर्भर प्रकारों के साथ)।

— हिबू

@ Hibou57 स्वयंसिद्ध आलेखों को सरल प्रकार के सिद्धांत के सात गुणों के उत्कृष्ट लेख में रेखांकित किया गया है । मुझे नहीं पता है कि आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले अन्य के अलावा, एसटीटी के विभिन्न एक्सटेंशन को अलग करने के लिए स्पष्ट नाम हैं।

— कोड़ी