वर्ग ग्रिड पर छिपी बहुभुज पहेली की जटिलता?

Question

Hiroimono एक लोकप्रिय अपूर्ण पहेली है। मुझे संबंधित पहेली की कम्प्यूटेशनल जटिलता में दिलचस्पी है।$NP$

यह समस्या है:

इनपुट : x वर्ग ग्रिड और पूर्णांक पर बिंदुओं के एक सेट को देखते हुएn $n$$n$$k$

प्रश्न : क्या एक आयताकार बहुभुज ( या -axis के समानांतर इसके किनारे ) हैं जैसे कि बहुभुज के कोनों पर बिंदुओं की संख्या कम से कम ?y $x$$y$$k$

बहुभुज के प्रत्येक कोने को इनपुट बिंदुओं में से एक होना चाहिए (इसलिए झुकना केवल एक इनपुट बिंदु पर अनुमति है)।

इस समस्या की जटिलता क्या है? यदि समाधान उत्तल बहुभुज तक सीमित है तो जटिलता क्या है?

EDIT 13 अप्रैल: वैकल्पिक सूत्रीकरण: दिए गए बिंदुओं पर अधिकतम कोनों के साथ एक आयताकार बहुभुज का पता लगाएं।

Comments

आयताकार बहुभुज उत्तल नहीं करना चाहिए गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा बहुपद समय में हल करना चाहिए?

— पीटर शोर

हाँ, यह चाहिए।

— जेफ

@ जेफ, सामान्य गैर-उत्तल मामले के बारे में कैसे? आपका झुकाव क्या है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

इनमें से कई समस्याओं के लिए, आपका सबसे अच्छा दांव प्लानर 3SAT या यहां तक ​​कि प्लानर NAE-SAT जैसी किसी चीज़ से शुरू करना है। यह बुरी तरह से बदसूरत होगा, लेकिन प्लेनेटरी आपको उन संरचनाओं को देता है जिनकी आपको आवश्यकता हो सकती है।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश बस एक नोट: मेरे चारों ओर घूमते हुए मैंने पाया कि NAE3SAT का प्लानर संस्करण P ( portal.acm.org/… ) में है।

— मार्जियो डी बियासी

Answer 1

मैंने इस अजीब कमी के बारे में सोचा (संभावना है कि यह गलत है उच्च :-)। विचार: डिग्री साथ ग्रिड रेखांकन पर हैमिल्टन पथ से कमी ; प्लानर ग्राफ के प्रत्येक नोड को इस तरह से स्थानांतरित किया जा सकता है कि प्रत्येक "पंक्ति" ( मान) और प्रत्येक "कॉलम" ( मान) में अधिकांश एक नोड हो। ग्राफ को स्केल किया जा सकता है और प्रत्येक नोड को कई बिंदुओं के साथ एक स्क्वायर गैजेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है; गैजेट के बीच क्षैतिज लिंक (मूल ग्राफ के किनारों) को अलग-अलग पंक्तियों पर बिंदुओं के जोड़े का उपयोग करके बनाया जाता है, अलग-अलग स्तंभों पर बिंदुओं के जोड़े का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर लिंक। नोड ट्रैवर्स को स्क्वायर गैजेट्स के "कई बिंदुओं" का उपयोग करने के लिए मजबूर किया जाता है।y $\leq 3$$y$$x$

नोड गैजेट को निम्न आकृति में दर्शाया गया है:

इसमें 3 "इंटरफ़ेस पॉइंट्स" (अलग-अलग कॉलम / पंक्तियों पर) और पॉइंट्स की एक आंतरिक सीमा है । एक पॉलीलाइन जो गैजेट को एक इंटरफ़ेस बिंदु से दूसरे तक ले जाती है, उसमें कई कोने हो सकते हैं जो समानुपाती होते हैं (गैजेट में तीन ट्रैवर्सल्स चित्र में दिखाए गए हैं), विशेष रूप से कोने के अंक और और बीच हैं (गैजेट के अंकों की कुल संख्या )। अन्य इंटरफ़ेस पॉइंट संयोजन ( , , ) प्राप्त करने के लिए गैजेट को घुमाया जा सकता है ।C × C C 2 C 2 C + 2 C × C - 4 + 6 [ N , E , S ] [ E , S , W ] [ S , W , N $[W,N,E]$$C \times C$$C$$2C$$2C+2$$C \times C - 4 + 6$$[N,E,S]$$[E,S,W]$$[S,W,N]$

अब हम प्लानर ग्रिड ग्राफ को इस तरह से स्थानांतरित कर सकते हैं कि नोड्स , और । एक साधारण ग्रिड का निम्नलिखित आंकड़ा देखें । अगला, हम ग्राफ़ को स्केल कर सकते हैं और प्रत्येक नोड को गैजेट के साथ बदल सकते हैं। इस स्तर पर प्रत्येक गैजेट "पृथक" है: एक पॉलीलाइन एक गैजेट से दूसरे में नहीं जा सकती है।एक्स 1 ≠ एक्स 2 y 1 ≠ y 2 4 × $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$x_1 \neq x_2$$y1 \neq y_2$$4 \times 3$

अब हम मूल ग्राफ के किनारों को नीचे या दाईं ओर बिंदुओं के जोड़ों का उपयोग करके, प्रत्येक जोड़ी को एक अलग पंक्ति या एक अलग कॉलम पर अनुकरण कर सकते हैं; क्षैतिज रूप से जुड़े दो आसन्न नोड्स के लिए निम्न आकृति देखें (एक नई निचली पंक्ति में दो बिंदुओं को पहले गैजेट के इंटरफ़ेस बिंदु के एक ही स्तंभ पर जोड़ा जाता है, दूसरा दूसरे गैजेट के इंटरफ़ेस बिंदु के एक ही स्तंभ पर )।$E$$W$

हर गैजेट पर अधिकतम कॉर्नर पॉइंट्स हो सकते हैं (1 एंटर इंटरफेस पॉइंट द्वारा उत्पन्न, 1 एग्ज़िट इंटरफ़ेस पॉइंट द्वारा उत्पन्न, 2 सीधे ट्रैवर्सल्स पर अतिरिक्त मोड़ द्वारा उत्पन्न और 2C इनर ज़िग-ज़ैग पर), पॉइंट्स किनारों के लिए उपयोग अधिकतम कोने बिंदुओं को उत्पन्न कर सकता है ।2 $4 + 2C$$2e$

मान लीजिए कि मूल ग्राफ में नोड्स और एज हैं, यदि हम , और को कोने के बिंदुओं की संख्या के रूप में उपयोग किया जाना चाहिए, तो हम पहेली के "छिपे हुए" बहुभुज को मजबूर करते हैं प्रत्येक गैजेट को पार करना; लेकिन हर गैजेट में प्रवेश किया जा सकता है / ठीक एक बार (इंटरफ़ेस कोशिकाओं की एक जोड़ी के माध्यम से) बाहर निकाला जा सकता है; इसलिए यदि मूल ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टन पथ है तो ही समस्या का हल है।e C > ( 4 n + 2 e ) k = 2 C $n$$e$$C > (4n+2e)$$k = 2Cn$

Answer 2

$V$

दूसरा, Maarten Löffler और Elena Mumford द्वारा इस काम के लिए एक सुंदर अपडेट है, एक पेपर में, " पॉइंट सेट्स पर कनेक्टेड रेक्टिलिनियर ग्राफ्स ," जर्नल ऑफ़ कम्प्यूटेशनल ज्यामिति , 2 (1), 1: 15, 2011। उनके सार से:

$V$