निम्नलिखित विचार के लिए साहित्य स्रोत की तलाश

Question

मैं काफी निश्चित हूं कि मैं इस विचार का मनोरंजन करने वाला पहला व्यक्ति नहीं हूं जो मैं पेश करने जा रहा हूं। हालाँकि, यह उपयोगी होगा यदि मुझे विचार से संबंधित कोई साहित्य मिल सकता है।

संपत्ति के साथ एक ट्यूरिंग मशीन एम का निर्माण करने के लिए विचार है कि यदि पी = एनपी है तो एम 3-एसएटी को बहुपद समय में हल करेगा। (3-सैट का विकल्प मनमाना है। यह वास्तव में एनपी में कोई समस्या हो सकती है)।

बस स्पष्ट होने के लिए, यह एक दावा नहीं है कि पी = एनपी। वास्तव में, मैं इसके विपरीत मानता हूं। मैं केवल यह बताता हूं कि यदि पी = एनपी, तो एम एक बहुपद-समय समाधान प्रदान करेगा। यदि आप एक कुशल समाधान की तलाश में हैं, तो मुझे चेतावनी देनी चाहिए कि यह कुशल से दूर है।

M का निर्माण इस प्रकार किया गया है: सबसे पहले, सभी ट्यूरिंग मशीनों के लिए एक कैनोनिकल एन्कोडिंग मान लें, और इन मशीनों पर नंबरिंग लागू करें। तो, एक ट्यूरिंग मशीन नंबर 1, एक नंबर 2, आदि एक यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन का विचार है जो एक प्रदान की गई मशीन के लिए प्रारूप को पढ़ सकता है और फिर अनुकरण कर सकता है कि मशीन के अलग इनपुट पर चल रहा है, बहुत अच्छी तरह से जाना जाता है। M, ट्यूरिंग मशीन को बनाने और उसका अनुकरण करने के लिए एक यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन का उपयोग करेगा।

यह पहली बार ट्यूरिंग मशीन 1 को एक स्टेप के लिए चलाने का अनुकरण करता है।
यह ट्यूरिंग मशीन 1 के आउटपुट को देखता है।
यह दो चरणों के लिए ट्यूरिंग मशीन 1 को चलाने का अनुकरण करता है और आउटपुट को देखता है, फिर ट्यूरिंग मशीन 2 को 2 चरणों के लिए अनुकरण करता है। यह जारी रहता है और इस तरह से लूप होता है, बदले में ट्यूरिंग मशीन 1 को k स्टेप्स के लिए, फिर k स्टेप्स के लिए 2 ... फिर अंततः k स्टेप्स के लिए मशीन k।

प्रत्येक सिमुलेशन चलाने के बाद, यह रन के आउटपुट की जांच करता है। यदि आउटपुट वैरिएबल का एक असाइनमेंट है जो 3-SAT समस्या उदाहरण को संतुष्ट करता है, तो एम एक स्वीकार स्थिति में रुकता है। यदि दूसरी ओर, आउटपुट कुछ प्रमाण योग्य-भाषा में प्रूफ-स्ट्रिंग है, तो यह सिद्ध परिणाम के साथ है कि समस्या का उदाहरण संतोषजनक नहीं है, एम अस्वीकार स्थिति में है। (एक प्रूफ-लैंग्वेज के लिए, हम उदाहरण के लिए, दूसरे-ऑर्डर लॉजिक वाले Peano Axioms और बेसिक हिल्बर्ट-स्टाइल लॉजिकल एक्सिओम्स का उपयोग कर सकते हैं। मैं इसे पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ता हूं कि अगर P = NP, एक वैध है। सबूत-भाषा मौजूद है और बहुपद-समय सत्यापन योग्य है)।

मैं यहां दावा करूंगा कि M 3-SAT को बहुपद समय में हल करेगा, अगर और केवल अगर P = NP। आखिरकार, एल्गोरिथ्म में नंबर K के साथ कुछ जादुई ट्यूरिंग मशीन मिलेगी, जो सिर्फ 3-SAT समस्या के लिए एक कुशल सॉल्वर के रूप में होती है, और सफलता या असफलता के लिए इसके परिणामों का प्रमाण देने में सक्षम है। K को अंततः कुछ बहुपद के लिए पॉली (strlen (इनपुट)) स्टेप्स चलाकर सिम्युलेटेड किया जाएगा। M के लिए बहुपद लगभग सबसे बड़े कारक में बहुपद का वर्ग है, लेकिन बहुपद में कुछ भयानक स्थिरांक के साथ है।

यहाँ अपना प्रश्न दोहराना: मैं जानना चाहता हूं कि क्या कोई ऐसा साहित्य स्रोत है जो इस विचार को नियोजित करता है। मैं विचार पर चर्चा करने में कुछ हद तक कम दिलचस्पी लेता हूं।

Answer 1

ऐसा लगता है कि इस विचार का श्रेय लेविन को दिया जाता है (इसे इष्टतम खोज कहा जाता है)। मेरा मानना ​​है कि यह तथ्य सर्वविदित है। उदाहरण के लिए विकिपीडिया में एक समान एल्गोरिथ्म का वर्णन किया गया है , हालांकि सबसेट सम समस्या का उपयोग करते हुए। स्कॉलरपीडिया के इस लेख में आप विषय पर कई संदर्भ पा सकते हैं, जिसमें मूल एल्गोरिथ्म के लिए एक सूचक और कुछ अन्य इष्टतम एल्गोरिदम शामिल हैं।

$\varphi$$P=NP$$\varphi$

टिप्पणी 2: जैसा कि जारोस्लाव ब्लासीओक ने एक अन्य उत्तर में बताया, यह एल्गोरिथम केवल पी = एनपी मानने का निर्णय नहीं करता है।

Comments

मुझे सिर्फ विकिपीडिया संदर्भ मिला, और वास्तव में, इसमें लेविन का उल्लेख है, लेकिन बिना उद्धरण के। हो सकता है कि यह केवल लोककथा बन गया हो लेकिन प्रकाशित साहित्य में इसका कभी उपयोग नहीं किया गया हो। बावजूद, यह मददगार है। धन्यवाद।

— बिल प्रांत

स्वागत हे। मुझे इस विषय पर कई संदर्भों के साथ एक मुखपृष्ठ मिला। मैंने इसे शामिल करने के उत्तर को संपादित किया।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

Answer 2

तिरछे चलने वाले सभी संभावित ट्यूरिंग मशीनों के विचार का उपयोग पहले लियोनिद लेविन द्वारा किया गया है, जिसे अब लेविंस यूनिवर्सल सर्च कहा जाता है। दुर्भाग्य से, और अत्यंत सामान्य गलतफहमी के विपरीत, जो मैं जानता हूं कि लेविंस सार्वभौमिक खोज पर भिन्नताएं हैं, बहुपद समय में स्पष्ट एल्गोरिथ्म सैट (निर्णय समस्या) प्रदान करने में सक्षम नहीं हैं, पूरी तरह से इस धारणा को देखते हुए कि पी = एनपी - और न ही कोई एल्गोरिथ्म करता है। ।

"तर्क के लिए छोड़ दिया गया आसान एक्सर्साइज़" में प्रस्तावित तर्क के झूठ (बहुत बार) के रूप में - मैं खुद को एक्सर्साइज़ साबित करने में असमर्थ था और मुझे विश्वास नहीं है कि इसका कथन सत्य है, अर्थात्:

पी = एनपी मानकर, बहुपद आकार जेडएफसी दिए गए बूलियन सूत्र की असंतोषजनकता साबित होते हैं।

इसके अलावा: मैं यह नहीं देख सकता कि कैसे बहुपद के अस्तित्व को साबित करने के लिए कम ZFC असंतोषजनक (मजबूत) धारणा के तहत साबित होता है कि "P = NP ZFC में साबित होता है"। यह हालांकि अभी तक मजबूत धारणा के तहत आसान हो जाता है, अर्थात्:

(*) वहाँ मौजूद मशीन M बहुपदों में चलती है जो कि SAT को हल करती है।

और यह है, मुझे विश्वास है, सही धारणा है जिसके तहत आपका एल्गोरिथ्म बहुपद समय में सैट को हल करता है। इसके बाद के संस्करण "प्रोविज़न सॉल्वेंट सैट" से मेरा मतलब है: एक मशीन एम मौजूद है, और एक जेडएफसी प्रमाण जो एमटी सैट को हल करता है।

ध्यान दें कि यह धारणा अभी भी निम्नलिखित की तुलना में थोड़ी कमजोर है: (**) मशीन एम मौजूद है, जो बहुपद समय में चलती है और एसटीई को काफी हल करती है।

(**) के तहत एक ही लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए स्पष्ट निर्माण हो सकता है जो कि और भी सरल है: सभी ZFC को सिद्ध करें जब तक आप सही मशीन M (निरंतर समय खर्च करना) नहीं पाते हैं, और तब दिए गए उदाहरण पर M चलाएं।

यह सच है, हालांकि, पी = एनपी धारणा के तहत दिए गए सूत्र की असंतोषजनकता के लिए संक्षिप्त प्रमाण के साथ कुछ बहुपद रूप से सत्यापन योग्य सबूत प्रणाली मौजूद है। दुर्भाग्य से हम न तो प्रूफ सिस्टम और न ही वेरिफायर ऑफहैंड को जानते हैं, और यह इस सेटिंग में मददगार नहीं है।

$f^{-1}(x)$

ध्यान दें कि यह योजना लागू होती है, उदाहरण के लिए, फैक्टरी समस्या; यहाँ एफ सिर्फ गुणा (केवल दोपहर 1 के अलावा अन्य कारकों के लिए परिभाषित) है और बी की प्रधानता जाँच है। इसलिए लेविंस सार्वभौमिक खोज (एक स्थिर कारक के लिए) सटीक एल्गोरिथम होगा। यह देखते हुए कि इष्टतम एल्गोरिथ्म प्राइमरी चेकिंग के लिए ज्ञात एल्गोरिथम की तुलना में धीमा है - अन्य मामले में प्राइमरीटी चेकिंग प्रमुख हो जाती है।

$NP\cap co-NP$

Comments

यदि पी = एनपी तो सह-एनपी = सह-पी = पी = एनपी। तो UNSATISFIABILITY NP में है, इसलिए बहुपद-आकार के गवाह हैं - आपको ट्यूरिंग मशीन लगाने की आवश्यकता नहीं है। क्या आप उस गवाह को ZFC प्रमाण में परिवर्तित नहीं कर सकते कि सूत्र असंतोषजनक है? मैं ZFC प्रूफ के मैकेनिक्स पर नहीं हूं, लेकिन विभिन्न स्थानों से मुझे जो अंतर्ज्ञान प्राप्त हुआ है, वह यह है कि जब तक आप "अजीब सामान" के साथ काम नहीं कर रहे हैं, ZFC उन सभी चीजों से मेल खाती है जिन्हें आपने सोचा था कि आप वैसे भी साबित कर सकते हैं, इससे पहले आपने सेट थ्योरी के बारे में सुना। एक बूलियन फार्मूला और इसकी असंतोषजनकता के एक बहुपदीय गवाह जैसी परिमित वस्तुएं अजीब होने की संभावना नहीं हैं।

— डेविड रिचेर्बी

हां, यदि पी = एनपी, तो यूएनएसएटी एनपी में है, और इसमें बहुपद आकार का साक्षी है। अर्थात्: शून्य आकार के गवाह, सभी काम सत्यापनकर्ता द्वारा किया जाता है, है ना? मेरे मन में केवल एक ही विचार है कि इस शून्य आकार के गवाह को ZFC में असंतोष साबित करने के लिए कैसे परिवर्तित किया जाए: एक ZFC प्रमाण दें कि मेरी मशीन वास्तव में UNSAT को हल करती है, और फिर सूत्र पर इस मशीन का एक रन दिखाती है - जो एक वैध प्रमाण होगा। और यह इस तथ्य से मेल खाता है कि ओपी द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिथ्म (*) के तहत काम करता है। लेकिन क्या होगा अगर कुछ मुश्किल मशीन थीं जो सिर्फ SAT को हल करने के लिए होती हैं, लेकिन यह तथ्य अप्राप्य है? ऐसा नहीं है कि मैं यह

— मानता

मैं जिस गलत धारणा का उल्लेख कर रहा हूं वह यह है: "यदि P = NP, तो लेविंस यूनिवर्सल सर्च, बहुपदीय समय एल्गोरिथ्म को NP- पूर्ण समस्या को हल करने के लिए देता है" या जैसा कि कभी-कभी कहा गया है: "P / NP का केवल अविनाशी प्रमाण होना असंभव है, क्योंकि लविंस एल्गोरिथ्म का "। वे दोनों झूठे हैं - विकिपीडिया सूत्रीकरण विधि प्रस्तुत करती है जो SUBSET SUM के YES- इंस्टेंस पर पॉलीटाइम में रुकती है, लेकिन NO- इंस्टेंस पर बिल्कुल भी नहीं रुकती है - यह पॉलीटाइम में सब्मिट राशि तय करने वाला एल्गोरिथम नहीं है। उद्देश्य के लिए ओपी फॉर्मूलेशन बेहतर है, लेकिन पॉलीटाइम में एसएटी तय करने के लिए पी = एनपी की तुलना में मजबूत धारणा की आवश्यकता है।

— जारोसलाव बोलासीओक

$NP\cap co-NP$

अब इससे निपटने का तरीका, जैसा कि आप स्पष्ट समस्या के लिए स्पष्ट रूप से सत्यापनकर्ता को नहीं जानते हैं, कुछ औपचारिक तर्क जो हम पहले से जानते हैं, में एक छोटा सा प्रमाण खोजने की कोशिश कर सकते हैं और इसे सत्यापित कर सकते हैं (इसे ZFC स्वयंसिद्ध या Peano होने दें) - हम हैं पूर्व में एक छोटा सा साबित होने की अधिक संभावना है), कि यह उदाहरण असंतोषजनक है। लेकिन अगर कोई यह साबित करना चाहता है कि इस औपचारिक तर्क में इतने कम प्रमाण हैं, तो किसी को पी = एनपी की तुलना में मजबूत धारणा की आवश्यकता है।

— जारोस्लाव बलासीक